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【专项练习】中考数学试题分专题训练 专题5.3 锐角三角形（第03期）（教师版含解析）
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这是一份【专项练习】中考数学试题分专题训练 专题5.3 锐角三角形（第03期）（教师版含解析），共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，将一块菱形ABCD硬纸片固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=．若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【来源】湖北省荆州市2018年中考数学试卷
【答案】B
【点睛】本题考查几何概率、菱形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
2．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB=，BD=5，则AH的长为（ ）
A． B． C． D．
【来源】广西壮族自治区贺州市2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】【分析】连接OD，由垂径定理得出AB⊥CD，由三角函数求出BH=3，由勾股定理得出
DH==4，设OH=x，则OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
设OH=x，则OD=OB=x+3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2，
解得：x=，
∴OH=，
∴AH=OA+OH=+3+=，
故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练应用垂径定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键.学&科网
3．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB两侧的点，若∠D=30°，则tan∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
【来源】辽宁省葫芦岛市2018年中考数学试卷
【答案】C
【点睛】本题考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值，求得∠ABC=60°是解本题的关键.
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ）
A． 3 B． C． D．
【来源】云南省2018年中考数学试卷
【答案】A
【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠A的正切值为=3，
故选A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．
5．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B． 1 C． D．
【来源】贵州省贵阳市2018年中考数学试卷
【答案】B
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
6．如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（ ）
（参考数据：，，）
A． 12.6米 B． 13.1米 C． 14.7米 D． 16.3米
【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷（A卷）
【答案】B
【解析】【分析】延长AB交地面于点H，作CM⊥DE， 易得CM=1.6，DM=1.2，再由tan58°=，求得AH长即可得.
即=1.6，
∴AH=14.72，
∴AB=AH-BH=14.72-1.6=13.12≈13.1（米），
故选B.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，从图中提取相关信息是解题的关键.
7．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题
【答案】D
∴sinα-cosα=，
故选D.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出直角三角形的三边长是解题的关键.
二、填空题
8．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为______m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【来源】辽宁省大连市2018年中考数学试卷
【答案】9.5
【解析】分析：根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．
详解：过D作DE⊥AB，
点睛：此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
9．如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC的高度为__m（结果保留根号）．
【来源】辽宁省阜新市2018年中考数学试题
【答案】
点睛：此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
10．计算：|﹣2|﹣+（）﹣1+tan45°=_____．
【来源】湖北省荆州市2018年中考数学试卷
【答案】3
【解析】
【分析】按顺序先进行绝对值的化简、二次根式的化简、负指数幂的运算，特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】|﹣2|﹣+（）﹣1+tan45°
=2﹣2+2+1
=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及了绝对值的化简、二次根式的化简、负指数幂的运算、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
11．荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为_____米（≈1.73，结果精确到0.1）．
【来源】湖北省荆州市2018年中考数学试卷
【答案】24.1
【详解】如图，设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，
∴CE=33，
∵∠CBE=45°=∠BCE，∠CAE=30°，
∴BE=CE=33，
∴AE=a+33，
∵tanA=，
∴tan30°=，即33=a+33，
解得a=33（﹣1）≈24.1，
∴a的值约为24.1米，
故答案为：24.1．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据在直角三角形中三角函数的定义列出算式，得出关于a的方程．学&科网
12．如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为__米（结果保留根号）．
【来源】辽宁省葫芦岛市2018年中考数学试卷
【答案】100+100
∴AB=AD+DB=100+100（米），
故答案为：100+100．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，解题的关键是借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
13．如图，△ABC是等边三角形，AB=，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=_____．
【来源】辽宁省沈阳市2018年中考数学试卷
【答案】
【详解】作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°，
∴∠ABH=∠CAH，
在△ABE和△CAH中，
∴△ABE≌△CAH，
∴BE=AH，AE=CH，
在Rt△AHC中，AH2+（AH）2=AC2=（）2，解得AH=2，
∴BE=2，HE=1，AE=CH=，
∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1，
在Rt△BFH中，HF=BH=，BF=，
∵BF∥CH，
∴△CHD∽△BFD，
∴=2，
∴DH=HF=×=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等，解题的关键是明确在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是_____．
【来源】湖南省郴州市2018年中考数学试卷
【答案】
【解析】【分析】根据菱形的性质，可得OC的长，根据三角函数，可得OD与CD，从而可得点C坐标，然后再根据待定系数法，即可求得直线AC的表达式.
