河北辛集中学2019届高三模拟考试（四）数学（理）试卷


数学理科试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足z（2+i）＝3+i（i为虚数单位），其共轭复数为，则为（　　）
A． B． C． D．﹣i
2．已知cos（π﹣α）＝，（其中，α，β∈（0，π）），则sin（α+β）的值为（　　）
A． B． C． D．
3．已知集合A＝{x∈R|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x∈R|x≤a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围为（　　）
A．（4，+∞） B．[4，+∞） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，4]
4．某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．已知12+22＝，12+22+32＝，12+22+33+42＝，…，若12+22+32+42+…+n2＝385（n∈N*），则n的值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若•＝0，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
7．将函数f（x）＝sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若g（x）在区间[0，a]上单调递增，则a的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图是计算的程序框图，若输出的S的值为，则判断框中应填入的条件是（　　）

A．n＞98？ B．n＞99？ C．n＞100？ D．n＞101？
9．朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中，第8天应发大米（　　）
A．350升 B．339升 C．2024升 D．2124升
10．已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（　　）

A． B．
C． D．
11．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处，若M为线段A'C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的正切值为（　　）
A． B．2 C． D．4
12．）若函数y＝f（x）的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则对称点（A，B）为y＝f（x）的“孪生点对”，点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“孪生点对”，若函数f（x）＝恰好有两个“孪生点对”，则实数a的值为（　　）
A．4 B．2 C．1 D．0
二、填空题（每题5分，满分20分）
13．（2x+1）（x﹣2）3的展开式中含x2项的系数为　 　．
14．如图所示，在正方形ABCD中，点E为边BC的中点，点F为边CD上的靠近点C的四等分点，点G为边AE上的靠近点A的三等分点，则向量用与表示为　 　．

15．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|AB|＝2|CD|＝4，∠ABC＝60°，双曲线以A，B为焦点，且与线段AD，BC（包含端点D，C）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是　 　．
16．已知数列{an}满足：a1＝1，an＝an﹣12+2an﹣1（n≥2），若bn＝（n∈N*），则数列{bn}的前n项和Sn＝　 　．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（sinA﹣cosA）cosC+（cosA+sinA）sinC＝，D为边AB上一点，BC＝2，BD＝2．
（1）求△BCD的面积；
（2）若DA＝DC，求角A的大小．

18．（12分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC⊥CB，AB＝4，，
∠PAB＝45°．
（1）证明：AC⊥平面PCB；
（2）若二面角A﹣PB﹣C的平面角的大小为60°，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．


19．（12分）某葡萄基地的种植专家发现，葡萄每株的收获量y（单位：kg）和与它“相近”葡萄的株数x具有线性相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过1m），并分别记录了相近葡萄的株数为1，2，3，4，5，6，7时，该葡萄每株收获量的相关数据如下：
x
1
2
3
5
6
7
y
15
13
12
10
9
7
（1）求该葡萄每株的收获量y关于它“相近”葡萄的株数x的线性回归方程及y的方差s2；
（2）某葡萄专业种植户种植了1000株葡萄，每株“相近”的葡萄株数按2株计算，当年的葡萄价格按10元/kg投入市场，利用上述回归方程估算该专业户的经济收入为多少万元；（精确到0.01）
（3）该葡萄基地在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株葡萄，其中每个小正方形的面积都为1m2，现在所种葡萄中随机选取一株，求它的收获量的分布列与数学期望．（注：每株收获量以线性回归方程计算所得数据四舍五入后取的整数为依据）
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．

20．（12分）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线l：y＝kx+a（a＞0）与抛物线C交于A，B两点．
（Ⅰ）若直线l过焦点F，且与圆x2+（y﹣1）2＝1交于D，E（其中A，D在y轴同侧），求证：|AD|•|BE|是定值；
（Ⅱ）设抛物线C在A和B点的切线交于点P，试问：y轴上是否存在点Q，使得APBQ为菱形？若存在，请说明理由并求此时直线l的斜率和点Q的坐标．


21．（12分）已知函数f（x）＝a（x﹣1）2+lnx，a∈R．
（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＝﹣1时，令函数g（x）＝f（x）+lnx﹣2x+1+m，若函数g（x）在区间上有两个零点，求实数m的取值范围．



