河北辛集中学2019届高三模拟考试（二）数学（理）试卷

数学理科

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩（∁RB）＝（　　）

A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}

2．命题“∀x∈R，ex＞x+1（e是自然对数的底数）”的否定是（　　）

A．不存在x∈R，使ex＞x+1 B．∀x∈R，使ex＜x+1 

C．∀x∈R，使ex≤x+1 D．∃x∈R，使ex≤x+1

3．已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列，则数列{an}的前n项和为（　　）

A．2n B．2n2 C．2n或2n2 D．2n或4n﹣2

4．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（　　）

A． B． C．或2 D．4

5．定义运算a⊗b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则式子的值是（　　）

A．﹣1     B．   C．1     D．

6．将函数y＝sin（2x+φ）的图象向右平移个周期后，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（　　）

A．   B．π C．    D．2π

7．如图，已知三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝，侧面PAB⊥底面ABC，AB＝PA＝PB＝2．则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（　　）

A．，1， B．，1，1

C．2，1， D．2，1，1

8．已知等差数列{an}，a3+a7＝10，a8＝8，则公差d＝（　　）

A．1    B． C．     D．﹣1

9．如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线依次交抛物线及圆（x﹣1）2+y2＝于点A，B、C、D四点，则|AB|+|CD|的值是（　　）

A．6      B．7  C．8       D．9

10．已知函数f（x）＝ax与g（x）＝logax（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则实数a的范围是（　　）

A．      B．     C． D．

11．某班级需要把6名同学安排到周一、周二、周三这三天值日，每天安排2名同学，已知甲不能安排到周一，乙和丙不能安排到同一天，则安排方案的种数为（　　）

A．24 B．36 C．48 D．72

12．已知函数f（x）＝lnx+（a﹣2）x﹣a+3，（a＞0），若f（x）＞0有且只有一个整数解，则a的取值范围是（　　）

A．（0，1﹣ln2） B．（0，1﹣ln2] C．[1﹣ln2，2） D．（1﹣ln2，2）

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．复数z＝在复平面内对应的点位于第　   　象限．

14．三角形的内角x满足2cos2x+1＝0，则角x＝　   　．

15．若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长及高均为a，则此四棱锥内切球的表面积为　   　．

16．若函数y＝f（x），x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有 af（x）＝f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期， 函数y＝f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y＝f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数， 且T＝2，当x∈[0，2）时，函数  ．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）已知等差数列{an}满足a1+a2＝10，a4﹣a3＝2．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7．问：b5与数列{an}的第几项相等？

18．（12分）一个口袋中装有大小形状完全相同的n+3个乒乓球，其中有1个乒乓球上标有数字0，有2个乒乓球上标有数字2，其余n个乒乓球上均标有数字3（n∈N*），若从这个口袋中随机地摸出2个乒乓球，恰有一个乒乓球上标有数字2的概率是．

（Ⅰ）求n的值；

（Ⅱ）从口袋中随机地摸出2个乒乓球，设ξ表示所摸到的2个乒乓球上所标数字之和，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

19．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，，点F是AC上的动点．现将矩形ABCD沿着对角线AC折成二面角D'﹣AC﹣B，使得．

（Ⅰ）求证：当时，D'F⊥BC；

（Ⅱ）试求CF的长，使得二面角A﹣D'F﹣B的大小为．

20．（12分）在平面直角坐标系中，定点A（，0），B（﹣，0），动点P（x，y）满足：|PA|+|PB|＝4．

（Ⅰ）求动点P的轨迹C方程；

（Ⅱ）平面直角坐标系中，O为坐标原点，过定点B的动直线l与曲线C交于M，N两点，求△OMN的面积的最大值，并求此时直线l的方程．

21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣+cosx．

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；

（2）若函数f（x）在区间[0，π]上是增函数，求实数a的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，0≤α＜π）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．

（Ⅰ）当α＝45°时，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点C的直角坐标为C（2，0），直线l与曲线C交于A，B两点，当△ABC面积最大时，求直线l的普通方程．

23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|的最大值为t．

（1）求t的值以及此时的x的取值范围；

（2）若实数a，b满足a2+2b＝t﹣2，证明：2a2+b2≥．

数学理科

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1：B．2：D．3：C．4：C．5：D．6：B．7：B．8：A．9：B．10：D．11：C．

