河北省2020届高三普通高等学校招生全国统一模拟5月大联考数学（理）试题
展开2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据复数代数形式的运算法则化简，再根据共轭复数的定义即可求出．
【详解】因为，所以其共轭复数为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查复数的代数形式的运算法则和共轭复数的定义的应用，属于容易题．
2.集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解法和二次函数的性质，化简集合，求出集合的补集，最后进行交集运算即可.
【详解】或，
，
故选：A
【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.
3.下图是2020年2月15日至3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例折线统计图．则下列说法不正确的是（ ）
A. 2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数
B. 武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低
C. 2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天
D. 2020年2月15日到3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图表中提供的信息，对应各选项即可判断其真假．
【详解】对于A，由图可知，2020年2月19日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例从2月18日的1660人大幅下降至615人，所以A正确；
对于B，从2020年2月19日起至2月29日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例大约在300-615之间，3月起继续减少，没有出现大幅增加，所以B正确；
对于C，由图可知，2020年2月19日至3月2日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有，2月20日，21日，23日，25日，26日，27日，3月1日，2日，共8天，所以C正确；
对于D，2020年2月15日到3月2日中，武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的是2月16日1690例，最少的是3月2日111例，1690-111=1579，所以D不正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查学生的识图和数据分析能力，属于容易题．
4.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性，结合作商法求解即可.
【详解】，，则A错误；
，，，则B错误；
，，则C错误；
，，则D正确
故选：D
【点睛】本题主要考查了对数式，指数式的比较大小问题，涉及了作商法的应用，属于中档题.
5.角谷猜想，也叫猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1．如：取，根据上述过程，得出6，3，10，5，16，8，4，2，1，共9个数．若，根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则两个数都是奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，得出上述过程的整数，结合古典概型的概率公式求解即可.
【详解】若，根据上述过程得出的整数分别为，共个数
其中奇数共有个
所以随机选取两个不同的数，则两个数都是奇数的概率为
故选：A
【点睛】本题主要考查了古典概型概率的计算，属于中档题.
6.已知函数是偶函数，为奇函数，并且当时，，则下列选项正确的是（ ）
A. 在上为减函数，且 B. 在上为减函数，且
C. 在上为增函数，且 D. 在上为增函数，且
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意为奇函数，可知函数关于点对称，再结合函数是偶函数可得出函数的周期为4，而，，利用周期从而可求得时的解析式，即解出．
【详解】因为函数为奇函数，所以函数关于点对称，即，
函数是偶函数，所以，于是，，用替换，可得，所以．
当，，
当时，，所以在上为增函数，且．
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数的性质的应用，涉及函数的周期性，对称性，奇偶性的应用，以及利用函数解析式判断其单调性，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
7.已知双曲线的两条渐近线的倾斜角成2倍关系，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
设经过一三象限的渐近线的倾斜角为，则另一条渐近线的倾斜角为，结合渐近线的方程得出，再由二倍角的正切公式，得出，最后由离心率公式，即可得出答案.
【详解】设经过一三象限的渐近线的倾斜角为，则另一条渐近线的倾斜角为
则有
因为，所以
故选：C
【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，涉及了二倍角的正切公式的应用，属于中档题.
8.执行如图所示的程序框图，则输出的为（ ）
A. 2020 B. 1010 C. l011 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
读懂程序框图的功能，结合等差数列的求和公式，即可得出答案.
【详解】由程序框图可知，该程序的功能是计算
的值
则输出的为
故选：D
【点睛】本题主要考查了由循环结构框图求输出值，属于中档题.
9.已知，．若且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据向量的加法运算求出，再根据向量垂直数量积为零，以及数量积的坐标运算，向量的模的坐标计算公式，列出方程组，即可求出．
【详解】因为，所以，
，
即，因而，．
故选：B．
【点睛】本题主要考查向量的加法运算，数量积运算，以及向量的模的坐标计算公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
10.已知是函数，的极小值点，则的值为（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由三角恒等变换化简函数解析式，根据极小值点的定义以及正弦函数的性质，得出，再计算，即可得出答案.
【详解】
为极小值点
，即
，即
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，正弦函数的性质的应用，属于中档题.