【详解】如图，
OD=2，
∴C（2，2），
【点睛】本题考查了菱形的性质、待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出C点坐标是解题关键．
15．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米结果保留根号．
【来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷
【答案】
【解析】【分析】在和中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．
【详解】由于，
，，
在中，，
米，
在，，
米，
米，
故答案为：.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．
16．如图，一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象相交于A、B两点，与x轴交与点C，若tan∠AOC=，则k的值为_____．
【来源】湖北省随州市2018年中考数学试卷
【答案】3
【详解】如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，
∵tan∠AOC==，∴设点A的坐标为（3a，a），
【点睛】本题考查了正切，反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．学&科网
三、解答题
17．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【来源】辽宁省抚顺市2018年中考数学试卷
【答案】（1）10米；（2）11.4米
【解析】
【分析】
（1）延长DC交AN于H．只要证明BC=CD即可；
（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在 Rt△ADH中求出AH即可解决问题.
【详解】
（1）如图，延长DC交AN于H，
∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，
∴∠BDH=30°，
∵∠CBH=30°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BC=CD=10（米）；
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
18．问题：已知α、β均为锐角，tanα=，tanβ=，求α+β的度数．
探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；
延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．
【来源】湖北省荆州市2018年中考数学试卷
【答案】（1）α+β=45°；（2）．
【解析】
【分析】（1）连结AM、MH，则∠MHP=∠α，然后再证明△AMH为等腰直角三角形即可；
（2）先求得MH的长，然后再求得弧MR所对圆心角的度数，最后，再依据弧长公式求解即可．
【详解】（1）如图，连结AM、MH，则∠MHP=∠α，
【点睛】本题考查了弧长的计算、等腰直角三角形的判定，锐角三角函数的性质，正确添加辅助线是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC=，求BC的长．
【来源】广西壮族自治区贺州市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）BC=6．
【解析】【分析】（1）由ASA证明△AOD≌△COE，得出对应边相等AD=CE，证出四边形AECD是平行四边形，即可得出四边形AECD是菱形；
（2）由菱形的性质得出AC⊥ED，再利用三角函数解答即可．
（2）由（1）知，四边形AECD是菱形，
∴AC⊥ED，
在Rt△AOD中，tan∠DAO==tan∠BAC=，
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等，熟练掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
20．如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【来源】广西壮族自治区贺州市2018年中考数学试卷
【答案】A处与灯塔B相距109海里．
【解析】【分析】直接过点C作CM⊥AB求出AM，CM的长，再利用锐角三角函数关系得出BM的长即可得出答案．
【详解】过点C作CM⊥AB，垂足为M，
在Rt△ACM中，∠MAC=90°﹣45°=45°，则∠MCA=45°，
∴AM=MC，
由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（20×2）2，
答：A处与灯塔B相距109海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．计算：（﹣1）2018+|﹣|﹣（﹣π）0﹣2sin60°．
【来源】广西壮族自治区贺州市2018年中考数学试卷
【答案】0.
【解析】【分析】按顺序先分别进行乘方的运算、绝对值的化简、0次幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可得.
【详解】（﹣1）2018+|﹣|﹣（﹣π）0﹣2sin60°
=1+﹣1﹣2×
=1+﹣1﹣
=0．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及了绝对值的化简、0次幂的运算、特殊角的三角函数值，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
22．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度小宇同学在A处观测对岸点C，测得，小英同学在距点A处60米远的B点测得，请根据这些数据算出河宽精确到米，，．
【来源】青海省2018年中考数学试卷
【答案】河宽为米．
【详解】
过C作于E，设米，
在中：，
在中：，，
解之得：．
答：河宽为米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
23．计算：
【来源】青海省2018年中考数学试卷
【答案】2.
