2020届湖南省常德市高三第二次高考模拟考试数学（文）试题（解析版）

2020届湖南省常德市高三第二次高考模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知为虚数单位，若复数满足，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．

【详解】

解：（是虚数单位），

，化为，．

所以．

故选：A．

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据中的范围确定出中的范围确定出，找出与的交集即可．

【详解】

解：由，中，，

得到，即，

则，

故选：D．

【点睛】

本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．

3．已知等差数列前9项的和为27，，则

A．100 B．99 C．98 D．97

【答案】C

【解析】试题分析：由已知，所以故选C.

【考点】等差数列及其运算

【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.

4．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是80，则判断框中应该填（    ）

A．n8? B．n>8?

C．n 7? D．n>7?

【答案】D

【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．

【详解】

解：模拟程序的运行，可得

，，

执行循环体，，

不满足条件，执行循环体，，，

不满足条件，执行循环体，，，

不满足条件，执行循环体，，，

不满足条件，执行循环体，，，

不满足条件，执行循环体，，，

不满足条件，执行循环体，，，

不满足条件，执行循环体，，，

由题意，此时满足条件，退出循环，输出的结果为80，

则判断框内应填入？

故选：．

【点睛】

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．

5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据幂函数、对数函数的单调性判断三个数大小.

【详解】

故选：D

【点睛】

本题考查利用幂函数、对数函数单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.

6．抛物线的焦点为，点为上的动点，点为的准线上的动点，当为等边三角形时，其周长为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【解析】由已知结合抛物线的定义可得，垂直的准线于，设准线与轴交于，通过解直角三角形，求出等边三角形的边长；或设点坐标，利用，即可求出结论.

【详解】

方法一、因为为等边三角形，所以垂直的准线于，

轴，设准线与轴交于，，

所以的周长为；

方法二、因为为等边三角形，，

所以垂直的准线于，设，

则，所以，

又因为，且，

所以，解得，

所以，所以的周长为.

故选:D.

【点睛】

本题主要考查抛物线的概念与性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，注意定义在解题中的应用，属于中档题.

7．函数的大致图象是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】首先利用特殊值令，判断函数值的正负可排除B、C，再验证与的关系即可求解.

【详解】

令，则，排除B、C；

，即，

故函数图像关于成中心对称图形，

故选：A

【点睛】

本题考查了函数图像的识别，解决此类问题要充分挖掘函数的性质，可利用排除法，属于中档题.

8．某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防.规定每人每天早晚八时各服一次，现知每次药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60％.某人上午八时第一次服药，到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留（    ）

A．220毫克 B．308毫克 C．123.2毫克 D．343.2毫克

【答案】D

【解析】设人第次服药后，药在体内的残留量为毫克．由题意可得，，．

【详解】

解：设人第次服药后，药在体内的残留量为毫克．

则，，

．

故选：D

【点睛】

本题考查等比数列通项公式的应用，属于基础题.

9．已知点在双曲线－＝1的渐近线上，F为右焦点且∠FPO=90°，则其离心率e为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由点在渐近线可得，由可得，结合，解之可得答案．

【详解】

解：由题意可得，是双曲线的渐近线上，可得，

为的右焦点，为原点，若，可得，，可得：，．即

所以

故选：D

【点睛】

本题考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，属于中档题．

10．在三角形中，若，为边的三等分点，则（    ）

A．21 B．18 C．15 D．12

【答案】C

【解析】依题意可得，且，即可得到，用、表示向量、，再根据向量数量积的运算律计算可得；

【详解】

解：依题意，在三角形中，，

所以，即，

又，所以，

则

因为、为边的三等分点，

设，

则，

故选：C

【点睛】

本题考查平面向量的数量积的运算，平面向量基本定理的应用，属于中档题.

11．已知的三个内角所对的边分别为且满足，则面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】首先由正弦定理及同角三角函数的基本关系得到，即可求出，再由余弦定理及基本不等式可得的范围，最后由面积公式可得；

【详解】

解：因为，

所以，即，因为，

所以，

所以，即，，

因为,所以，因为，所以，

又，所以，

由余弦定理，可得，又，所以，当且仅当b=c=时等号成立

所以

故选：D

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理解三角形、基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.

