2020届东北三省三校高三第一次联合模拟考试数学（理）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】化简集合,即可求出.
【详解】
由题意得，，∵B中，，
∴，∴，故选B.
【点睛】
本题考查集合间的运算,属于基础题.
2．设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解不等式，求出命题,成立的解集,把是的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数的取值范围.
【详解】
由不等式，解得，
由得，
是的必要不充分条件，可知,
所以，故实数的取值范围是.
故选C.
【点睛】
本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题
3．已知向量 ，若，则实数（ ）
A． B．5 C．4 D．
【答案】A
【解析】先由题意，得到，，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果.
【详解】
因为，
所以，，
又，所以，即，
解得：.
故选：A
【点睛】
本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.
4．若是三角形的一个内角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据已知条件,求出,再利用诱导公式化简所求式子,即可得出结果.
【详解】
∵，，，
，又∵，
∴，，
.
故选C.
【点睛】
本题考查同角间的三角函数关系,以及诱导公式,属于基础题.
5．曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】求出，即为切线的斜率，可求出.
【详解】
因为，
所以，因此，
曲线在处
的切线斜率为，
又该切线与直线平行，
所以，∴.
故选A.
【点睛】
本题考查导数的几何意义,属于基础题.
6．等比数列的前项和为，公比为，若，，则（ ）
A．50 B．100 C．146 D．128
【答案】C
【解析】根据已知条件，先求出，再应用等比数列前项和为的性质，即可求出结果.
【详解】
由题意得∵，，
∴，根据等比数列的性质可
知，，，构成等比数列，
故，∴，
故.
故选C.
【点睛】
本题考查等比数列前项和的性质，对等比数列的性质的熟练掌握是解题的关键，属于基础题.
7．已知函数，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先判断的奇偶性，再证明单调性，判断出对应自变量的大小关系，利用单调性比，即可得出答案.
【详解】
∵，∴
，∴，∴，
∴函数是奇函数，∴当时，易得
为增函数，
故在上单调递增，
∵，，，
∴，∴.
故选D.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，单调性及单调性的应用，困难在于要想到证明函数奇偶性，属于中档题.
8．关于函数，下列说法错误的是（ ）
A．是奇函数 B．是周期函数
C．有零点 D．在上单调递增
【答案】B
【解析】根据奇偶性定义可判断选项A正确；依据周期性定义，选项B错误；，选项C正确；求，判断选项D正确.
【详解】
，
则为奇函数，故A正确；
根据周期的定义，可知它一定不是周期函数，
故B错误；
因为，在
上有零点，故C正确；
由于，故在
上单调递增，故D正确.
故选B.
【点睛】
本题考查函数的性质，涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点，属于基础题.
9．已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先由题意，得到点也在函数图象上，函数在上为减函数，将不等式化为，根据函数单调性，即可得出结果.
【详解】
根据题意，为偶函数， 且经过点，则点也在函数图象上，
又当时，不等式恒成立，
则函数在上为减函数，
因为，所以
解得或.
故选：C
【点睛】
本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型.
10．已知实数，满足不等式组，目标函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出可行域，利用目标函数的几何意义，即可求出目标函数最大值.
【详解】
不等式组所表示的平面区域如图所示：
表示过可行域内的点与
点的直线的斜率的最大值，
由，解得，
这时，
故目标函数的最大值是.
故选D.
【点睛】
本题考查非线性目标函数最优解，对目标函数的几何意义理解是解题的关键，属于基础题.
11．的内角，，的对边为，，，若，且的面积为，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】根据余弦定理，以及题中三角形的面积，得到，求出，再由，结合基本不等式，即可求出结果.
【详解】
由余弦定理可得：，又，
，因此，故.
所以，
即
，即，当且仅当时，等号成立，故的最大值为4.
故选：D
【点睛】
本题主要考查解三角形，以及基本不等式求最值，熟记余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.
12．已知函数，令函数，若函数有两个不同零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】构造新函数，问题转化为与有两个交点，作出，利用数学结合思想，即可求得结果.