【点睛】
本题考查了实数的运算，涉及了特殊角的三角函数值、负指数幂、乘方、开立方等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 学&科网
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒个单位的速度向点C运动，同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点M作MP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．设点M、点N的运动时间为t（s），当t为多少时，△PNE是等腰三角形？
【来源】四川省巴中市2018年中考数学试卷
【答案】（1）A（﹣1，0）；（2）y=x2﹣x﹣2；（3）当t=1时，△PNE是等腰三角形．
【详解】
（1）∵C（0，﹣2），
∴OC=2，
由tan∠BCO==2得OB=4，
则点B（4，0），
∵OB=4OA，
∴OA=1，
则A（﹣1，0）；
（2）将点A（﹣1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx﹣2，
得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；
①点N在点E左侧时，即﹣1+2t＜4﹣t，解得t＜ ，
此时NE=AO+OE﹣AN=1+4﹣t﹣2t=5﹣3t，
∵△PNE是等腰三角形，
∴PE=NE，
即﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2=5﹣3t，
整理，得：t2﹣11t+10=0，
解得：t=1或t=10＞（舍）；
②当点N在点E右侧时，即﹣1+2t＞4﹣t，解得t＞，
又且2t≤5，
∴＜t≤ ，
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及三角函数的应用、等腰三角形的性质等知识点．
25．在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB为10m，求塑像的高度CF．（结果保留根号）
【来源】四川省巴中市2018年中考数学试卷
【答案】广告牌CD的高为（5﹣3.5）m．
【解析】
【分析】
在Rt△CDG和Rt△CEG中，求出公共边CG的长度，然后可求得CF=CG+GF．
【详解】
解：∵AB=10m，
∴DE=DG+EG=10m，
在Rt△CEG中，
∵∠CEG=45°，
∴EG=CG，
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
26．祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．
项目
内容
课题
测量斜拉索顶端到桥面的距离
测量示意图
说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内．
测量数据
∠A的度数
∠B的度数
AB的长度
38°
28°
234米
…
…
（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．
【来源】山西省2018年中考数学试题
【答案】（1）斜拉索顶端点C到AB的距离为72米；（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
（1）过点C作CD⊥AB于点D．解直角三角形求出DC即可；
（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等
∵AD+BD=AB=234，
∴x+2x＝234．
解得x=72．
答：斜拉索顶端点C到AB的距离为72米．
（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一）
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
27．在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是0.8m，A端到地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°（点C、E、D在同一直线上），求小水池的宽DE．（结果精确到
0.1m）（sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan50°≈1.2）
【来源】山东省莱芜市2018年中考数学试题
【答案】：小水池的宽DE为1.7米．
【详解】
过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，
在Rt△BAF中，∠BAF=65°，BF=AB•sin∠BAF=0.8×0.9=0.72，
AF=AB•cos∠BAF=0.8×0.4=0.32，
∴FC=AF+AC=4.32，
【点睛】
此题考查的知识点是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．学&科网
28．如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．
【来源】江苏省镇江市2018年中考数学试卷
【答案】教学楼AB的高度AB长13.3m．
【解析】
【分析】
如图，延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，由题意可得，
MB=HG=FE=ND=1.6m，HF=GE=8m，MF=BE，HN=GD，MN=BD=24m，设AM=xm，则CN=xm，在Rt△AFM中，可得MF=x，在Rt△CNH中，可得HN=x，根据HF=MF+HN﹣MN可得关于x的方程，解方程求得x的值，继而可求得AB的值.
答：教学楼AB的高度AB长13.3m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.
29．（1）计算：2﹣1+（2018﹣π）0﹣sin30°；（2）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．
【来源】江苏省镇江市2018年中考数学试卷
【答案】（1）1；（2）a．
【解析】
【分析】
（1）先分别进行负指数幂的运算、0次幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可；
（2）利用完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则进行展开，然后再进行合并同类项即可.
【点睛】
本题考查了实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握各运算的运算法则以及特殊角的三角函数值是解题的关键.
