2020届东北三省三校高三第一次联合模拟考试数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先由题意求出，再与集合求交集，即可得出结果.
【详解】
因为，，所以，
又，所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查集合的交集与补集的混合运算，熟记交集与补集的定义即可，属于基础题型.
2．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）
A．存在两条异面直线，.
B．存在一条直线，.
C．存在一条直线，.
D．存在两条平行直线，.
【答案】A
【解析】根据面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
对于A选项，如图：为异面直线，且，在内过上一点作，则内有两相交直线平行于，则有；故A正确；
对于B选项，若，则可能平行于与的交线，因此与可能平行，也可能相交，故B错；
对于C选项，若，则与可能平行，也可能相交，故C错；
对于D选项，若，则与可能平行，也可能相交，故D错.
故选：A
【点睛】
本题主要考查探求面面平行的充分条件，熟记面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系即可，属于常考题型.
3．已知向量 ，若，则实数（ ）
A． B．5 C．4 D．
【答案】A
【解析】先由题意，得到，，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果.
【详解】
因为，
所以，，
又，所以，即，
解得：.
故选：A
【点睛】
本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.
4．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先由题意，得到，再根据二倍角公式，以及诱导公式，即可得出结果.
【详解】
由，得，
，
.
故选:C
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型.
5．已知在上连续可导，为其导函数，且，则（ ）
A．2e B．
C．3 D．
【答案】B
【解析】先对函数求导，得出，求出，进而可求出结果.
【详解】
由题意，，所以，
因此，所以，
故.
故选：B
【点睛】
本题主要考查由导数的方法求参数，以及求函数值的问题，熟记导数的计算公式即可，属于基础题型.
6．在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为（ ）
A．2 021 B．-2021
C．1 010 D．-1010
【答案】D
【解析】根据题中数据，以及等比数列的性质，得到，再由对数的运算法则，得到，进而可求出结果.
【详解】
在各项均为正数的等比数列{an}中，若，可得，则
.
故选D.
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质的应用，以及对数的运算，熟记等比数列的性质，以及对数运算法则即可，属于常考题型.
7．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，由函数的奇偶性可得，，又由，结合函数的单调性分析可得答案．
【详解】
根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，，
有，
又由在上单调递增，则有，故选C.
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题．
8．数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究陌数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数.的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先由函数解析式，得到，推出不是偶函数，排除AC，再由特殊值验证，排除B，即可得出结果.
【详解】
因为函数，所以，
因此函数不是偶函数，图象不关于轴对称，故排除A、C选项；
又因为，，所以，而选项B在时是递增的，故排除B.
故选：D
【点睛】
本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的基本性质，灵活运用排除法处理即可，属于常考题型.
9．已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先由题意，得到点也在函数图象上，函数在上为减函数，将不等式化为，根据函数单调性，即可得出结果.
【详解】
根据题意，为偶函数， 且经过点，则点也在函数图象上，
又当时，不等式恒成立，
则函数在上为减函数，
因为，所以
解得或.
故选：C
【点睛】
本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型.
10．的内角，，的对边为，，，若，且的面积为，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】根据余弦定理，以及题中三角形的面积，得到，求出，再由，结合基本不等式，即可求出结果.
【详解】
由余弦定理可得：，又，
，因此，故.
所以，
即
，即，当且仅当时，等号成立，故的最大值为4.
故选：D
【点睛】
本题主要考查解三角形，以及基本不等式求最值，熟记余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.
11．如果定义在上的函数满足:对于任意，都有,则称为“函数”.给出下列函数:①；②；③ ；④其中为“函数”的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②④
【答案】B
【解析】先根据题中条件，得到函数是定义在上的减函数，逐项判断所给函数单调性，即可得出结果.
【详解】
∵对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，
∴不等式等价为恒成立，
即函数是定义在上的减函数.
①，则函数在定义域上不单调.
②函数是由复合而成，根据同增异减的原则，函数单调递减，满足条件.
③根据指数函数单调性可得：为减函数，满足条件.
④.当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，不满足条件.
综上满足“函数”的函数为②③，
故选:B
【点睛】
本题主要考查函数单调性的判定，熟记函数单调性的定义，以及基本初等函数单调性即可，属于常考题型.
二、填空题
12．若是偶函数，当时，，则=.______.
【答案】1
【解析】根据偶函数的性质，以及题中条件，结合对数运算，可直接得出结果.
【详解】
因为时，，且函数是偶函数，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记偶函数性质，以及对数运算法则即可，属于基础题型.
13．若关于的不等式的解集是，则_______.
【答案】或
【解析】先由题意得到关于的方程的两根分别是和，进而可求出结果.
【详解】
因为关于的不等式的解集是，
所以关于的方程的两根分别是和，
所以有，解得：或.
故答案为：或
【点睛】
本题主要考查由不等式的解集求参数，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型.
14．设为所在平面内一点，，若，则=__________.
【答案】
【解析】先由题意，作出图形，根据平面向量的基本定理，得到，再由题意确定的值，即可得出结果.
【详解】
如图所示，由，可知，、、三点在同一 直线上，图形如右:
根据题意及图形，可得: ，，
，解得: ，则
故答案为：
【点睛】
本题主要考查由平面向量基本定理求参数，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型.
15．某工厂现将一棱长为的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为_____．
【答案】
【解析】找出正四面体中内接圆柱的最大值的临界条件，通过体积公式即可得到答案.
【详解】
解：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点在侧面的中线上．
∵正四面体棱长为，∴，，，
∴，
设圆柱的底面半径为，高为，则．
由三角形相似得：，即，
圆柱的体积，
∵，当且仅当即时取等号．
∴圆柱的最大体积为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查学生的空间想象能力,以及分析问题的能力，基本不等式的运用,难度较大.