【详解】
令，
当时，函数，
由得得，得，
由得得，得，
当值趋向于正无穷大时，值也趋向于负无穷大，
即当时，函数取得极大值，极大值为
，
当时，，
是二次函数，在轴处取得最大值，作出函数
的图象如图：
要使（为常数）有两个不相等的实根，
则或，即若函数有两个不同零点，
实数的取值范围是．
故选C.
【点睛】
本题考查函数的零点，构造新函数，转化为两个函数的交点，考查数行结合思想，作出函数图像是解题的关键，属于较难题.
二、填空题
13．若是偶函数，当时，，则=.______.
【答案】1
【解析】根据偶函数的性质，以及题中条件，结合对数运算，可直接得出结果.
【详解】
因为时，，且函数是偶函数，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记偶函数性质，以及对数运算法则即可，属于基础题型.
14．若关于的不等式的解集是，则_______.
【答案】或
【解析】先由题意得到关于的方程的两根分别是和，进而可求出结果.
【详解】
因为关于的不等式的解集是，
所以关于的方程的两根分别是和，
所以有，解得：或.
故答案为：或
【点睛】
本题主要考查由不等式的解集求参数，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型.
15．设为所在平面内一点，，若，则=__________.
【答案】
【解析】先由题意，作出图形，根据平面向量的基本定理，得到，再由题意确定的值，即可得出结果.
【详解】
如图所示，由，可知，、、三点在同一 直线上，图形如右:
根据题意及图形，可得: ，，
，解得: ，则
故答案为：
【点睛】
本题主要考查由平面向量基本定理求参数，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型.
16．下列命题中：
①已知函数的定义域为，则函数的定义域为；
②若集合中只有一个元素，则；
③函数在上是增函数；
④方程的实根的个数是1.
所有正确命题的序号是______（请将所有正确命题的序号都填上）.
【答案】②③
【解析】对于①根据复合函数与函数自变量的关系，即可判断为正确；
对于②等价于方程有等根，故，求出的值为正确；对于对于③，可化为反比例函数，根据比例系数，可判断为正确；对于④，作出，的图象，根据图像判断两函数有两个交点，故不正确.
【详解】
对于①，因为函数的定义域
为，即，
故的定义域应该是，故①正确；
对于②，，故，故②正确；
对于③，的图象由反比例函数
向右平移个单位，故其单调性与
函数单调性相同，故可判定
在上是增函数，③正确；
对于④，在同一坐标系中作出，
的图象，由图可知有两个交点.
故方程的实根的个数为2，故④错误.
故答案为①②③.
【点睛】
本题考查复合函数的定义域、函数的单调性、集合的元素、方程零点问题，要求全面掌握函数的性质，较为综合.
三、解答题
17．已知命题，不等式恒成立；命题:函数，；
(1)若命题为真，求的取值范围；
(2)若命题是真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)；（2）.
【解析】（1）根据为真，得到时，即可，根据函数单调性，求出的最小值，进而可求出结果；
（2）若为真命题，根据题意得到，由函数单调性，求出在上的最大值，进而可求出结果.
【详解】
(1) 若为真，即，不等式恒成立;
只需时，即可，
易知：函数在递减，所以的最小值为，
因此.
(2)若为真命题，则，
易知：在上单调递减，所以；
因此，故或，
因为命题是真命题，所以，均为真命题，故满足或
解得：，
因此实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查由命题的真假求参数，以及由复合命题真假求参数，根据转化与化归的思想即可求解 ，属于常考题型.
18．已知函数
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在区间上的最小值，并求出取得最值时的值.
【答案】(1),；(2) 最小值为， .
【解析】（1）先将函数解析式化简整理，得到，根据正弦函数的周期与单调区间求解，即可得出结果；
（2）由得，根据正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】
(1)因为
所以函数的最小正周期为.
由，得
故函数的单调递减区间为.
(2)因为，
所以当即时，
所以函数在区间上的最小值为，此时.
【点睛】
本题主要考查求正弦型函数的周期，单调区间，以及最值，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.
