吉林省辽源市东辽县第一高级中学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com数学试题

一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）

1.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是　　

A.  B. 60 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由利用余弦定理可得，结合的范围即可得的值．

【详解】中，，

可得：，

由余弦定理可得：，

，

，故选A．

【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

2.已知平面向量，，且，则＝

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量平行求出x的值，结合向量模长的坐标公式进行求解即可．

【详解】且 ，则

故

故选B.

【点睛】本题考查向量模长的计算，根据向量平行的坐标公式求出x的值是解决本题的关键．

3.等差数列中，，，则数列的公差为(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质得到,即可得到结果.

【详解】等差数列中，，,解得d=4.

故答案为D.

【点睛】这个题目考查了等差数列的公式的应用，题目较为简单.

4.已知向量，，，且，则实数（   ）

A.  B.  C.  D. 任意实数

【答案】B

【解析】

【分析】

计算出向量的坐标，由得，结合向量数量积的坐标运算可求得实数的值.

【详解】，，，

，，则，解得.

故选：B.

【点睛】本题考查利用向量垂直的坐标表示求参数，考查计算能力，属于基础题.

5.正项等比数列{}中，若a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么公比q等于

A. 3 B. 3或－3

C. 9 D. 9或－9

【答案】A

【解析】

因为为正项等比数列，所以其公比．由可得，所以，故选A

6.设是等差数列的前n项和，，则（   ）

A. 2 B. 3 C. 5 D. 7

【答案】C

【解析】

，

.

本题选择C选项

7.已知平面向量满足，若，则向量与的夹角为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用公式进行求解即可

【详解】

，解得，

答案选D

【点睛】本题考查形如向量模长的求法，主要根据进行求解，这也是高考中常考点

8.某船从A处向东偏北30°方向航行千米后到达B处，然后朝西偏南60°的方向航行2千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（    ）

A. 1千米 B. 2千米 C. 3千米 D. 6千米

【答案】A

【解析】

【分析】

画出方向向量，利用余弦定理，列方程求解即可.

【详解】解：如图所示，

中，，

由余弦定理可得：

，

解得，

所以处与处之间的距离为1千米．

故选：A．

【点睛】本题考查解三角形的应用问题，涉及余弦定理解三角形，也考查了求解运算能力．

9.已知等比数列的前项和为，若，且，则(    )

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

【答案】B

【解析】

分析】

由题可判断，根据列方程得，再代入可得，根据公式可得.

【详解】当数列公比时，，，，.

，得.

，，

.

故选：B.

【点睛】本题考查等比数列，求等比数列中的项，一般根据条件列方程求出首项和公比即可，注意等比数列公比为1的求和公式，属于基础题.

10.已知向量和的夹角为，且，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据数量积的运算律直接展开，将向量的夹角与模代入数据，得到结果．

【详解】 ＝8+3－18＝8+3×2×3×－18＝－1，

故选D.

【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题．

11.在等比数列中，，且，，则等于（    ）

A. 6 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等比中项的性质可知求得的值，进而根据韦达定理判断出和为方程的两个根，求得和，则可求．

【详解】解：，而，

和为方程的两个根，

解得，或，

，

，，

，

故.

故选：B.

【点睛】本题考查等比数列的性质和等比数列的通项公式，解题过程灵活利用了韦达定理，把数列的两项作为方程的根来解，简便了解题过程．

12.若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最小正整数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由等差数列的性质，结合题中条件，可得，，，进而由，，可选出答案.

【详解】因为等差数列中，，，所以公差，，，

因为，所以，

因为，所以，

根据等差数列的性质可知，时，；时，.

故使前项和成立的最小正整数是.

故选：D.

【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列前项和的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）

13.如图，设两点在河的两岸，在A所在河岸边选一定点C，测量的距离50m，，则可以计算两点间的距离是________________

【答案】

【解析】

【分析】

利用正弦定理求得.

【详解】依题意可知，由正弦定理得.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.

14.已知向量=(－2，1)，=(－3，0)，则在方向上的投影为_______________

【答案】2

【解析】

【分析】

根据向量投影公式，计算出在上的投影.

