湖南省常德市2020届高三高考模拟考试（一）数学（理）试题
展开理科数学试卷一
总分：150分 时量:120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合P=，Q=，则PQ=____（桃源县第四中学）
A、 B、
C、 D、
答案：由已知得Q=[-1，6] P=（-5，6）故PQ=[-1，6]故选C
2.设复数满足 ，则下列说法正确的是 ( ) (桃源一中)
A. 的虚部为 B.为纯虚数
C. D. 在复平面内，对应的点位于第二象限
答案：C 由得，
3.设等差数列的前项的和为，若，，则 ( ) (桃源一中)
A. 37 B.16 C. 13 D. -9
答案：B 设等差数列的公差为d，由得：，
将代入上式解得，故
（法二：，又，所以，由得，
故
4.如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．则下列说法不正确的是 ( ) (桃源一中)
A．这16日空气重度污染的频率为0.5
B．该市出现过连续4天空气重度污染
C．这16日的空气质量指数的中位数为203
D． 这16日的空气质量指数的平均值大于200
答案：D 这16日空气重度污染的频率为故A正确；12日，13日，14日，15日连续4天空气重度污染，故B正确；中位数为，故C正确；
，（也可根据图形判断，8个数据大于200，8个数据小于200，小于200的8个数据整体与200相差较大），故D不正确.
5.已知为抛物线：上一点，为的焦点，若，则的面积为 ( ) (桃源一中)
A. B. C. D.
答案：A 设，抛物线的焦点，准线为，由抛物线的定义可知：
代入的方程得，
6.函数的图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图像，则下列说法不正确的是 ( ) (桃源一中)
A．函数的最大值为3 B．函数关于点对称
C．函数在上单调递增 D．函数的最小正周期为
答案：B 由图可知，，，将点代入，得，故，右平移个单位长度得：
，故A，C，D正确 ，选B
7.已知向量a与a+b的夹角为，| a |=1，| b |=，则ab= ( ) (桃源一中)
A. B.C. D.或
答案：A 如图，，由余弦定理：，
已知，代入上式得，，故，即，
法二：设与的夹角为，由题设 ，
即，所以，
即，所以或，经检验，不符合(1)式，舍去，故
8.随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻两次亮红灯与亮绿灯的时间之和为100秒，且一次亮红灯的时间不超过70秒，一次亮绿灯的时间不超过60秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为 ( ) (桃源一中)
A. B. C. D.
答案：C 设亮绿灯的时间随机设置为t秒，则，亮红灯的时间，所以，亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间即为，由几何概型的概率公式知：
9.的展开式中的常数项为 ( ) (桃源一中)
A. B. C. D.
答案：B的通项为，所以的展开式中的常数项为和，又，所以的展开式中的常数项为180
10.设函数，则不等式的解集为 ( ) (桃源一中)
A. B. C. D.
答案：D 的定义域为，考虑函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，g(x)的图像向右平移1个单位得到的图像，所以函数关于x=1对称，在上单调递减，在上单调递增.
由，可得，解得：且
11.几何体甲与乙的三视图如右图，几何体甲的正视图和侧视图为两个全等的等腰三角形，且等腰三角形的高与几何体乙的三视图中的圆的直径相等，若几何体甲与乙的体积相等，则几何体甲的外接球的表面积与几何体乙的表面积之比为 ( ) (桃源一中)
A. B. C. D.
答案：B 由三视图可知甲为圆锥，乙为球，设球的半径为，设圆锥底面半径为，则圆锥高，因为甲与乙的体积相等，所以，即，；设圆锥的外接球半径为，则即，，故几何体甲的外接球与几何体乙的表面积之比为.
12.已知函数，（其中a为常数），则下列说法中正确的个数为 ( ) (桃源一中)
①函数恰有4个零点； ②对任意实数a，函数至多有3个零点；
③若a≤0，则函数有且仅有3个零点；
④若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围为(桃源一中)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：B 当时，的图像为抛物线的一部分
当时，当时，，所以时，，单调递增，时，，单调递减，画出的图像如图所示，由图可知恰有3个零点，故①不正确；
设的过原点的切线的斜率为，切点为，，由
，解得
在处的切线的斜率为，
因为零点个数，即函数与的交点个数，
由图可知：时，有1个交点；时，有2个交点；时，有3个交点；
时，有4个交点；时，有3个交点.所以 ②不正确；③④正确.
（说明：显然是的零点，x0时，也可转化为零点的个数问题，也可以画图得出答案）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
13.已知函数，则曲线在处的切线方程为____.(桃源一中)
14已知实数满足约束条件则的最小值为 -2
15.已知数列的各项为正，记为的前项和，若，，
则___121________.(桃源一中)
16. 已知双曲线C:，是坐标原点，是的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为且为直角，记和的面积分别为和，若，则双曲线的离心率为
答案：.或
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题12分）已知向量m，n，且函数mn.