11.把圆心角为的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据扇形的形状，可得出圆锥底面半径与母线的长的关系，进而求得其侧面积，再根据圆锥的外接球的半径为其轴截面三角形的外接圆半径，即可求得它的外接球的表面积，
【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，根据题意以及弧长公式可知，，解得，
所以该圆锥的侧面积为．
如图所示，
由图可知，圆锥的外接球的半径为其轴截面三角形的外接圆半径，
设圆锥的外接球的半径为，
因为，所以，解得，
因此，该圆锥的外接球的表面积为．
故该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式，弧长公式的应用，以及圆锥外接球的表面积求法，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
12.抛物线的焦点为，点在上且在准线上的投影为，直线交轴于点．以为圆心，为半径的圆与轴相交于两点，为坐标原点．若，则圆的半径为（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设，根据抛物线的性质得出，，由中位线定理可得出，结合，得出，由圆的性质得出，结合两点间距离公式，即可得出圆的半径.
【详解】设，则，，设准线与轴交于点
，为的中点
为的中点，则
由得出，点为线段的中点，则
由抛物线的定义可知，
，即
，
即圆的半径为
故选：B
【点睛】本题主要考查了抛物线的性质的应用，中点坐标公式，两点间距离公式的应用，属于中档题.
二、填空题：
13.命题，的否定为________．
【答案】，或无意义
【解析】
【分析】
由否定的定义求解即可.
【详解】命题，否定为，或无意义
故答案为：，或无意义
【点睛】本题主要考查了写出特称命题的否定，属于基础题.
14.直线与曲线相切，则切点的横坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
设切点为，利用导数的几何意义求解即可.
【详解】设切点为，，
又，
，解得：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.
15.对于函数的叙述，正确的有______（写出序号即可）．
①若，则；②若有一个零点，则；③在上为减函数．
【答案】①②
【解析】
【分析】
利用对数函数的性质判断①；将函数的零点转化为函数图象的交点，进而判断②；取，得出，进而判断③.
【详解】对①，，
当时，由于，则，则①正确；
对②，由①可知，当时，，此时函数无零点
当时，令，得，即
函数的图象，如下图所示
若函数有一个零点，则函数与的图象有一个交点
由图象可知，，则②正确；
对③，当时，，，则
即当时，函数在上不减函数，则③错误；
故答案为：①②
【点睛】本题主要考查了求分段函数的值域以及求函数零点的个数，属于中档题.
16.已知分别为的三个内角的对边，，，为内一点，且，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先由正弦定理的角化边以及余弦定理得出，再由得出为的重心，作辅助线，利用三角形全等，等腰直角三角形的性质，直角三角形的边角关系得出，最后由重心的性质得出.
【详解】由正弦定理可得，即
，
，为的重心
取的中点为，连接，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，交的延长线于点，如下图所示
显然，，设，，则
因为，
所以
由于在中，，，则，
在中，，解得
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式以及余弦定理，涉及三角形重心的判断，直角三角形的边角关系，属于中档题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题
17.已知数列满足，，且数列为等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）写出的前两项，确定其首项以及公差，得出的通项公式，再求出数列的通项公式；
（2）求出的通项公式，再结合裂项求和法求解即可.
【详解】（1）由，可求得
数列是以为首项，为公差的等差数列
（2）
【点睛】本题主要考查了求数列的通项公式以及利用裂项求和法求数列的和，属于中档题.
18.如图，在三棱锥中，平面，平面平面，．
（1）证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为，线段的长．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法得出，再由勾股定理得出线段的长．
【详解】（1）平面，平面
取的中点为，连接
又平面平面，平面平面，平面
平面
又平面
，平面
平面
（2）设，由（1）知，平面，平面，
如图，分别以所在直线为轴，轴，过点作轴，且平行于
建立空间直角坐标系
易得
平面的法向量为
设平面的法向量为
解得，即
从而得出，在中，
线段的长为
【点睛】本题主要考查了证明线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题.
