2020届湖南省湘潭市高三模拟考试数学（理）试题（解析版）
展开2020届湖南省湘潭市高三模拟考试数学（理）试题
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】计算出集合，再根据交集的定义计算可得.
【详解】
解：，，
，.
故选：A.
【点睛】
本题考查对数不等式以及交集的运算，属于基础题.
2．设复数，定义.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据复数代数形式的运算法计算出，再根据定义求出.
【详解】
解：因为，所以，
则.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数代数形式的运算，属于基础题.
3．某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（ ）
A．甲景区月客流量的中位数为12950人
B．乙景区月客流量的中位数为12450人
C．甲景区月客流量的极差为3200人
D．乙景区月客流量的极差为3100人
【答案】D
【解析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.
【详解】
根据茎叶图的数据：
甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人.
甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人.
故选：
【点睛】
本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.
4．的展开式的中间项为（ ）
A．-40 B． C．40 D．
【答案】B
【解析】根据二项式定义可知一共有项，通项为可知第项为中间项，计算可得.
【详解】
解：的展开式的通项为
则中间项为.
故选：B.
【点睛】
本题考查求二项式展开式中指定项的计算问题，属于基础题.
5．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）
A．PA，PB，PC两两垂直 B．三棱锥P-ABC的体积为
C． D．三棱锥P-ABC的侧面积为
【答案】C
【解析】根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图，然后再计算可得.
【详解】
解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示，
其中D为AB的中点，底面ABC.
所以三棱锥P-ABC的体积为，
，，，
，、不可能垂直，
即不可能两两垂直，
，.
三棱锥P-ABC的侧面积为.
故正确的为C.
故选：C.
【点睛】
本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.
6．已知P为双曲线右支上一点，分别为C的左、右焦点，且线段，分别为C的实轴与虚轴，若成等比数列，则（ ）
A．4 B．10 C．5 D．6
【答案】D
【解析】根据双曲线的方程可得、的值，根据，，成等比数列，求出，再根据双曲线的定义计算可得.
【详解】
解：
，
又，，成等比数列，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线定义的应用，属于基础题.
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用对数函数的单调性比较与的大小关系，再利用指数函数的单调性得出，即可得出、、三个数的大小关系.
【详解】
指数函数为增函数，则，
对数函数是上的增函数，则，因此，.
故选：A.
【点睛】
本题考查指数与对数的大小比较，一般利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.
8．在平行四边形ABCD中，，E为线段CD的中点，若，则（ ）
A．-4 B．-6 C．-8 D．-9
【答案】C
【解析】设，则，根据求出的值，再用表示计算可得.
【详解】
解：设，则.
则，解得，
从而.
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的数量积的计算，以及向量的线性运算，属于基础题.
9．已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用二倍角公式将函数化简，再根据余弦函数的性质解答.
【详解】
解：，，
又因为的图象关于对称，
所以，即，
因为，所以的最小值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角恒等变换以及余弦函数的性质，属于基础题.
10．在正方体中，E为棱上一点，且，若二面角为，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接交于O，可证为二面角的平面角，即可求得的长度，即可求出外接球的表面积.
【详解】
解：连接交于O，则，
易知，则平面，
所以，
从而为二面角的平面角，
则.
因为，所以，
故四面体的外接球的表面积为.
故选：
【点睛】
本题考查二面角的计算，三棱锥的外接球的表面积计算问题，属于中档题.
11．已知函数若函数恰有8个零点，则a的值不可能为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】A
【解析】分和两种情况讨论，当时显然不成立，当时，的实根为.令，画出函数图象，数形结合分析可得.
【详解】
解：易知，当时，方程只有1个实根，
从而不可能有8个零点，
则的实根为.
令，则，
则数形结合可知，
直线与的图象有2个交点，
直线与的图象有3个交点，
所以由题意可得直线与的图象有3个交点，
则必有，又，
所以.
故选：
【点睛】
本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于中档题.
12．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.斐波那契数列满足（，），记其前n项和为.设命题，命题，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据定义，判断命题、的真假，再根据复合命题的真假性判断可得.
【详解】
解：因为
，
所以，故命题p为真命题，则为假命题.
，
故命题q为假命题，则为真命题.
由复合命题的真假判断，得为真命题.
故选：
【点睛】
本题考查复合命题的真假性判断，由递推公式研究数列的性质，属于中档题.
二、填空题
13．某人午觉醒来，发现手机没电自动关机了，他打开收音机，想听电台准点报时，则他等待的时间不少于20分钟的概率为______.
【答案】.
【解析】直接利用几何概型的求概率公式得到答案.
【详解】
根据几何概型的求概率公式得他等待的时间不少于20分钟的概率为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了几何概型，意在考查学生对于几何概型的掌握情况.
14．设是等差数列的前n项和，若，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，根据前n项和公式，可得公差的取值范围，即可求出的取值范围.
【详解】
解：设等差数列的公差为，
故答案为：
【点睛】
本题考查等差数列前n项和公式的应用，属于基础题.
15．椭圆的左、右焦点分别为，若，则M的离心率为________.
【答案】
【解析】依题意可得的坐标，由，则，即可得到、的关系，求得椭圆的离心率.