【详解】依题意，在上的投影为.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查向量投影的概念和运算，属于基础题.

15.设为等差数列的前n项和，，则的值为_____________

【答案】

【解析】

【分析】

根据求得的关系式，由此求得的值.

【详解】由于数列是等差数列，所以，

所以.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式的基本量计算，属于基础题.

16.在平行四边形中，，，，是上一点，最小值是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

将用表示，即，只需求出即可.

【详解】由余弦定理可得，，

设，

，当时，等号成立.

故答案为：

【点睛】本题考查平面向量数量积的最值问题，考查学生的运算求解能力、数形结合的思想，是一道中档题.

三、解答题（共6小题，共70分）

17.设等差数列满足，

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求的前项和及使得最大的序号的值

【答案】an=11-2n,n=5时，Sn取得最大值

【解析】

试题分析：解：（1）由an=a1+（n-1）d及a3=5，a10=-9得,a1+9d=-9，a1+2d=5,解得d=-2，a1=9，,数列{an}的通项公式为an=11-2n,（2）由（1）知Sn=na1+d=10n-n2．因为Sn=-（n-5）2+25．所以n=5时，Sn取得最大值．

考点：等差数列

点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．

18.在中，分别是角对边，且．

（1）求的大小；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）

（2）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式和诱导公式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式进行求解.

试题解析：（Ⅰ）由

又所以.           

（Ⅱ）由余弦定理有 ，解得，所以

点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的

.

19.设是公比为正数的等比数列，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设是首项为1的等差数列，且，求并求数列的前项和.

【答案】(1) (2) .

【解析】

【分析】

(1)根据等比数列的通项公式得到，解出方程，代入通项公式即可；（2）由题干得到，之后按照等差和等比的求和公式分组求和即可.

【详解】（1）设为等比数列的公比，则由，，

得，即，解得或（舍去），因此，

所以的通项公式为；

（2）∵是首项为1，且，

所以数列是公差为2的等差数列，

∴，

∴ .

【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．

20.在中，，是边上一点，且，.

（1）求的长；

（2）若的面积为14，求的长.

【答案】（1）1；（2）5.

【解析】

【分析】

（1）由同角三角函数关系求得，再由两角差的正弦公式求得，最后由正弦定理构建方程，求得答案.

（2）在中，由正弦定理构建方程求得AB，再由任意三角形的面积公式构建方程求得BC，最后由余弦定理构建方程求得AC.

【详解】（1）据题意，，且，

所以.

所以

.

在中，据正弦定理可知，，

所以.

（2）在中，据正弦定理可知，

所以.

因为的面积为14，所以，即，

得.

在中，据余弦定理可知，，

所以.

【点睛】本题考查由正弦定理与余弦定理解三角形，还考查了由同角三角函数关系和两角差的正弦公式化简求值，属于简单题.

21.已知函数.

（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；

（2）已知，若，，，求的面积.

【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可求得该函数的单调递增区间；

（2）由求得，由得出或，分两种情况讨论，结合余弦定理解三角形，进行利用三角形的面积公式可求得的面积.

【详解】（1），

所以，函数的最小正周期为，

由得，

因此，函数的单调递增区间为；

（2）由，得，或，或，

，，

又，

，即.

①当时，即，则由，，得，则，此时，的面积为；

②当时，则，即，

则由，解得，，.

综上，的面积为.

【点睛】本题考查正弦型函数的周期和单调区间的求解，同时也考查了三角形面积的计算，涉及余弦定理解三角形的应用，考查计算能力，属于中等题.

22.在锐角三角形中，角所对的边分别为，已知.

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由正弦定理转化为关于边的条件，再由余弦定理，求角即可；

（2）利用二倍角公式化简，得到正弦型三角函数，分析角的取值范围，即可求出三角函数的取值范围.

试题解析：（1）因为，由正弦定理得

，即，

则

根据余弦定理得

又因为，所以

（2）因为，所以

则

因为三角形为锐角三角形且，所以

则

所以，

所以

即取值范围为

点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.