30．随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为 开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测 量人员在瀑布的对面山上 D 点处测得瀑布顶端 A 点的仰角是 30°，测得瀑布底端 B 点的俯角是 10°，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得 CG=27m， GF=17.6m（注：C、G、F 三点在同一直线上，CF⊥AB 于点 F）．斜坡 CD=20m， 坡角∠ECD=40°．求瀑布 AB 的高度．（参考数据：
≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）
【来源】广西壮族自治区梧州市2018年中考数学试题
【答案】瀑布 AB 的高度约为 45.4 米．
【解析】
【分析】
过点 D 作 DM⊥CE，交 CE 于点 M，作 DN⊥AB，交 AB 于点 N，在 Rt△ CMD 中，通过解直角三角形可求出 CM 的长度，进而可得出 MF、DN 的长度， 再在 Rt△BDN、Rt△ADN 中，利用解直角三角形求出 BN、AN 的长度，结合 AB=AN+BN 即可求出瀑布 AB 的高度．
【详解】
如图，过点 D 作 DM⊥CE，交 CE 于点 M，作 DN⊥AB，交 AB 于点 N，
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题、坡度坡角问题，添加辅助线构造直角三角形，求出 AN、BN 的长度是解题的关键．学&科网
31．如图，△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，∠FAC=∠ABC，且∠FAC在AC下方．点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE．
（1）若∠ABC=60°，BP=AQ．
①如图1，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；
②如图2，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；
（2）若∠ABC=2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍然成立（用含α的三角函数表示）．
【来源】辽宁省抚顺市2018年中考数学试卷
【答案】（1）①DE=AQ，DE∥AQ，理由见解析；② E∥AQ，DE=AQ，理由见解析；（2）AQ=2BP•sinα，理由见解析.
【详解】
（1）①DE=AQ，DE∥AQ，
理由：如图1，连接PC，PQ，
在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
②DE∥AQ，DE=AQ，
理由：如图2，连接PQ，PC，
同①的方法得出DE∥AQ，DE=AQ；
（2）AQ=2BP•sinα，
理由：连接PQ，PC，
要使DE=AQ，DE∥AQ，
∵AD=CD，
∴CE=QE，
∵PE⊥CQ，
∴PQ=PC，
易知，PA=PC，
∴PA=PE=PC
∴以点P为圆心，PA为半径的圆必过A，Q，C，
∴∠APQ=2∠ACQ，
在Rt△BCD中，sinα=，
∴=2×=2sinα，
∴AQ=2BP•sinα．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出∠BCP=∠ACQ是解本题的关键．学&科网
一、单选题
1．如图，将一块菱形ABCD硬纸片固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=．若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【来源】湖北省荆州市2018年中考数学试卷
【答案】B
【点睛】本题考查几何概率、菱形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
2．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB=，BD=5，则AH的长为（ ）
A． B． C． D．
【来源】广西壮族自治区贺州市2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】【分析】连接OD，由垂径定理得出AB⊥CD，由三角函数求出BH=3，由勾股定理得出
DH==4，设OH=x，则OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
设OH=x，则OD=OB=x+3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2，
解得：x=，
∴OH=，
∴AH=OA+OH=+3+=，
故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练应用垂径定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键.学&科网
3．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB两侧的点，若∠D=30°，则tan∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
【来源】辽宁省葫芦岛市2018年中考数学试卷
【答案】C
【点睛】本题考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值，求得∠ABC=60°是解本题的关键.
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ）
A． 3 B． C． D．
【来源】云南省2018年中考数学试卷
【答案】A
【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠A的正切值为=3，
故选A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．
5．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B． 1 C． D．
【来源】贵州省贵阳市2018年中考数学试卷
【答案】B
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
6．如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（ ）
（参考数据：，，）
A． 12.6米 B． 13.1米 C． 14.7米 D． 16.3米
【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷（A卷）
【答案】B
【解析】【分析】延长AB交地面于点H，作CM⊥DE， 易得CM=1.6，DM=1.2，再由tan58°=，求得AH长即可得.
即=1.6，
∴AH=14.72，
∴AB=AH-BH=14.72-1.6=13.12≈13.1（米），
故选B.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，从图中提取相关信息是解题的关键.
7．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题
【答案】D
∴sinα-cosα=，
故选D.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出直角三角形的三边长是解题的关键.