(Ⅰ)若，且，求的值；
(Ⅱ)在锐角中，角的对边分别为，若的面积为，
且，求的周长. (桃源一中)
解：(Ⅰ)mn………………(2分）
，
又，， ……………………(4分）
所以……………………(6分）
(Ⅱ)因为，所以，即
由正弦定理可知，又所以 ……………………(8分）
由已知的面积，可得，又
……………………(10分）
由余弦定理得，故，从而
所以的周长为……………………(12分）
18．（本小题12分）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，，是的中点．
(Ⅰ)在线段上找一点，使得平面，并证明；
(Ⅱ)在(1)的条件下，若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．(桃源一中)
解：(Ⅰ)是线段PA的中点，……………………(1分）
证明：连接BE，OE，OB，
∵O是AD的中点，∴，
又平面，平面，∴平面，……………………(3分）
又∵底面是直角梯形，，∴，
又平面，平面，∴平面，……………………(4分）
∵平面，平面，，
∴平面平面，
又平面，∴平面．……………………(6分）
（也可通过线线平行来证明线面平行）
(Ⅱ)∵平面平面，，
∴，∴平面，且，，
以为原点，如图建立空间直角坐标系，……………………(8分）
得，，，，，
得，，
设是平面的一个法向量，
则，得，取，
得，……………………(10分）
又易知是平面的一个法向量，设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……………………(12分）
19．（本小题12分）随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018年中国快递量世界第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名．某快递公司收取费的标准是：不超过1kg的包裹收费8元；超过1kg的包裹，在8元的基础上，每超过1kg(不足1kg，按1kg计算)需再收4元．
该公司将最近承揽(接收并发送)的100件包裹的质量及件数统计如下(表1)：
包裹质量（kg) | （0，1] | （1，2] | （2，3] | （3，4] | （4，5] |
包裹件数 | 43 | 30 | 15 | 8 | 4 |
表1：
公司对近50天每天承揽包裹的件数(在表2中的“件数范围”内取的一个近似数据)、件数范围及天数，列表如下(表2)：
件数范围 | (0，100] | (100，200] | (200，300] | (300，400] | (400，500] |
天数 | 5 | 10 | 25 | 5 | 5 |
每天承揽包裹的件数 | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
表2：
(Ⅰ)将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在(100，300]内的概率；
(Ⅱ) ①根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：
②根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余用作其他费用．目前，前台有工作人员5人，每人每天揽件数不超过100件，日工资80元．公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人? (桃源一中)
解：(Ⅰ)将频率视为概率，样本中包裹件数在(100，300]内的天数为，
频率为，故该公司1天揽件数在(100，300]内的概率为………(2分）
未来3天包裹件数在(100，300]内的天数X服从二项分布，即
所以未来3天内恰有1天揽件数在[100，299]内的概率为：
………(5分）
(Ⅱ) ①由题 可知，样本中包裹质量（kg)、快递费（元）、包裹件数如下表所示：
包裹质量（kg) | （0，1] | （1，2] | （2，3] | （3，4] | （4，5] |
快递费（元） | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
包裹件数 | 43 | 30 | 15 | 8 | 4 |
所以每件包裹收取快递费的平均值为
………(7分）
②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加12（元）
若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如下：
件数范围 | (0，100] | (100,200] | (200,300] | (300，400] | (400，500] |
天数 | 5 | 10 | 25 | 5 | 5 |
每天承揽包裹的 件数Y | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
概率P | 0.1 | 0.2 | 0.5 | 0.1 | 0.1 |
每天承揽包裹的件数Y的期望E(Y)=50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+450×0.1=240
公司每日利润的期望值为元………(9分）
若裁员1人，则每天可揽件的上限为400件，公司每日揽件数情况如下：
件数范围 | (0，100] | (100，200] | (200，300] | (300，400] | (400，500] |
天数 | 5 | 10 | 25 | 5 | 5 |
每天承揽包裹 的件数Y | 50 | 150 | 250 | 350 | 400 |
概率P | 0.1 | 0.2 | 0.5 | 0.1 | 0.1 |
每天承揽包裹的件数Y的期望E(Y)=50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+400×0.1=235
公司每日利润的期望值为元………(11分）
因为560<620 ，所以公司应将前台工作人员裁员1人．………(12分）
20.有一种曲线画图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（2)设为曲线C的右焦点，为曲线C上一动点，直线斜率为，且与曲线C的另一个交点为Q，是否存在点，使得,若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.（芷兰实验学校谌兴明供题）
解（1）设则，则及
（2）设直线的方程为，
将代入，得；
设，线段的中点为，
，
即
因为所以直线为线段的垂直平分线，
所以，则，即 ，
所以，
当时，因为，所以，
当时，因为，所以.
综上，存在点，使得，且的取值范围为
21．（本小题12分）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）若，求实数的值； （2）证明：.（常德市一中）
解：（1）法一：
当时，与恒成立矛盾，不合题意；
当时，，令，则，
所以在上递增，又，
故存在，使，且，
当时，，，递减，
当时，，，递增
所以
故，即，令，
则，知在上递增，在上递减，
所以，要使，当且仅当
综上，实数的值为1
法二：，令
则等价于，对任意恒成立，令，
当时，与恒成立矛盾，不合题意；
当时，，与恒成立矛盾，不合题意；
当时，，在上递减，在上递增，
所以的最小值为
令，则，知在上递增，在上递减，
所以，要使，当且仅当
（2）由（1）知，当时，，即，
所以，
下面证明，即证：
令，
当时，显然单调递增，，
所以在上单调递减，，
当时，显然，即
故对一切，都有，即
故原不等式成立
22．(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中，直线：，曲线 ：(为参数,)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
(Ⅰ)说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程.
(Ⅱ)曲线的极坐标方程为()，其中，且曲线 分别交，于点，两点，若，求的值. (桃源一中)
解：(Ⅰ) 由消去参数得：
的普通方程为，……………………（2分）
则是以为圆心，为半径的圆. ……………………（3分）
∵，
∴的极坐标方程为，
即的极坐标方程为，……………………（5分）
(Ⅱ)曲线极坐标方程为()，，且
所以曲线的直角坐标方程为
由解得：，……………………（7分）
，……………………（8分）
故点B的极坐标为，
代入得……………………（10分）
23．(本小题满分10分) [选修4-5：不等式选讲]
设函数.
(I)若，求不等式的解集;
(II)已知关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
解：( I) 时，，
由得不等式的解集为. …………(5分)
(II)由题知在上恒成立，
且当时，，
，
，
， …………(7分)
又函数在上的最小值为，
，即的取值范围是. …………(10分)
