2019-2020学年北京二中教育集团七年级（下）期末数学试卷 解析版

2019-2020学年北京二中教育集团七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）已知a＞b，下列不等式中，不正确的是（　　）
A．a+4＞b+4 B．a﹣8＞b﹣8 C．5a＞5b D．﹣6a＞﹣6b
3．（3分）下列计算，不正确的是（　　）
A．x3•x4＝x7 B．（3x）2＝9x2 C．（x3）3＝x6 D．2x2÷x＝2x
4．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（　　）
A．了解某班学生对国家“一带一路”战略的知晓率
B．了解某鱼塘中鱼的数量
C．了解一批灯泡的使用寿命
D．了解电视栏目《朗读者》的收视率
5．（3分）如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块三角尺的一边紧贴在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是（　　）

A．两点之间，线段最短
B．过两点有且只有一条直线
C．过一点可以作无数条直线
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
6．（3分）如图是某手机店今年1﹣5月份音乐手机销售额统计图．根据图中信息，可以判断相邻两个月音乐手机销售额变化最大的是（　　）

A．1月至2月 B．2月至3月 C．3月至4月 D．4月至5月
7．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1），将线段AB沿某一方向平移后，若点A的对应点A′的坐标为（﹣2，0），则点B的对应点B′的坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣2） B．（5，2） C．（﹣1，﹣3） D．（0，﹣2）
8．（3分）如图，直线AB∥CD，∠BEF的平分线交直线CD于点M，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　）

A．50° B．70° C．80° D．110°
9．（3分）如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　）

A．140 B．70 C．35 D．24
10．（3分）若不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤0
二、填空题（每空2分，共18分）
11．（2分）写出一个解集为x＞1的一元一次不等式：　 　．
12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点P（4﹣m，m﹣9）在y轴上，则m＝　 　．
13．（2分）如果x2+mx+4是一个完全平方式，那么m的值是　 　．
14．（2分）因式分解：2a3﹣12a2+18a＝　 　．
15．（2分）如果3m＝2，3n＝5，那么32m﹣n的值为　 　．
16．（2分）如图，∠1＝∠2，∠A＝60°，则∠ADC＝　 　度．

17．（2分）如图，DE∥BC，EF∥AB，EF平分∠DEC，则图中与∠A相等的角有　 　个（∠A自身除外）．

18．（4分）当n取正整数时，（1+x）n的展开式中每一项的系数可以表示成如下形式：
（1）观察上面数表的规律，若（1+x）6＝1+6x+15x2+ax3+15x4+6x5+x6，则a＝　 　；
（2）（1+x）7的展开式中每一项的系数和为　 　．
三、解答题（19～20题，每题4分，21～25题，每题5分，26～27题，每题6分，28题7分，共52分）
19．（4分）计算：﹣2x3y2•（x2y3）2．
20．（4分）解不等式组：．
21．（5分）下面是小华同学在笔记本上完成课堂练习的解题过程：
（2x﹣3y）2﹣（x﹣2y）（x+2y）
＝4x2﹣6xy+3y2﹣x2﹣2y2 第一步
＝3x2﹣6xy+y2 第二步
小禹看到小华的做法后，对她说：“你做错了，在第一步运用公式时出现了错误，你好好查一下．”小华仔细检查后发现，小禹说的是正确的．
解答下列问题：
（1）请你用标记符号“”在以上小华解答过程的第一步中圈出所有错误之处；
（2）请重新写出完成此题的解答过程．
22．（5分）如图，AB∥CD，点P为AC上一点．
（1）过点P作直线PF∥CD，交BD于点F；
（2）在（1）的条件下，求证：∠1+∠2＝∠BPD．

23．（5分）完成下面的证明．
已知：如图，BC∥DE，BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．
求证：∠1＝∠2．
证明：∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠ADE（　 　）．
∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．
∴∠3＝∠ABC，∠4＝∠ADE．
∴∠3＝∠4．
∴　 　∥　 　（　 　）．
∴∠1＝∠2（　 　）．

24．（5分）已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）
（1）在坐标系中描出各点，画出△ABC．
（2）求△ABC的面积；
（3）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．

25．（5分）列不等式解应用题：
倡导健康生活，推进全民健身．某社区要购进A，B两种型号的健身器材共50套，A，B两种型号健身器材的购买价格分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．若购买支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套．
26．（6分）为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛活动．现随机抽取部分同学的成绩（单位：分）进行统计，下面给出了部分信息．
a．被抽取的部分同学成绩的频数分布直方图和扇形统计图如图：
（数据分组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
b．成绩在80≤x＜90这一组的分数如下：
80 80 82 82 83 84 84 84 84 85 87 87 88 88 89
根据以上信息，完成下列问题：
（1）扇形图中，a＝　 　，并把频数分布直方图补充完整；
（2）求扇形B的圆心角度数；
（3）如果全校有2000名学生参加这次活动，85分以上（含85分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学生有多少人？
27．（6分）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．
比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虛框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝　 　；