二、填空题
8．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为______m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【来源】辽宁省大连市2018年中考数学试卷
【答案】9.5
【解析】分析：根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．
详解：过D作DE⊥AB，
点睛：此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
9．如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC的高度为__m（结果保留根号）．
【来源】辽宁省阜新市2018年中考数学试题
【答案】
点睛：此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
10．计算：|﹣2|﹣+（）﹣1+tan45°=_____．
【来源】湖北省荆州市2018年中考数学试卷
【答案】3
【解析】
【分析】按顺序先进行绝对值的化简、二次根式的化简、负指数幂的运算，特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】|﹣2|﹣+（）﹣1+tan45°
=2﹣2+2+1
=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及了绝对值的化简、二次根式的化简、负指数幂的运算、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
11．荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为_____米（≈1.73，结果精确到0.1）．
【来源】湖北省荆州市2018年中考数学试卷
【答案】24.1
【详解】如图，设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，
∴CE=33，
∵∠CBE=45°=∠BCE，∠CAE=30°，
∴BE=CE=33，
∴AE=a+33，
∵tanA=，
∴tan30°=，即33=a+33，
解得a=33（﹣1）≈24.1，
∴a的值约为24.1米，
故答案为：24.1．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据在直角三角形中三角函数的定义列出算式，得出关于a的方程．学&科网
12．如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为__米（结果保留根号）．
【来源】辽宁省葫芦岛市2018年中考数学试卷
【答案】100+100
∴AB=AD+DB=100+100（米），
故答案为：100+100．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，解题的关键是借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
13．如图，△ABC是等边三角形，AB=，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=_____．
【来源】辽宁省沈阳市2018年中考数学试卷
【答案】
【详解】作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°，
∴∠ABH=∠CAH，
在△ABE和△CAH中，
∴△ABE≌△CAH，
∴BE=AH，AE=CH，
在Rt△AHC中，AH2+（AH）2=AC2=（）2，解得AH=2，
∴BE=2，HE=1，AE=CH=，
∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1，
在Rt△BFH中，HF=BH=，BF=，
∵BF∥CH，
∴△CHD∽△BFD，
∴=2，
∴DH=HF=×=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等，解题的关键是明确在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是_____．
【来源】湖南省郴州市2018年中考数学试卷
【答案】
【解析】【分析】根据菱形的性质，可得OC的长，根据三角函数，可得OD与CD，从而可得点C坐标，然后再根据待定系数法，即可求得直线AC的表达式.
【详解】如图，
OD=2，
∴C（2，2），
【点睛】本题考查了菱形的性质、待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出C点坐标是解题关键．
15．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米结果保留根号．
【来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷
【答案】
【解析】【分析】在和中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．
【详解】由于，
，，
在中，，
米，
在，，
米，
米，
故答案为：.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．
16．如图，一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象相交于A、B两点，与x轴交与点C，若tan∠AOC=，则k的值为_____．
【来源】湖北省随州市2018年中考数学试卷
【答案】3
【详解】如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，
∵tan∠AOC==，∴设点A的坐标为（3a，a），
【点睛】本题考查了正切，反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．学&科网
三、解答题
17．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【来源】辽宁省抚顺市2018年中考数学试卷
【答案】（1）10米；（2）11.4米
【解析】
【分析】
（1）延长DC交AN于H．只要证明BC=CD即可；
（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在 Rt△ADH中求出AH即可解决问题.
