河北辛集中学2019届高三模拟考试（四）数学（文）试卷

文科数学试题

1．已知集合2，，，则　　

A． B． C． D．

2．复数的共轭复数是（     ）

A．    B．    C．    D．

3．已知数列满足．若，且，则（    ）.

A． B． C． D．

4．某班级在一次数学竞赛中为全班学生设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为：一等奖元、二等奖元、三等奖元、参与奖元，获奖人数的分配情况如图，则以下说法不正确的是（    ）.

A．获得参与奖的人数最多     B．各个奖项中参与奖的总费用最高

C．购买每件奖品费用的平均数为元     D．购买的三等奖的奖品件数是一、二等奖的奖品件数和的二倍

5．分别是双曲线的左、右焦点， 为双曲线右支上一点，且，则（    ）

A．4    B．3    C．    D．2

6．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为，则该几何体的体积为（    ）.

A． B． C． D．

7．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调。“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度减去一分，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度增加一分，即变为原来的三分之四，如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的的值为，输出的的值为（    ）.

A． B． C． D．

8．已知由射线逆时针旋转到射线≤0)的位置，两条射线所成的角为，则（    ）.

A． B． C． D．

9．已知实数满足不等式组，则的最大值为（  ）

A．0    B．3    C．9    D．11

10．已知数列的前项和为，将该数列按下列格式（第行有个数）排成一个数阵，则该数阵第行从左向右第个数字为（    ）.

A． B． C． D．

11．已知（其中，的最小值为，将的图像向左平移个单位得，则的单调递减区间是（    ）

A． B．

C． D．

12．已知函数则函数的零点个数为（    ）.

A． B． C． D．

13．已知平面向量，之间的夹角为，若，，则__________．

14．函数的图象在原点处的切线方程为__________．

15．已知直线，抛物线，若过点与直线垂直的直线与抛物线交于，两点，则__________．

16．已知三棱锥的各顶点都在球面上，,平面,，,若该球的体积为，则三棱锥的表面积为__________．

17．已知在中，内角，，的对边分别为，，，边上的高为，．

（1）求角的大小；

（2）若的周长为，求边的长。

18．已知四棱锥中，四边形为梯形，,平面平面，为线段的中点，.

（1）证明：平面；

（2）若，求点到平面的距离.

19．某汽车公司推出了共享汽车“Warmcar”，有一款车型为“众泰云”新能源共享汽车，其中一种租用方式“分时计费”规则为：元/分钟元/公里.已知小李家离上班地点为公里，每天租用该款汽车上、下班各一次，由于堵车及红绿灯等原因每次路上开车花费的时间(分钟）是一个随机变量，现统计了次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：

（1）写出小李上班一次租车费用（元）与用车时间(分钟）的函数关系式；

（2）根据上面表格估计小李平均每次租车费用；

（3）“众秦云”新能源汽车还有一种租用方式为“按月计费”，规则为每个月收取租金元，若小李每个月上班时间平均按天计算，在不计电费的情况下，请你为小李选择一种省钱的租车方式.

20．已知椭圆的左顶点为，离心率为，点在椭圆上.

（1)求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，，求证：在轴上存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角，并求出点的坐标.

21．已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的极值点个数.

22．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）若直线经过点且与曲线交于，两点，求.

23．已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.

文科数学试题

参考答案

1．C

，，则，选.

2．C

先把复数的分母实数化，，根据共轭复数的概念易得答案C。

3．D

由数列满足，根据等差中项公式，可得数列为等差数列，

故，即，又，所以，

则，故选D.

4．B

由题意，设全班人数为，由扇形统计图可知，一等奖占，二等奖占，三等奖占，

参与奖占.获得参与奖的人数最多，故A正确；各奖项的费用：一等奖，二等奖，三等奖占，参与奖占，

可知各个奖项中三等奖的总费用最高，故B错误；

平均费用元，故C正确；

一等奖奖品数为，二等奖奖品数为，三等奖奖品数为，故D正确.

故选B.

5．A

【解析】由双曲线的定义可知，

本题选择A选项.

6．B

由题意，根据给定的三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖出两个圆锥体，

如图所示.

由图中知圆锥的半径为，高为，

该几何体的体积为，故选B.