请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2+cosα，sinα）（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求点P的轨迹C的方程及直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝5﹣|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数y＝f（x）的图象；
（2）记函数y＝f（x）的最大值为M，是否存在正数a，b，使2a+b＝M，且＝3，若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．
数学理科
1 C．2 A．3 B．4 A．5C． 6 D． 7 D．8 B．9 D．10 B． 11 A． 12D
12解：由题意，x≥0，f（x）＝﹣x3+6x2﹣9x+2﹣a，
关于原点对称的函数为f（x）＝﹣x3﹣6x2﹣9x﹣2+a（x＜0），
∵函数f（x）＝恰好有两个“孪生点对”，
∴x＜0时，函数的极大值为2，
f′（x）＝﹣3（x+3）（x+1），函数在（﹣∞，﹣3），（﹣1，0）单调递减，（﹣3，﹣1）单调递增，
∴x＝﹣1时取得极大值，即1﹣6+9﹣2+a＝2，∴a＝0，
故选：D．
13. 18 14. ． 15. ． 16. 1﹣．
17. 解：（1）由（sinA﹣cosA）cosC+（cosA+sinA）sinC＝，
可知sinAcosC﹣cosAcosC，
即，
即．
因为在△ABC中，B∈（0，π），所以，
所以＝＝．
（2）在△BCD中，由余弦定理，
可知DC2＝BD2+BC2﹣2BD×BC×cosB
＝＝，
所以DC＝2，所以DC＝BC，所以．
又由已知DA＝DC，得， 故角A的大小为．
18. 解：（1）在△PAB中，因为AB＝4，，∠PAB＝45°，
所以由余弦定理，可知PB2＝AB2+AP2﹣2×AB×AP×cos∠PAB＝，
所以PB＝4．故PB2+BA2＝PA2，即有PB⊥BA．
又因为平面PAB⊥平面ABC，且平面PAB∩平面ABC＝AB，PB⊂平面PAB，
所以PB⊥平面ABC．又AC⊂平面ABC，所以PB⊥AC．
又因为AC⊥CB，PB∩CB＝B，所以AC⊥平面PBC．
（2）过点B作BD⊥PC，垂足为D，连接AD．
由（1），知AC⊥平面PBC，BD⊂平面PBC，
所以AC⊥BD．又PC∩AC＝C，所以BD⊥平面PAC，
因此∠BPD即为直线PB与平面PAC所成的角．
又由（1）的证明，可知PB⊥平面ABC，
又BC⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，所以PB⊥BC，PB⊥BA，
故∠ABC即为二面角A﹣PB﹣C的平面角，即∠ABC＝60°．
故在Rt△ACB中，由AB＝4，得BC＝2．
在Rt△PBC中，，
且．
因此在Rt△PBD中，得，
故直线PB与平面PAC所成角的正弦值为．
19. 解：（1）由题意，可知，．
（﹣1）×1+1×（﹣1）+2×（﹣2）+3×（﹣4）＝﹣34，22+32＝28，
所以＝＝﹣＝﹣，
所以＝﹣＝11+×4＝，
故该葡萄每株收获量y关于它“相近”葡萄的株数x的线性回归方程为＝﹣x+．
y的方差为s2＝（10﹣11）2+（9﹣11）2+（7﹣11）2]＝7．
（2）由y＝﹣，可知当x＝2时，y＝﹣，
因此总收入为×10×1000÷10000≈13.43（万元）．
（3）由题知，x＝2，3，4．
由（1）（2），知当x＝2时，y≈13.42，所以y＝13；
当x＝3时，y＝﹣≈12.21，所以y＝12；
当x＝4时，y＝﹣＝11，
即x＝2，3，4时，与之相对应的y的值分别为13，12，11，
又P（y＝13）＝P（x＝2）＝， P（y＝12）＝P（x＝3）＝，
P（y＝11）＝P（x＝4）＝，
所以在所种葡萄中随机选取一株，它的收获量y的分布列为：
y
13
12
11
P



∴E（y）＝13×＝12．
20. 解：抛物线C：x2＝4y的焦点F（0，1），（1分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），联立x2＝4y与y＝kx+a有x2﹣4kx﹣4a＝0，
则△＝16（k2+a）＞0，且x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣4a．（2分）
（Ⅰ）若直线l过焦点F，则a＝1，则x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣4．
由条件可知圆x2+（y﹣1）2＝1圆心为F（0，1），半径为1，
由抛物线的定义有|AF|＝y1+1，|BF|＝y2+1，
则|AD|＝|AF|﹣1＝y1，|BE|＝|BF|﹣1＝y2，|AD|•|BE|＝y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝，
（或）
即|AD|•|BE|为定值，定值为1．（5分）
（Ⅱ）当直线l的斜率为0，且Q（0，3a）时APBQ为菱形．理由如下：（6分）
方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（0，y0），由x2＝4y有，则，（7分）
若APBQ为菱形，则AQ∥BP，BQ∥AP，则，
即，
则y1＝y2，∴k＝0，∴，（9分）
则抛物线C在处的切线为，即…①
同理抛物线C在处的切线为…②（10分）
联立①②P（0，﹣a）．（11分）
又AB的中点为R（0，a），所以Q（0，3a）．（12分）
方法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（0，y0），由x2＝4y有，则，（7分）
若APBQ为菱形，则AQ∥BP，BQ∥AP，
则，即，
则y1＝y2，∴k＝0，（9分）
此时直线AB：y＝kx+a＝a，则（11分）
所以Q（0，3a）．（12分）

21.解：（1）当a＝2时，f（x）＝2（x﹣1）2+lnx＝2x2﹣4x+lnx+2．
当x＝1时，f（1）＝0，所以点P（1，f（1））为P（1，0），
又，因此k＝f'（1）＝1．
因此所求切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1）⇒y＝x﹣1．
（2）当a＝﹣1时，g（x）＝2lnx﹣x2+m，
则．
因为，所以当g'（x）＝0时，x＝1，
且当时，g'（x）＞0；当1＜x＜e时，g'（x）＜0；
故g（x）在x＝1处取得极大值也即最大值g（1）＝m﹣1．
又，g（e）＝m+2﹣e2，
＝4﹣e2+，
则，所以g（x）在区间上的最小值为g（e），
故g（x）在区间上有两个零点的条件是：
，
所以实数m的取值范围是．
22. 解：（1）设点P（x，y），
所以，（α为参数）， 消去参数，得（x﹣2）2+y2＝1，
即P点的轨迹C的方程为（x﹣2）2+y2＝1
直线，展开得：ρcosθ+ρsinθ＝4⇒x+y＝4，
所以直线l的直角坐标方程为x+y﹣4＝0．
（2）由（1），可知P点的轨迹C是圆心为（2，0），半径为1的圆，
则圆心C到直线l的距离为．
所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．
23. 解：（1）由于f（x）＝5﹣|x+1|﹣|x﹣2|＝．
作图如下：
（2）由图象可知，
当﹣1≤x≤2，f（x）max＝2，即得M＝2．
假设存在正数a，b，使2a+b＝2，且，
因为＝，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为4，与相矛盾， 故不存在正数a，b，使2a+b＝2，且成立．