19.已知椭圆的焦距为4．且过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设，，，过B点且斜率为的直线l交椭圆E于另一点M，交x轴于点Q，直线AM与直线相交于点P．证明：（O为坐标原点）．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意可求出焦点坐标，再根据椭圆的定义即可求出，然后根据求出，即可得到椭圆E的方程（或直接根据点在椭圆上，以及，即可解出）；
（2）由直线l的方程可得点，联立直线l与椭圆的方程可计算出点的坐标，再根据联立直线与直线的方程可得点的坐标，然后根据斜率公式分别计算出直线的斜率，根据斜率相等，即可证得．
【详解】（1）由题可知，，，
椭圆的左，右焦点分别为，．
由椭圆的定义知，
，，
椭圆E的方程为．
（另解：由题可知，解得）．
（2）易得，，，
直线与椭圆联立，得，
，从而，．
直线AM的斜率为，直线AM的方程为．
令，得，
直线PQ的斜率．
直线OC的斜率，
，从而．
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，以及利用斜率相等证明直线平行，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
20.2019年第十三届女排世界杯共12支参赛球队，比赛赛制釆取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军．积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3—0或3—1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3—2取胜的球队积2分，负队积1分．9轮过后，积分榜上的前2名分别为中国队和美国队，中国队积26分，美国队积22分．第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为．
（1）第10轮比赛中，记中国队3—1取胜的概率为，求的最大值点．
（2）以（1）中的作为的值．
（i）在第10轮比赛中，中国队所得积分为，求的分布列；
（ⅱ）已知第10轮美国队积3分，判断中国队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，中国队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）（i）见解析（ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（1）先得出，结合导数得出函数的单调性，进而得出的最大值点；
（2）（i）先得出的可能取值，再得出其相应概率，列出分布列即可；
（ⅱ）若中国队在第10轮比赛中，获得积分，则总积分为分，即便美国队第都获得分，则总积分为分，则中国队可以提前一轮夺得冠军，最后由（i）得出其概率.
【详解】（1）
由此
令，得
当时，在上为增函数；
当时，在上为减函数；
所以的最大值点
（2）由（1）知
（i）可取
所以的分布列为
（ⅱ）若，则中国队轮后的总积分为分，美国队即便第轮和第轮都积分，则轮过后的总积分是分，，所以，中国队如果第轮积分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为
【点睛】本题主要考查了独立事件的实际应用，写出离散型随机变量的分布列以及导数的应用，属于中档题.
21.已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数证明函数的单调性即可；
（2）利用导数以及零点存在性定理得出函数的单调性以及最值，再构造函数，利用导数证明其单调性，即可得出结论.
【详解】（1）当时，
令
当，得；当，得
在上单调递增，在上单调递减
在上恒成立
在上为减函数,
的单调区间是.
（2），令
令，得
在上恒成立，在上单调递增，
即在上单调递增
由于，则
存在，使得，
即
在上单调递减，在上单调递增
令恒成立
在上为减函数
，从而，命题得证
【点睛】本题主要考查了利用导数证明单调性以及利用导数证明不等式，属于中档题.
（二）选考题：
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系xOy中，曲线，曲线（为参数）；在以О为极点x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．l与，分别交于异于极点的A，B两点，且．
（1）写出曲线的极坐标方程；
（2）求实数a的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据，消去参数，即可求得曲线普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可求得曲线的极坐标方程；
（2）将曲线化成极坐标方程，然后将分别代入，曲线和的极坐标方程即可求得，由题意列出方程，即可解出实数a的值．
【详解】（1）把曲线化成普通方程为，即，
所以曲线的极坐标方程为．
（2）把曲线化成极坐标方程为，
把分别代入和得，，
，
，，解得．
【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，普通方程和极坐标方程之间的互化，以及极坐标系下的几何意义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数．
（1）解不等式；
（2）若函数的图象与直线围成的图形的面积为6，求实数a的值．
【答案】（1）或；（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据绝对值的定义，确定分段点，，再分类讨论，去掉绝对值，然后分别解不等式即可求出；
（2）根据题意作出函数函数的图象与直线，由图可知，围成的图形为三角形，再根据三角形的面积公式列出等式，即可求出实数a的值．
【详解】（1），
当时，由，得，解得；
当时，由，得，无解；
当时，由，得，解得．
所以的解集为．
（2）由（1）知，方程的解为或．
作出函数的图象，如图所示：
由图象可知，函数的图象与直线围成的图形为三角形，面积为，故，解得．
因为，所以．
【点睛】本题主要考查利用零点分段法解不等式，以及分段函数图象的应用，属于基础题．