7．B

由题意，执行循环结构的程序框图，可得：

第1次循环：，不满足判断条件；

第2次循环：，不满足判断条件；

第3次循环：，满足判断条件，输出结果，

故选B．

8．A

由题意，设的倾斜角为，则，，

射线的倾斜角为，，，

所以 ，

故选A.

9．C

【解析】

的最大值为

故选

10．B

由题意，知，

当时，，当，所以，

又由数阵知，每一行的项数依次构成的数列，，，，，构成首项为，公比为的等比数列，

由等比数列的前项和公式知，该数阵第行从左到右第个数为数列的第项，所以该数为，故选B.

11．A

∵f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），f'（x1）＝f'（x2）＝0，|x2﹣x1|min，

∴•T，

∴ω＝2，

∴f（x）＝sin（2x+θ）．

又f（x）＝f（x），

∴f（x）的图象的对称轴为x，

∴2•θ＝kπ，k∈Z，又，

∴θ，f（x）＝sin（2x）．

将f（x）的图象向左平移 个单位得G（x）＝sin（2x）＝cos2x 的图象，

令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ，则G（x）＝cos2x 的单调递减区间是[kπ，kπ]，

12．B由题意，令，得，

令,由，得或，

作出函数的图象，如图所示，

结合函数的图象可知，有个解，有个解，故的零点个数为，故选B.

13．8

由题意，平面向量，之间的夹角为，若，，

所以．

故答案为：8.

14．

由题意，函数的导数为，则在原点处的切线斜率为，

所以在原点处的切线方程为，即为，

故答案为：．

15．

依题意，设直线的方程为，

将点代入，解得，故直线，

联立，整理得，

所以

.

故答案为：

16．27.如图所示，因为平面，所以，，，

因为，，所以平面，所以，

设的中点为，则，所以为三棱锥外接球的球心，

由题知，解得，所以，在中，,，所以，

在中，，在中，，

所以三棱锥的表面积为 .

故答案为：27.

17．（1）；（2）

(1)由题意，根据三角形的面积公式，可得，解得，

即，又，．

(2）由余弦定理可得，即，

又，，则，解得.

18．（1）见解析；（2）

（1)由题意知，,且，

所以四边形是正方形，连接，所以，

又因为，，所以四边形是平行四边形，

所以，则.

因为平面平面，，平面平面，故平面.所以，所以，

又因为，则平面.

（2），，的面积为，

又由（1）知平面，，

又在中，，，，

由（1）知，的面积为，

设点到平面的距离为，则，即.

19．(1) （元）(2)元(3) 分时计费

解：(1) （元）

 (2) 平均每次用车时间为：（分钟）

平均一次租车费用（元）

(3) 租用方式为“分时计费”一个月总费用为元

因为<元

所以，对小李租车仅用于上下班的情况，采用“分时计费”更省钱．

20．（1）；（2）见解析

（1)依题意，，所以  ①，

又因为点在椭圆上，所以   ②，

由①②解得，，所以椭圆方程为.

（2）设，，则，不妨令.

由可得，解得，，

，所以所在直线方程为，

所在直线方程为，

可得，同理可得，

所以，，

所以，，所以或，

所以存在点且坐标为或．

使得无论非零实数怎么变化，总有为直角.

21．（1）；（2）见解析

（1）依题意，，故，

又，故所求切线方程为.

（2）依题意.

令，则，且当时，当时，，

所以函数在单调递减，在单调递增，，

当时，恒成立，.

函数在区间单调递增，无极值点；

当时，，

故存在和，使得，

当时，，

当时，，

当时，，所以函数在单调递减，在和单调递增，所以为函数的极大值点，为函数的极小值点.

综上所述，当时，无极值点；当时，有个极值点.

22．（1）；（2）8

（1)由题意，曲线，可化为，

又由，可得曲线的直角坐标方程为.

（2）根据条件直线经过两定点和，所以直线的方程为，

由，消去并整理得，

令点，，则，

所以 .

23．（1）或；（2）

（1）由题意，不等式，可得，

可转化为不等式组，解得或，

所以不等式的解集为或．

（2）因为，所以，

所以不等式恒成立，即在上恒成立，

所以，即，

又因为在是增函数，

所以，所以.