【详解】
（1）如图，延长DC交AN于H，
∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，
∴∠BDH=30°，
∵∠CBH=30°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BC=CD=10（米）；
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
18．问题：已知α、β均为锐角，tanα=，tanβ=，求α+β的度数．
探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；
延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．
【来源】湖北省荆州市2018年中考数学试卷
【答案】（1）α+β=45°；（2）．
【解析】
【分析】（1）连结AM、MH，则∠MHP=∠α，然后再证明△AMH为等腰直角三角形即可；
（2）先求得MH的长，然后再求得弧MR所对圆心角的度数，最后，再依据弧长公式求解即可．
【详解】（1）如图，连结AM、MH，则∠MHP=∠α，
【点睛】本题考查了弧长的计算、等腰直角三角形的判定，锐角三角函数的性质，正确添加辅助线是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC=，求BC的长．
【来源】广西壮族自治区贺州市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）BC=6．
【解析】【分析】（1）由ASA证明△AOD≌△COE，得出对应边相等AD=CE，证出四边形AECD是平行四边形，即可得出四边形AECD是菱形；
（2）由菱形的性质得出AC⊥ED，再利用三角函数解答即可．
（2）由（1）知，四边形AECD是菱形，
∴AC⊥ED，
在Rt△AOD中，tan∠DAO==tan∠BAC=，
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等，熟练掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
20．如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【来源】广西壮族自治区贺州市2018年中考数学试卷
【答案】A处与灯塔B相距109海里．
【解析】【分析】直接过点C作CM⊥AB求出AM，CM的长，再利用锐角三角函数关系得出BM的长即可得出答案．
【详解】过点C作CM⊥AB，垂足为M，
在Rt△ACM中，∠MAC=90°﹣45°=45°，则∠MCA=45°，
∴AM=MC，
由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（20×2）2，
答：A处与灯塔B相距109海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．计算：（﹣1）2018+|﹣|﹣（﹣π）0﹣2sin60°．
【来源】广西壮族自治区贺州市2018年中考数学试卷
【答案】0.
【解析】【分析】按顺序先分别进行乘方的运算、绝对值的化简、0次幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可得.
【详解】（﹣1）2018+|﹣|﹣（﹣π）0﹣2sin60°
=1+﹣1﹣2×
=1+﹣1﹣
=0．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及了绝对值的化简、0次幂的运算、特殊角的三角函数值，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
22．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度小宇同学在A处观测对岸点C，测得，小英同学在距点A处60米远的B点测得，请根据这些数据算出河宽精确到米，，．
【来源】青海省2018年中考数学试卷
【答案】河宽为米．
【详解】
过C作于E，设米，
在中：，
在中：，，
解之得：．
答：河宽为米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
23．计算：
【来源】青海省2018年中考数学试卷
【答案】2.
【点睛】
本题考查了实数的运算，涉及了特殊角的三角函数值、负指数幂、乘方、开立方等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 学&科网
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒个单位的速度向点C运动，同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点M作MP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．设点M、点N的运动时间为t（s），当t为多少时，△PNE是等腰三角形？
【来源】四川省巴中市2018年中考数学试卷
【答案】（1）A（﹣1，0）；（2）y=x2﹣x﹣2；（3）当t=1时，△PNE是等腰三角形．
【详解】
（1）∵C（0，﹣2），
∴OC=2，
由tan∠BCO==2得OB=4，
则点B（4，0），
∵OB=4OA，
∴OA=1，
则A（﹣1，0）；
（2）将点A（﹣1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx﹣2，
得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；
①点N在点E左侧时，即﹣1+2t＜4﹣t，解得t＜ ，
此时NE=AO+OE﹣AN=1+4﹣t﹣2t=5﹣3t，
∵△PNE是等腰三角形，
∴PE=NE，
即﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2=5﹣3t，
整理，得：t2﹣11t+10=0，
解得：t=1或t=10＞（舍）；
②当点N在点E右侧时，即﹣1+2t＞4﹣t，解得t＞，
又且2t≤5，
∴＜t≤ ，
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及三角函数的应用、等腰三角形的性质等知识点．
25．在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB为10m，求塑像的高度CF．（结果保留根号）
【来源】四川省巴中市2018年中考数学试卷
【答案】广告牌CD的高为（5﹣3.5）m．
【解析】
【分析】
在Rt△CDG和Rt△CEG中，求出公共边CG的长度，然后可求得CF=CG+GF．
【详解】
解：∵AB=10m，
∴DE=DG+EG=10m，
在Rt△CEG中，
∵∠CEG=45°，
∴EG=CG，
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
26．祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．
项目
内容
课题
测量斜拉索顶端到桥面的距离
测量示意图
说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内．
测量数据
∠A的度数
∠B的度数
AB的长度
38°
28°
234米
…
…
（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．
【来源】山西省2018年中考数学试题
【答案】（1）斜拉索顶端点C到AB的距离为72米；（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
（1）过点C作CD⊥AB于点D．解直角三角形求出DC即可；
（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等
∵AD+BD=AB=234，
∴x+2x＝234．
解得x=72．
答：斜拉索顶端点C到AB的距离为72米．
（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一）
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
27．在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是0.8m，A端到地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°（点C、E、D在同一直线上），求小水池的宽DE．（结果精确到
0.1m）（sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan50°≈1.2）
【来源】山东省莱芜市2018年中考数学试题
【答案】：小水池的宽DE为1.7米．
【详解】
过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，
在Rt△BAF中，∠BAF=65°，BF=AB•sin∠BAF=0.8×0.9=0.72，
AF=AB•cos∠BAF=0.8×0.4=0.32，
∴FC=AF+AC=4.32，
【点睛】
此题考查的知识点是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．学&科网
28．如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．
【来源】江苏省镇江市2018年中考数学试卷
【答案】教学楼AB的高度AB长13.3m．
【解析】
【分析】
如图，延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，由题意可得，
MB=HG=FE=ND=1.6m，HF=GE=8m，MF=BE，HN=GD，MN=BD=24m，设AM=xm，则CN=xm，在Rt△AFM中，可得MF=x，在Rt△CNH中，可得HN=x，根据HF=MF+HN﹣MN可得关于x的方程，解方程求得x的值，继而可求得AB的值.