 12解：∵f（x）＝lnx+（a﹣2）x﹣a+3，令lnx+（a﹣2）x﹣a+3＝0，

∴lnx＝（2﹣a）x+a﹣3，

∵y＝（2﹣a）x+a﹣3，  ∴2x﹣y﹣3+（1﹣x）a＝0，

∴，  解得x＝1，y＝﹣1，

即直线y＝（2﹣a）x+a﹣3恒过点，（1，﹣1），ln1＝0，

可知f（1）＝lnx+（a﹣2）x﹣a+3＝1＞0，

f（x）＞0有且只有一个整数解，必须f（2）≤0，

分别画出y＝lnx，与y＝（2﹣a）x+a﹣3的图象，

如图所示：

即ln2+2（a﹣2）﹣a+3≤0，解得a≤1﹣ln2，

∵a＞0，∴0＜a≤1﹣ln2．

故选：B．

13：四．   14：60°或120°．   15：．

16解：根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，，

分析可得：当0≤x≤1时，f（x）＝﹣2x2，有最大值f（0）＝，最小值f（1）＝﹣，

当1＜x＜2时，f（x）＝f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则此时有﹣＜f（x）＜，

又由函数y＝f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T＝2；

则在∈[6，8）上，f（x）＝23•f（x﹣6），则有﹣12≤f（x）≤4，

则f（8）＝2f（6）＝4f（4）＝8f（2）＝16f（0）＝8，

则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12；

对于函数，有g′（x）＝﹣+x+1＝＝，

分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，

在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，

则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值f（1）＝+m，

若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，

必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤8，

解可得m≤，即m的取值范围为（﹣∞，]；

17解：（Ⅰ）设公差为d的等差数列{an}满足a1+a2＝10，a4﹣a3＝2，

可得2a1+d＝10，d＝2，  解得a1＝4，

则an＝4+2（n﹣1）＝2n+2；

（Ⅱ）设公比为q的等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，

可得b2＝8，b3＝16，  则公比q＝＝2，b1＝4，

则bn＝4•2n﹣1＝2n+1，

由2n+2＝b5＝26，  解得n＝31，    则b5与数列{an}的第31项相等．

18解：（Ⅰ）由题设，

即2n2﹣5n﹣3＝0，   解得n＝3；…（5分）

（Ⅱ）根据题意，ξ的可能取值为2，3，4，5，6；…（6分）

且，  ，  ，

，     ；…（10分）

∴ξ的分布列为：

…（11分）

数学期望为…（12分）

19（Ⅰ）证明：连结DF，BF．

在矩形ABCD中，，∴，∠DAC＝60°．…（1分）

在△ADF中，∵，∴DF2＝DA2+AF2﹣2DA•AF•cos∠DAC＝9，．…（2分）

∵DF2+AF2＝9+3＝DA2，∴DF⊥AC，即D'F⊥AC．…（3分）

又在△ABF中，BF2＝AB2+AF2﹣2AB•AF•cos∠CAB＝21，…（4分）

∴在△D'FB中，，∴BF⊥D'F，又∵AC∩FB＝F，∴D'F⊥平面ABC．

∴D'F⊥BC．…（6分）

（Ⅱ）解：在矩形ABCD中，过D作DE⊥AC于O，并延长交AB于E．沿着对角线AC翻折后，

由（Ⅰ）可知，OE，OC，OD'两两垂直，

以O为原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），E（1，0，0），，…（7分）

OE平面AD'F，∴为平面AD'F的一个法向量． …（8分）

设平面BD'F的法向量为＝（x，y，z），∵F（0，t，0），

∴，

由得

取y＝3，则，∴．…（10分）

∴，即，∴．∴当时，二面角A﹣D'F﹣B的大小是．  …（12分）

20解：（Ⅰ）由A（，0），B（﹣，0），动点P（x，y）满足：|PA|+|PB|＝4．

∴|PA|＝    |PB|＝

∴+＝4

平方后整理可得：

（Ⅱ）设过定点B的动直线l方程为：y＝k（x+），与曲线C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．

由，y＝k（x+），可得（4k2+1）x2+8k2xk+12k2﹣4＝0

∴x1+x2＝﹣，．

圆心到直线的距离d＝，|MN|＝

∴△OMN的面积S＝＝＝

∵，（当且仅当3k2＝k2+1时，即k＝时，取等号）

∴S＝≤1．

故得△OMN的面积最大为1，直线方程为x＝．

21解：（1）当a＝1时，，

则f'（x）＝1﹣x﹣sinx，

当x＝0时，f（0）＝1，f'（0）＝1，

所以曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为x﹣y+1＝0．

（2）f'（x）＝a﹣x﹣sinx，

因为f（x）在区间[0，π]上是增函数，  所以f'（x）≥0在区间[0，π]上恒成立，

令a﹣x﹣sinx≥0，即a≥x+sinx，

令g（x）＝x+sinx，则g'（x）＝1+cosx≥0，

所以g（x）在区间[0，π]上单调递增，   所以g（x）max＝g（π）＝π，

故实数a的取值范围是[π，+∞）．

22解：（Ⅰ）当α＝45°时，直线l的参数方程为，

消去t得直线l的普通方程为x﹣y﹣5＝0．

曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，两边乘以ρ为ρ2＝4ρcosθ，

由得：x2+y2﹣4x＝0，

所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x＝0．

（Ⅱ）曲线C是以C（2，0）为圆心，2为半径的圆，

．

当∠ACB＝90°时面积最大

．此时点C到直线l：y＝k（x﹣5）的距离为，

所以，

解得：，

所以直线l的普通方程为．

23解：（1）依题意，得f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|

所以t＝3，此时x∈[2，+∞）．

（2）由a2+2b＝t﹣2⇒a2+2b＝1⇒a2＝1﹣2b≥0⇒b≤，

所以2a2+b2＝b2﹣4b+2＝（b﹣2）2﹣2．