三、解答题
16．已知实数，满足，若目标函数最大值为，取到最大值时的最优解是唯一的，则的取值是（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】C
【解析】先由约束条件作出可行域，化目标函数为，则表示斜率为的直线，且，结合图像，以及题中条件，即可得出结果.
【详解】
由不等式组，即为，作可行域如图:
目标函数可化为，
因为表示斜率为的直线，且，
由图象可知当经过点时，取到最大值，这时满足坐标满足解得，点坐标为，代人得到.
故选:C
【点睛】
本题主要考查由最优解求参数的问题，通常需作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像求解，属于常考题型.
17．已知命题，不等式恒成立；命题:函数，；
(1)若命题为真，求的取值范围；
(2)若命题是真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)；（2）.
【解析】（1）根据为真，得到时，即可，根据函数单调性，求出的最小值，进而可求出结果；
（2）若为真命题，根据题意得到，由函数单调性，求出在上的最大值，进而可求出结果.
【详解】
(1) 若为真，即，不等式恒成立;
只需时，即可，
易知：函数在递减，所以的最小值为，
因此.
(2)若为真命题，则，
易知：在上单调递减，所以；
因此，故或，
因为命题是真命题，所以，均为真命题，故满足或
解得：，
因此实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查由命题的真假求参数，以及由复合命题真假求参数，根据转化与化归的思想即可求解 ，属于常考题型.
18．已知函数
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在区间上的最小值，并求出取得最值时的值.
【答案】(1),；(2) 最小值为， .
【解析】（1）先将函数解析式化简整理，得到，根据正弦函数的周期与单调区间求解，即可得出结果；
（2）由得，根据正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】
(1)因为
所以函数的最小正周期为.
由，得
故函数的单调递减区间为.
(2)因为，
所以当即时，
所以函数在区间上的最小值为，此时.
【点睛】
本题主要考查求正弦型函数的周期，单调区间，以及最值，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.
19．已知四棱锥的底面为平行四边形，.
(1)求证：；
(2)若平面平面，，，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；（2）.
【解析】（1）取中点，连接，，根据线面垂直的判定定理，得出平面，进而可得；
（2）过点作垂直延长线于点，连接，根据线面垂直的判定定理，证明平面，推出；设为点到平面的距离，根据，结合题中数据，即可求出结果.
【详解】
(1)取中点，连接，，
∵，且为中点，
∴，，
平面，
平面，
，
∵为中点，
；
(2)过点作垂直延长线于点，连接，
∵平面平面，平面平面，
平面，，
平面，
平面，
，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
设为点到平面的距离，由于，可得，
，
，所以.
即点到平面的距离为.
【点睛】
本题主要考查证明线段相等，以及求点到平面的距离，熟记线面垂直的判定定理，性质定理，以及等体积法求点到平面的距离即可，属于常考题型.
20．已知数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1) ；（2）.
【解析】（1）根据，求出；再得到时，，两式作差得到数列是首项为2，公比为2的等比数列，进而可得出结果；
（2）由（1）的结果，根据裂项相消的方法，即可求出数列的和.
【详解】
(1)由题可知，①
当时，，得，
当时，，②
①-②，得，所以
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，故.
(2)由(1)知，则，
，
所以.
【点睛】
本题主要考查由递推公式求通项公式，以及数列的求和，熟记等比数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型.
21．已知函数，其中.
(1)当时，求函数在上的最大值和最小值；
(2)若函数为上的单调函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；（2）.
【解析】（1）由得，对其求导，得到，解对应不等式，求出单调区间，进而可求出最值；
（2）先由得到函数不可能在上单调递增，由题意，得到在上单调递减，推出恒成立；令，用导数的方研究其单调性，进而可求出结果.
【详解】
(1)当时，，所以.
由解得，由解得.
故函数在区间上单减，在区间上单增.
,
，；
(2) 因为，所以函数不可能在上单调递增.
所以，若函数为上单调函数，则必是单调递减函数，即恒成立.
由可得，
故恒成立的必要条件为.
令，则.
当时，由，可得，
由可得，
在.上单调递增，在上单调递减.
故
令，下证:当时，.
即证，令，其中，则，
则原式等价于证明:当时，.
由(1)的结论知，显然成立.
综上，当时，函数为上的单调函数，且单调递减.
【点睛】
本题主要考查求函数最值，以及由函数单调性求参数的问题，灵活运用导数的方法求函数单调性，即可研究其最值等，属于常考题型.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为: 为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(1)求的极坐标方程；
(2)若直线与曲线相交于，两点，求.
【答案】(1) ；(2).
【解析】（1）根据曲线的参数方程消去参数，得到普通方程，再转化为极坐标方程即可；
（2）先将直线的极坐标方程化为参数方程，代入，根据参数方程下的弦长公式，即可求出结果.
【详解】
(1)曲线的参数方程为: 为参数)，
转换为普通方程为: ，
转换为极坐标方程为: .
(2)直线的极坐标方程为.转换为参数方程为: (为参数).
把直线的参数方程代入，
得到: ，(和为，对应的参数)，
故: ，，
所以.
【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及求弦长的问题，熟记公式即可，属于常考题型.
23．已知.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若时，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1) ；（2）.
【解析】（1）先由得，分别讨论，，三种情况，即可得出结果；
（2）先由题意，得到当时，不等式恒成立转化为或恒成立，进而可求出结果.
【详解】
(1)当时，不等式可化简为.
当时，，解得，所以
当时，，无解；
当时，，解得，所以；
综上，不等式的解集为；
(2)当时，不等式可化简为.
由不等式的性质得或，
即或.
当时，不等式恒成立转化为或恒成立;
则或.
综上，所求的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查解含绝对值不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，灵活运用分类讨论法求解即可，属于常考题型.