答：教学楼AB的高度AB长13.3m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.
29．（1）计算：2﹣1+（2018﹣π）0﹣sin30°；（2）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．
【来源】江苏省镇江市2018年中考数学试卷
【答案】（1）1；（2）a．
【解析】
【分析】
（1）先分别进行负指数幂的运算、0次幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可；
（2）利用完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则进行展开，然后再进行合并同类项即可.
【点睛】
本题考查了实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握各运算的运算法则以及特殊角的三角函数值是解题的关键.
30．随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为 开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测 量人员在瀑布的对面山上 D 点处测得瀑布顶端 A 点的仰角是 30°，测得瀑布底端 B 点的俯角是 10°，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得 CG=27m， GF=17.6m（注：C、G、F 三点在同一直线上，CF⊥AB 于点 F）．斜坡 CD=20m， 坡角∠ECD=40°．求瀑布 AB 的高度．（参考数据：
≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）
【来源】广西壮族自治区梧州市2018年中考数学试题
【答案】瀑布 AB 的高度约为 45.4 米．
【解析】
【分析】
过点 D 作 DM⊥CE，交 CE 于点 M，作 DN⊥AB，交 AB 于点 N，在 Rt△ CMD 中，通过解直角三角形可求出 CM 的长度，进而可得出 MF、DN 的长度， 再在 Rt△BDN、Rt△ADN 中，利用解直角三角形求出 BN、AN 的长度，结合 AB=AN+BN 即可求出瀑布 AB 的高度．
【详解】
如图，过点 D 作 DM⊥CE，交 CE 于点 M，作 DN⊥AB，交 AB 于点 N，
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题、坡度坡角问题，添加辅助线构造直角三角形，求出 AN、BN 的长度是解题的关键．学&科网
31．如图，△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，∠FAC=∠ABC，且∠FAC在AC下方．点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE．
（1）若∠ABC=60°，BP=AQ．
①如图1，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；
②如图2，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；
（2）若∠ABC=2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍然成立（用含α的三角函数表示）．
【来源】辽宁省抚顺市2018年中考数学试卷
【答案】（1）①DE=AQ，DE∥AQ，理由见解析；② E∥AQ，DE=AQ，理由见解析；（2）AQ=2BP•sinα，理由见解析.
【详解】
（1）①DE=AQ，DE∥AQ，
理由：如图1，连接PC，PQ，
在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
②DE∥AQ，DE=AQ，
理由：如图2，连接PQ，PC，
同①的方法得出DE∥AQ，DE=AQ；
（2）AQ=2BP•sinα，
理由：连接PQ，PC，
要使DE=AQ，DE∥AQ，
∵AD=CD，
∴CE=QE，
∵PE⊥CQ，
∴PQ=PC，
易知，PA=PC，
∴PA=PE=PC
∴以点P为圆心，PA为半径的圆必过A，Q，C，
∴∠APQ=2∠ACQ，
在Rt△BCD中，sinα=，
∴=2×=2sinα，
∴AQ=2BP•sinα．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出∠BCP=∠ACQ是解本题的关键．学&科网
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