河北省衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷分科综合卷 理科数学（二）试题
展开2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数(二)
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知，且是虚数单位，，则（ ）
A．4 B． C． D．
3.已知为直线的倾斜角，若，则直线的斜率为( )
A．3 B．-4 C． D．
4.双曲线的渐近线与抛物线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
5.袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是（ ）
A． B． C. D．
6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由程大位所著，其中记载这样一首诗：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！其含义为：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？现有如图所示的程序框图，输入分别代表钱数和果子个数，则符合输出值的为（ ）
A．为甜果数343 B．为苦果数343
C.为甜果数657 D．为苦果数657
7.在区间内的所有零点之和为（ ）
A． B． C. D．
8.已知恒成立，若为真命题，则实数的最小值为（ ）
A．2 B．3 C. 4 D．5
9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．
10.如图为正方体，动点从点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到，运动过程种，点与平面的距离保持不变，运动的路程与之间满足函数关系，则此函数图象大致是（ ）
A． B． C. D．
11.抛物线的准线交轴于点，过点的直线交抛物线于两点，为抛物线的焦点，若，则直线的斜率为（ ）
A．2 B． C. D．
12.已知函数，其中为自然对数的底数，若有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若向量,是椭圆上的动点，则的最小值为 ．
14.已知满足，则的取值范围是 ．
15.中，角的对边分别为，当最大时， ．
16.3位逻辑学家分配10枚金币，因为都对自己的逻辑能力很自信，决定按以下方案分配：
(1)抽签确定各人序号：1，2，3；
(2)1号提出分配方案，然后其余各人进行表决，如果方案得到不少于半数的人同意（提出方案的人默认同意自己方案），就按照他的方案进行分配，否则1好只得到2枚金币，然后退出分配与表决；
(3)再由2号提出方案，剩余各人进行表决，当且仅当不少于半数的人同意时(提出方案的人默认同意自己方案），才会按照他的提案进行分配，否则也将得到2枚金币，然后退出分配与表决；
(4)最后剩的金币都给3号.
每一位逻辑学家都能够进行严密的逻辑推理，并能很理智的判断自身的得失，1号为得到最多的金币，提出的分配方案中1号、2号、3号所得金币的数量分别为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值.
18. 某校高三年级有1000人，某次考试不同成绩段的人数,且所有得分都是整数.
(1)求全班平均成绩；
(2)计算得分超过141的人数；（精确到整数）
(3)甲同学每次考试进入年级前100名的概率是，若本学期有4次考试，表示进入前100名的次数，写出的分布列，并求期望与方差.
参考数据：.
19已知在直角梯形中，，，将沿折起至，使二面角为直角.
(1)求证：平面平面；
(2)若点满足,，当二面角为45°时，求的值.
20.如图，矩形中，,且,、交于点.
(1)若点的轨迹是曲线的一部分，曲线关于轴、轴、原点都对称，求曲线的轨迹方程；
(2)过点作曲线的两条互相垂直的弦，四边形的面积为，探究是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由.
21.已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)若有极值点，求证：必有一个极值点在区间内；
(2)求证：对任意，有.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)在平面直角坐标系中，将曲线的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线，过点作直线，交曲线于两点，若，求直线的斜率.
23.选修4-5：不等式选讲
已知，且.
（1)的最小值；
(2)证明：.
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数(二)答案
一、选择题
1-5:BCDDB 6-10: BCABC 11、12：DC
二、填空题
13. 14. 15. 16.9,0,1
三、解答题
17.解：(1)当时，
由，
得
，
两式相减得.
由，得，
故为等差数列，公差为2.
当时，由，
所以.
(2)易知，
，
两式相减得
，
所以.
18.解：(1)由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩.
(2)
,
故141分以上的人数为人.
(3)的取值为0，1，2，3，4，
,
,
,
,
,
故的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
期望，
方差.
19.解：(1)梯形中，
∵∴.
又∵,
∴,∴.
∴.
折起后，∵二面角为直角，
∴平面平面.
又平面平面,
∴平面.
又平面，
∴.
又∵,
∴平面.
又∵平面，∴平面平面.
(2)由(1)知，平面，∴以为原点，方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则,
设，由,
得，得.
取线段的中点，连结，
则,
∵,∴.
又∵,
∴平面.
∴平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
则
取，则.
∴，
即或.
∵，∴.
20.解：(1)设，
由,
求得,
∵,
∴,
∴，
整理得.
可知点的轨迹为第二象限的椭圆，由对称性可知曲线的轨迹方程为.
(2)设，当直线斜率存在且不为零时，设直线的斜率为，把代入椭圆方程，化简整理得.
，
.
∴
.
∵,
∴把换成，即得.
∴
，
，
∴.
当直线斜率不存在或为零时，
.
∴为定值.
21.解：(1)易知，
设，
若有极值点，
则有两个不相等的实根，
∴，
∴或，
此时，
，
∴有两个零点，且有一个在区间内.
即有一个极值点在区间内.
(2)由，得，
得，
.
∴只需证.
令，
则.
∴当时，为增函数，
∴，即.
∴只需证，
即证，
令
则，
∴当时，为增函数，
∴，即.
∴原不等式成立.
22.解：(1)由，得，
将，
代入整理得.
(2)把中的换成，
即得曲线的直角坐标方程.
设直线的参数方程为（为参数，），
代入曲线的方程，整理得
，
.
设两点所对应的参数分别为，
则为上述方程的两个根.
由，
得同向共线.
故由
.
由，得，
即直线的斜率为.
23.解：(1)由柯西不等式，得，
当且仅当时，取等号.
所以的最小值为9.
(2)由，
得.
同理得，
.
三式相加得，
∴，
当且仅当时，取等号.