（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式　 　；
（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长（x＞y），观察图案，指出以下正确的关系式　 　（填写选项）．
A．xy＝ B．x+y＝m C．x2﹣y2＝mn D．x2+y2＝
28．（7分）如图，对于平面直角坐标系中的任意两点A，B给出如下定义：过点A作直线m⊥x轴，过点B作直线n⊥y轴，直线m，n交于点C，我们把BC叫做A，B两点之间的水平宽，记作d1（A，B），即d1（A，B）＝|xA﹣xB|，把AC叫做A，B两点之间的铅垂高，记作d2（A，B），即d2（A，B）＝|yA﹣yB|．
特别地，当AB⊥x轴时，规定A，B两点之间的水平宽为0，即d1（A，B）＝0，A，B两点之间的铅垂高为线段AB的长，即d2（A，B）＝|yA﹣yB|；
当AB⊥y轴时，规定A，B两点之间的水平宽为线段AB的长，即d1（A，B）＝|xA﹣xB|，A，B两点之间的铅垂高为0，即d2（A，B）＝0；
（1）已知O为坐标原点，点P（2，﹣1），则d1（O，P）＝　 　，d2（O，P）＝　 　．
（2）已知点Q（3t，﹣2t+2）．
①若点D（0，2），d1（Q，D）+d2（Q，D）＝5，求t的值；
②若点D（﹣2t，3t），直接写出d1（Q，D）+d2（Q，D）的最小值．


2019-2020学年北京二中教育集团七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）
1．【解答】解：点A（﹣4，2）在第二象限．
故选：B．
2．【解答】解：∵a＞b，
∴a+4＞b+4，
∴选项A正确；

∵a＞b，
∴a﹣8＞b﹣8，
∴选项B正确；

∵a＞b，
∴5a＞5b，
∴选项C正确；

∵a＞b，
∴﹣6a＜﹣6b，
∴选项D不正确．
故选：D．
3．【解答】解：（C）原式＝x9，故C错误，
故选：C．
4．【解答】解：A、了解某班学生对国家“一带一路”战略的知晓率的调查适合采用全面调查方式；
B、了解某鱼塘中鱼的数量的调查适合抽样调查方式；
C、了解一批灯泡的使用寿命的调查适合抽样调查方式；
D、了解电视栏目《朗读者》的收视率的调查适合抽样调查方式；
故选：A．
5．【解答】解：这样做的理由是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
故选：D．
6．【解答】解：1月至2月，30﹣23＝7万元，
2月至3月，30﹣25＝5万元，
3月至4月，25﹣15＝10万元，
4月至5月，19﹣15＝4万元，
所以，相邻两个月中，音乐手机销售额变化最大的是3月至4月．
故选：C．
7．【解答】解：平移后的线段A′B′如图所示，B′（﹣1，﹣2），

故选：A．
8．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝50°，
∴∠BEM＝50°，
∵EM平分∠BEF，
∴∠BEF＝2∠BEM＝2×50°＝100°，
∴∠2＝180°﹣∠BEF＝180°﹣100°＝80°，
故选：C．
9．【解答】解：根据题意得：a+b＝＝7，ab＝10，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝10×7＝70；
故选：B．
10．【解答】解：解不等式x+5＜5x+1，得：x＞1，
解不等式x﹣m＞0，得：x＞m，
∵不等式组的解集为x＞1，
∴m≤1，
故选：B．
二、填空题（每空2分，共18分）
11．【解答】解：移项，得x﹣1＞0（答案不唯一）．
故答案为x﹣1＞0．
12．【解答】解：∵P（4﹣m，m﹣9）在y轴上，
∴4﹣m＝0，
∴m＝4，
故答案为：4．
13．【解答】解：∵x2+mx+4是一个完全平方式，
∴m＝±4，
故答案为：±4
14．【解答】解：2a3﹣12a2+18a
＝2a（a2﹣6a+9）
＝2a（a﹣3）2．
故答案为：2a（a﹣3）2．
15．【解答】解：∵3m＝2，3n＝5，
∴32m﹣n＝（3m）2÷3n＝4÷5＝．
故答案为：．
故答案为：．
16．【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ADC＝120°．
故答案为：120°
17．【解答】解：
∵DE∥AB，
∴∠DEF＝∠EFC，
又EF平分∠DEC，
∴∠DEF＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠EFC，
又EF∥AB，DE∥BC，
∴∠A＝∠CEF，∠B＝∠ADE，
∴∠CEF＝∠CFE＝∠B＝∠ADE＝∠DEF＝∠A，
故答案为：5．
18．【解答】解：（1）由题意可得，
（1+x）6＝1+6x+15x2+ax3+15x4+6x5+x6，则a＝20；
（2）∵当n＝1时，多项式（1+x）1展开式的各项系数之和为：1+1＝2＝21，
当n＝2时，多项式（1+x）2展开式的各项系数之和为：1+2+1＝4＝22，
当n＝3时，多项式（1+x）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1＝8＝23，
当n＝4时，多项式（1+x）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1＝16＝24，
…
∴多项式（1+x）7展开式的各项系数之和＝27．
故答案为：20，27．
三、解答题（19～20题，每题4分，21～25题，每题5分，26～27题，每题6分，28题7分，共52分）
19．【解答】解：﹣2x3y2•（x2y3）2
＝﹣2x3y2•x4y6
＝﹣2x7y8．
20．【解答】解：
解不等式①得x≤1；
解不等式②得x＞﹣3；
∴不等式组的解集是：﹣3＜x≤1．
21．【解答】解：（1）如图所示：