12．已知函数在定义域上是单调函数，且，当在上与在R上的单调性相同时，实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意可得，为定值，设，则，不难得到在上为增函数，再对求导，利用三角恒等变换将化简为，又在上与在上单调性相同，所以时，恒成立，即恒成立，最后根据三角函数的性质求出参数的取值范围；

【详解】

解：因为函数在定义域上是单调函数，则没有零点，所以或恒成立，

又，，所以为定值，设，则，不难得到在上为增函数，因为，

所以，

又在上与在上单调性相同，所以时，恒成立，即恒成立，

因为

则，

所以

故选：B

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，三角函数的性质的应用，属于中档题.

二、填空题

13．曲线在处的切线与曲线相切，则_________．

【答案】1

【解析】首先求出函数在处的切线，求出函数的导函数，设切点坐标为，即可得到方程组，解得即可；

【详解】

解：因为，所以，则，且切点坐标为，故切线方程为，

又，则，设切点坐标为，

则解得

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数求曲线的切线方程，导数的几何意义的应用，属于基础题.

14．已知实数，满足，则的取值范围为____________．

【答案】

【解析】首先作出不等式组表示的平面区域，注意到目标函数表示阴影部分内的点与点连线的斜率，数形结合确定的取值范围即可.

【详解】

作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，

表示阴影部分内的点与点连线的斜率，

设过点的直线与圆在第一象限相切于点，由图易知．

因为，，且，所以，所以．

因为，，所以，所以，

故的取值范围为．

【点睛】

(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．

(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．

15．已知，函数的图象过点，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为_________．

【答案】

【解析】首先求出参数的值，即可将化简为，再根据正弦函数的性质求出其单调递增区间，从而得到参数的取值范围；

【详解】

解：因为函数的图象过点，所以，解得，则

由，，解得，，

令，则，即函数在区间上单调递增，

又函数在区间上单调递增，则，则

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数的性质及三角恒等变换的应用，属于中档题.

16．已知三点都在以为直径的球的表面上，，，，若球的体积为，则异面直线与所成角的余弦值为_________．

【答案】

【解析】作出图形，分别取、、的中点、、，连接、、、，利用中位线的性质并结合异面直线所成角的定义得出异面直线与所成的角为或其补角，并计算出各边边长，利用余弦定理计算出，即可得出答案．

【详解】

解：设球的半径为，则，得，

如下图所示，

分别取、、的中点、、，连接、、、，

易知，平面，，，，

为的中点，则，

、分别为、的中点，则，且，

同理可得，且，

所以，异面直线与所成的角为或其补角，且，

在中，，，，

由余弦定理得．

因此，异面直线与所成成的余弦值为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查球体体积，考查异面直线的定义，同时也考查了余弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中档题．

三、解答题

17．2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现了多例有华南海鲜市场暴露史的不明原因肺炎病例，现已证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病. 2020年3月3日，某研究机构首次分析了女性在新型冠状病毒传播中可能存在的特殊性.现将密切接触者40名男士和40名女士进行筛查，得到的无症状者与轻症者情况如下列联表：

（Ⅰ）能否有90%的把握认为性别对症状差别有影响？

（Ⅱ）先从轻症状接触者中按分层抽样抽取了6个人进行传播差异性研究，求抽取两个人中恰有一男一女的概率.

附：．

【答案】（Ⅰ）没有（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由题意补全列联表，计算卡方即可判断；

（Ⅱ）根据古典概率的概率公式计算可得；

【详解】

解：（Ⅰ）由题可得列联表：

.

故没有90%的把握认为性别对症状差别有影响.

（Ⅱ）依题意，先从轻症状接触者中按分层抽样抽取了6个人进行传播差异性研究，比例为2：1，所以轻症男士4人，轻症女士2人

从这6人中选2人共有15种选法，男士女士各1人的选法共有8种，

所以先从轻症状接触者中按分层抽样抽取了6个人进行传播差异性研究，抽取两个人中恰有一男一女的概率为

【点睛】

本题考查独立性检验，古典概型的概率计算问题，属于基础题.

18．已知等差数列的前项和为，且满足

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设 ，数列的前项和为，求证： .

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）设数列的公差为，由已知条件得到方程组，解得即可；

（Ⅱ）利用裂项相消法求数列的前项和为，即可证明；

【详解】

解：（Ⅰ）设数列的公差为，由，则，

又由，，

，

又

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 

数列的前项和为

由，所以

【点睛】

本题考查等差数列通项公式的计算、裂项相消法求和，属于中档题.

