浙江省临海市乐清市新昌县2020届高三选考模拟考试数学试题
展开2020年高考数学模拟试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．双曲线的渐近线方程是
A． B． C． D．
3．若实数满足约束条件，则的最大值是
A． B． C． D．
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
5．已知是等差数列，，为数列的
前项和，且，则的最大值为
A． B． C． D．
6．在中，角，，所对的边分别是，，，则“”是“
为等腰三角形”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知随机变量满足，，且，令随机变量
，则
A． B． C． D．
8．已知函数的部分图象如图所示，则
A．
B．
C．
D．
9．已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
10．如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值是
A． B．
C． D．
非选择题部分（共110分）
二、填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分, 单空题每题4分, 共36分。
11．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共
灯三百八十一．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上
一层灯数的2倍．请问塔顶层有 ▲ 盏灯，塔底层有 ▲ 盏灯．
12．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部是 ▲ ，= ▲ ．
13．已知多项式，则 ▲ ， ▲ ．
14．已知圆，过点作两条互相垂直的直线，，其中交该圆于，两点，交该圆于，两点，则的最小值是 ▲ ，的最大值是 ▲ ．
15．新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有 ▲ 种不同安排方法．（用数字作答）
16．已知，若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是 ▲ ．
17．已知三边长分别为，，，是平面内任意一点，则
的最小值是 ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分14分）已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在上的最大值，并求此时的值．
19．（本小题满分15分）如图，已知三棱锥中，平面平面，
，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分15分）已知数列满足：，. 正
项数列满足：对每个，，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）当时，证明：．
21．（本小题满分15分）已知点是抛物线的焦点，是其准线上任意一点，
过点作直线，与抛物线相切，，为切点，，与轴分别交于，两点．
（Ⅰ）求焦点的坐标，并证明直线过点；
（Ⅱ）求四边形面积的最小值．
22．（本小题满分15分）已知，设函数，．
（Ⅰ）试讨论的单调性；
（Ⅱ）设函数，是否存在实数，使得存在两个极值点，，且
满足？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
注：.
2020年高考模拟试题数学参考答案
一、选择题
ADCBD ACBAD
二、填空题
11．， 12．， 13．，
14．， 15． 16． 17．
三、解答题
18．解：
19.解法一：
（1）取的中点，的中点，连，，.
， ………………………………………1’
又，是的中点
， ………………………………………2’
又 又
……………………………4’
又 面，……………………………6’
（2） 由①知面，面面且交于，
过作垂足为，即是到面的距离 ……………………………9’
， ………………………12’
又是的中点，到面的距离 …… …………………14’
与面所成角的正弦值为 ……………………………15’
解法二：（1）取的中点，连、
，，，
又面面且交于
面， ………………………2’
，，又
，……………………………………4’
面，. ………………………………………6’
（2） 过作交其延长线于
面面且交于
面，连可得 ………………………………………8’
又，
，，
又，……………………10’
，
………………………………………12’
令到面的距离为，则
， ………………………14’
与面所成角的正弦值为 ……………………………15’
解法三：（1）取的中点，建立如图所示的坐标系
由已知可得
， ………………………………………3’
，
………………………………………6’
（2）由（1）可知………………………9’
设面的法向量为则
令，则，， ………………………………………12’
与面所成角的正弦值为 ………………………………………15’
20.解：（Ⅰ）解法一：由已知可得
时， （2分）
，又
（3分）
解法二：，即
为常数列，， （2分）
又 （3分）
又 （为奇数） （5分）
又是等比数列
（是偶数）
综上可得 （7分）
（Ⅱ）先证
证法一 直接放缩、裂项相消求和
时，，显然成立。 （8分）
时， 时， （9分）
（11分)
证法二 分奇偶讨论
时，，显然成立。 （8分）
时，①为偶数时，
（9分）
（10分)
②为奇数时， （11分)
再证
证法一（数学归纳法）
①时，左边，右边，成立； （12分）
②假当时，命题成立，即，
则当时，
因为不论为奇数、偶数，都满足 （13分）
所以当时，
只需即可， 只需；
只需；只需；只需；
显然成立，故当时也成立。
综上所述，不等式在且时均成立。 （15分）
证法二（分析法证明）
令，为数列的前项和。
只需要证，且（时）
① ，，显然成立。 （12分）
②时，不论为奇数偶数都有， （13分）
，则也成立。
综上所述，不等式在且时均成立。 （15分）
证法三（放缩法证明）
①时，左边，右边，成立； （12分）
②时， （13分）
（14分）
（15分）
证法四（分奇偶讨论证明）
时均成立。（证明略） （12分）
当时，①为偶数时，
（13分）
（14分）
② 为奇数时，同理
（15分）
21．（I）解法一： 1分
设，则即
同理. 4分
又在上,则,所以 6分
所以直线过焦点F. 7分
（I）解法二： 1分
设AB直线方程 为
则由 得
所以 2分
过A的切线方程为
过B的切线方程为 4分
所以交点P的坐标为
因为P在直线上，所以 6分
所以 即直线过焦点 7分
（II）由（I）知,代入得
则,
则,9分
到AB的距离,所以
由（1）知,则,
所以,令
则
在上是增函数,
则四边形面积的最小值为3 15分
22.解：（1）的定义域为
== …………2分
（i） 若,则，所以在递增，递减 …… 3分
（ii） 若，则在递增，递减，在递增
…………4分
（iii） 若,则在递增; 5分
（iv） 若，则在递增，在递减，在递增
…… 6分
（2）解法一： ,
， 若有两极值点，
则有两解
且
所以 ……8分
令，则
若则 ……10分
令
，
所以在递增，在递减 …………12分
又
则在区间内存在使得
函数y=m(x)在单调递增，在单调递减
由，所以当时满足 …………14分
，所以
即实数的取值范围为 …………15分
解法二： ,
， 若有两极值点，
则有两解
且，所以 ……8分
即
由方程，得，令，，则，
…………10分
令，求导，
令，得到，所以在上单调递增，在单调递减.
…………13分
又，，所以由，即，解得. 故实数的取值范围是.
…………15分