【详解】
解：
，
，，
所以，
则即
，
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查两直线垂直斜率的关系，以及椭圆的离心率的计算问题，属于基础题.
16．若存在，使得函数与的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为________.
【答案】
【解析】分别求出函数与的导函数，设公共点为，则解得，又，则，令，求出函数的导数，研究函数的最值.
【详解】
解：设曲线与的公共点为，
因为，
所以，化简得，
解得或，
又，且，则.
因为.
所以.
设，所以，
令，得，
所以当时，；当时，.
即在上单调递增，在上单调递减，
所以b的最大值为.
故答案为：
【点睛】
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值问题，属于中档题.
三、解答题
17．为了解贵州省某州2020届高三理科生的化学成绩的情况，该州教育局组织高三理科生进行了摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取了100名理科生，，将他们的化学成绩（满分为100分）分为6组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值；
（2）记A表示事件“从参加考试的所有理科生中随机抽取一名学生，该学生的化学成绩不低于70分”，试估计事件A发生的概率；
（3）在抽取的100名理科生中，采用分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取4名，记这4名理科生成绩在内的人数为X，求X的分布列与数学期望.
【答案】（1）（2）0.65（3）详见解析
【解析】（1）根据所有的小矩形的面积之和为得到方程，解得.
（2）根据频率分布直方图，计算概率.
（3）按分层抽样的规则分别计算出成绩在，内的人数，在列出分布列，计算出数学期望.
【详解】
解：（1），
，
（2）成绩不低于70分的频率为，
事件A发生的概率约为0.65.
（3）抽取的100名理科生中，成绩在内的有人，
成绩在内的有人，故采用分层抽样抽取的10名理科生中，
成绩在内的有4人，在内的有6人，
由题可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的数据的处理，分层抽样，离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，属于中档题.
18．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求b；
（2）求内切圆的半径.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由得，即可计算出，再由余弦定理计算出边.
（2）由面积公式（为内切圆的半径），及解得.
【详解】
解：（1）由，得，
则
又，所以.
由余弦定理得，，
即，
即，解得或5.
若，
则为等腰直角三角形，
与矛盾，舍去，
故.
（2）当时，的面积为，
则内切圆的半径.
【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，以及二倍角公式，属于中档题.
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD，，，，E为AD的中点，AC与BE相交于点O.
（1）证明：平面ABCD.
（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）通过证明平面，得到，再证即可证得平面ABCD.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、直线的方向向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值.
【详解】
（1）证明：平面PCD，平面，，
，为的中点，则且.
四边形BCDE为平行四边形，，.
又，且E为AD的中点，四边形ABCE为正方形，，又平面，
平面，则.
平面平面，，
又，为等腰直角三角形，
O为斜边AC上的中点，且平面ABCD.
（2）解：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示
不妨设，则,
则.
设平面PBD的法向量为，
则即
即
令，得.
设BC与平面所成角为，
则.
【点睛】
本题考查线面垂直，线面角的计算，属于中档题.
20．在直角坐标系中，点，是曲线上的任意一点，动点满足
（1）求点的轨迹方程；
（2）经过点的动直线与点的轨迹方程交于两点，在轴上是否存在定点（异于点），使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在点符合题意.
【解析】（1）设，，利用相关点代入法得到点的轨迹方程；
（2）设存在点，使得，则，因为直线l的倾斜角不可能为，故设直线l的方程为，利用斜率和为0，求得，从而得到定点坐标.
【详解】
（1）设，，
则，，.
又，则即
因为点N为曲线上的任意一点，
所以，
所以，整理得，
故点C的轨迹方程为.
（2）设存在点，使得，所以.由题易知，直线l的倾斜角不可能为，故设直线l的方程为，
将代入，得.设，，则，.因为，所以，即，所以.故存在点，使得.
【点睛】
本题考查相关点代入法求轨迹方程及抛物线中的定点问题，考查函数与方程思想、数形结合思想的应用，求解时注意直线方程的设法，能使运算过程更简洁.
21．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求，的值和的单调区间；
（2）若对任意的，恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1），，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）3.
【解析】（1）求导得到，根据切线方程计算得到，，代入导函数得到函数的单调区间.
（2）讨论，两种情况，变换得到，设
，求函数的最小值得到答案.
【详解】
（1），由切线方程，知，，
解得，.
故，，
由，得；由，得.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）①当时，恒成立，则.
②当时，恒成立等价于对恒成立.
令，，.
令，，
则对恒成立，所以在上单调递增.
又，，所以，.
当时，；当时，.
所以，又，
则，
故，整数的最大值为3.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.
（1）求，，的值；
（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.
（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，，计算得到答案.
【详解】
（1）由，得，则，即.
因为，，所以.
（2）将代入，得.
设，两点对应的参数分别为，，则，.
所以.
【点睛】
本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）分别计算，，三种情况，综合得到答案.
（2）化简得到，利用绝对值三角不等式得到
，解不等式计算得到答案.
【详解】
（1）当时，，解得；
当时，，解得，则；
当时，，解得，则.
综上所述：不等式的解集为.
（2）
，当时等号成立.
若对任意，不等式恒成立，即，
解得或.
【点睛】
本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.