19．已知二次函数满足，，且0为函数的零点.
（1）求的解析式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）根据已知条件可得的对称轴方程，结合，，即可求出;
（2）从不等式中分离，不等式恒成立转为与函数的最值关系，即可求出结果.
【详解】
（1）设，
由题意可知，，
得到，即得到，
又因为0是函数的零点，
即0是方程的根，
即满足，得，又∵，
∴，
∵，∴，
∴.
（2）当时，恒成立，
即恒成立；
令，，
则，
∴.
【点睛】
本题考查用待定系数法求解析式，考查不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，属于中档题题.
20．已知数列是等差数列，，，数列的前项和为，且.
（1）求数列、的通项公式；
（2）记中，求数列的前项和.
【答案】（1）， （2）
【解析】对于根据已知条件求出公差，即可求得通项；对于利用已知前项和与通项关系，可求得通项；
（2）根据的通项公式，用裂项相消法，可求出的前项和.
【详解】
（1）由已知得，
解得，，所以，
当时，，∴
，
两式相减得,
以2为首项公比为2的等比数列，
.
（2）由（1）知，所以
∴.
【点睛】
本题考查等差、等比数列的通项，考查已知前项和求通项，以及求数列的前项和，属于中档题.
21．已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）当时，设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的最大值.
【答案】（1） （2）答案不唯一，见解析 （3）
【解析】（1）求导，接着单调区间，即可得出最小值；
（2）求导，对分类讨论，可求出函数的单调区间；
（3）求出，通过分析，可得到在增函数，从而有，转化为在上至少有两个不同的正根，，转化为与至少有两个交点，即可求出实数的最大值.
【详解】
（1）当时，，
这时的导数，
令，即，解得，
令得到，
令得到，
故函数在单调递减，在单调递增；
故函数在时取到最小值，
故；
（2）当时，函数
导数为，
若时，，单调递减，
若时，，
当或时，，
当时，，
即函数在区间，上单调递减，
在区间上单调递增.
若时，，
当或时，，
当时，，
函数在区间，上单调递减，
在区间上单调递增.
综上，若时，函数的减区间为，无增区间，
若时，函数的减区间为，，增区间为，
若时，函数的减区间为，，增区间为.
（3）当时，设函数.
令，，
当时，，为增函数，
，为增函数，
在区间上递增，
∵在上的值域是，
所以在上至少有两个不同
的正根，，
令，求导得，，
令，
则，
所以在递增，，，
当，，∴，
当，，∴，
所以在上递减，在上递增，
∴，∴，
∴的最大值为.
【点睛】
本题考查函数的极值最值、单调性、值域、零点问题，其实质就是应用求导方法研究函数性质，关键是能结合题意构造函数，是一道综合题.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为: 为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(1)求的极坐标方程；
(2)若直线与曲线相交于，两点，求.
【答案】(1) ；(2).
【解析】（1）根据曲线的参数方程消去参数，得到普通方程，再转化为极坐标方程即可；
（2）先将直线的极坐标方程化为参数方程，代入，根据参数方程下的弦长公式，即可求出结果.
【详解】
(1)曲线的参数方程为: 为参数)，
转换为普通方程为: ，
转换为极坐标方程为: .
(2)直线的极坐标方程为.转换为参数方程为: (为参数).
把直线的参数方程代入，
得到: ，(和为，对应的参数)，
故: ，，
所以.
【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及求弦长的问题，熟记公式即可，属于常考题型.
23．已知.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若时，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1) ；（2）.
【解析】（1）先由得，分别讨论，，三种情况，即可得出结果；
（2）先由题意，得到当时，不等式恒成立转化为或恒成立，进而可求出结果.
【详解】
(1)当时，不等式可化简为.
当时，，解得，所以
当时，，无解；
当时，，解得，所以；
综上，不等式的解集为；
(2)当时，不等式可化简为.
由不等式的性质得或，
即或.
当时，不等式恒成立转化为或恒成立;
则或.
综上，所求的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查解含绝对值不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，灵活运用分类讨论法求解即可，属于常考题型.