19．如图：四棱锥中，底面是梯形，，，是等边三角形，且平面平面，是中点，点在棱上．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若三棱锥的体积为，且，求实数的值．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）利用线面垂直的判断平面，可得证．

（Ⅱ）通过作辅助线计算；得到三棱锥以为底面上的高，利用，，成比例求得答案．

【详解】

证明：（Ⅰ）四棱锥中，底面是梯形，，且平面平面，

平面平面，平面

平面，

平面，

，；

又因为是等边三角形，是中点，；

又，平面，平面，

平面，

平面，

；

（Ⅱ）三棱锥的体积为，且，三棱锥等价于三棱锥；

由题意可过点作于，连接，过作于；

（因为平面平面，是等边三角形，可得：为中点，为在平面的射影，一定落在射影上）；

则：中，有，即为三棱锥以为底面上的高，

即有：；①

底面是梯形，，，，是等边三角形，

通过计算①可得：．

，因为有，，

所以：中，，中，，

因为：，所以：，，

由题，所以：；

故答案为：

【点睛】

本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，属于中档题．

20．已知，点在平面内运动，．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若点，为轨迹上的两动点，．问直线能否过定点，若能过定点，则求出该定点坐标，若不能过定点则说明理由．

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）能，

【解析】（Ⅰ）设由题意可得，，，整理可得点得轨迹方程

（Ⅱ）设，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，因为，所以，整理变形，将，代入化简可得，即可得解；

【详解】

解：（Ⅰ）设，，则，，

所以，，

，；

（Ⅱ）若直线的斜率不存在，则设直线的方程为，则解得或，令，，则，，

则，显然不满足条件；

故设，，，代入 ，，即，

所以，

因为，所以，

，

∴，

∴，

又

∴，

， 

∴， ，  

∴过定点

【点睛】

本题主要考查了曲线方程的求解，直线与曲线方程得相交关系的应用，直线过定点问题，属于中档题.

21．已知函数有两个极值点.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）求证：；

（III）求证：.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（III）见解析

【解析】（Ⅰ）求出导函数．设，通过导函数判断函数的单调性，转化求解函数最小值，当函数有两个极值点时，求解的取值范围．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，为的两个实数根，不妨设，要证，即证，而在上单调递减，所以即证，即证，即，，设，利用导数证明其单调性即可得证；

（III）要证，只需证．设函数，，利用导函数判断函数的单调性转化求解即可．

【详解】

解：（Ⅰ），．

设，则．

令，解得．

当时，；当时，．

．

当时，，函数单调递增，没有极值点；

当时，，且当时，；当时，．

当时，有两个零点，．

不妨设，则．

当函数有两个极值点时，的取值范围为．

（Ⅱ）不妨设，要证，即证，而在上单调递减，所以即证，即证，即，，设，则，

令，则，当，则，即在上单调递增，在上单调递减，

所以

即

，

单调递增，

，所以原不等式成立；

（III）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，，为的两个实数根，，在上单调递减且，

函数在，上也单调递减，．

要证，只需证，即证．

设函数，，则．

设，则，

在上单调递增，，即．

在上单调递增，．

当时，，则，

，．

【点睛】

本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．

22．已知直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点为上的任意一点，求到距离的取值范围.

【答案】（1）：，：；（2）

【解析】（1）对于，可用代入法消去参数，求出普通方程；将代入方程，即可化为直角坐标方程；

（2）由（1）为直线，为圆，求出圆心到直线的距离，利用几何法即可得出结论.

【详解】

（1）的普通方程为，即.

的直角坐标方程为，即.

（2）由（1）知，是以为圆心，半径的圆，

圆心到的距离，

所以直线与圆相离，到距离的最小值为；

最大值为，

所以到距离的取值范围为.

【点睛】

本题主要考查直线的参数方程、曲线直角坐标方程、极坐标方程的互化，圆的极坐标方程等基础知识，属于中档题.

23．已知．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）设不等式的解集为，若求的取值范围

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）利用分类讨论法解绝对值不等式即可；

（Ⅱ）若则原不等式在上恒成立，即，解得，再由即可求出参数的取值范围；

【详解】

解：（Ⅰ）当时，即

当，解得，

当 ，解得，

当 ， 解得，

故不等式解集为或，即不等式的解集为

（Ⅱ）若则原不等式在上恒成立，

即，

即，

即

即，所以 ， 解得

故满足条件的的取值范围是

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式恒成立问题，属于中档题.