（2）（2x﹣3y）2﹣（x﹣2y）（x+2y）
＝4x2﹣12xy+9y2﹣x2+4y2
＝3x2﹣12xy+13y2．
22．【解答】（1）解：如图，直线PF即为所求．


（2）证明：∵AB∥CD，PF∥CD，
∴PF∥AB，
∴∠1＝∠BPF，∠2＝∠DPF，
∵∠BPD＝∠BPF+∠DPF，
∴∠1+∠2＝∠BPD．
23．【解答】证明：∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠ADE（ 两直线平行，同位角相等）．
∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．
∴∠3＝∠ABC，∠4＝∠ADE．
∴∠3＝∠4，
∴DF∥BE（同位角相等，两直线平行），
∴∠FDE＝∠DEB（两直线平行，内错角相等），
故答案是：两直线平行，同位角相等；DF；BE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
24．【解答】解：（1）如图所示：

（2）过点C向x、y轴作垂线，垂足为D、E．
∴四边形DOEC的面积＝3×4＝12，△BCD的面积＝＝3，△ACE的面积＝＝4，△AOB的面积＝＝1．
∴△ABC的面积＝四边形DOEC的面积﹣△ACE的面积﹣△BCD的面积﹣△AOB的面积
＝12﹣3﹣4﹣1＝4．
当点p在x轴上时，△ABP的面积＝＝4，即：，解得：BP＝8，
所点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）；
当点P在y轴上时，△ABP的面积＝＝4，即，解得：AP＝4．
所以点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）．
所以点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）或（10，0）或（﹣6，0）．
25．【解答】解：设A种型号健身器材购买了x套，则B种型号健身器材购买了（50﹣x）套，
依题意，得：310x+460（50﹣x）≤18000，
解得：x≥．
又∵x为正整数，
∴x的最小值为34．
答：A种型号健身器材至少要购买34套．
26．【解答】解：（1）本次调查的学生有：10÷20%＝50（人），
a%＝15÷50×100%＝30%，
70≤x＜80的学生有：50﹣5﹣7﹣15﹣10＝13（人），
补全的频数分布直方图如右图所示，
故答案为：30；
（2）B所对的圆心角的度数为：360°×＝50.4°；
（3）∵成绩在80≤x＜90这一组的分数如下：
80 80 82 82 83 84 84 84 84 85 87 87 88 88 89
∴成绩大于等于85的有6人，
D组15人，E组10人，
∴85分以上（含85分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学生有2000×＝1240（人），
即85分以上（含85分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学生有1240人．

27．【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为：2a2+5ab+2b2；拼图如图所示：

（2）a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼成如图所示的图形，

因此可得等式：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b），
故答案为：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b）；
（3）由图③可知，m＝x+y，n＝x﹣y，因此有m+n＝2x，m﹣n＝2y，mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2；
＝＝＝xy；
＝＝＝x2+y2；
故答案为：A、B、C、D．
28．【解答】解：（1）由题意，d1（O，P）＝|2﹣0|＝2，d2（O，P）＝|0﹣（﹣1）|＝1，
故答案为2，1．

（2）①由题意：|3t|+||2t|＝5，
当t＞0时，t＝1，
当t＜0时，t＝﹣1，
综上所述，t的值为±1．

②由题意，d1（Q，D）+d2（Q，D）＝|5t|+|5t﹣2|，
当t≤0时，d1（Q，D）+d2（Q，D）＝|5t|+|5t﹣2|＝2﹣10t，
t＝0时，有最小值，最小值为2，
当0＜t＜时，d1（Q，D）+d2（Q，D）＝|5t|+|5t﹣2|＝5t+2﹣5t＝2，
当t≥时，d1（Q，D）+d2（Q，D）＝|5t|+|5t﹣2|＝10t﹣2，
t＝时，有最小值，最小值为2，
综上所述，d1（Q，D）+d2（Q，D）的最小值为2．