2020届东北三省三校哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高三第一次联合模拟考试数学（文）试题（解析版）

2020届东北三省三校哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高三第一次联合模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】先求解不等式A，B，先计算，继而得解

【详解】

集合，

故选：B

【点睛】

本题考查了集合的并集、补集计算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.

2．已知复数（），是实数，那么复数的实部与虚部满足的关系式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先利用复数的除法运算化简，若为实数，则虚部为零，即得解.

【详解】

若是实数，则虚部

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的四则运算和基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.

3．已知，是两个不同的平面，直线，下列命题中正确的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【解析】通过反例可确定错误；由面面垂直的判定定理可知正确.

【详解】

若且，则与相交、平行或，，错误；

若且，则与可能相交或平行，错误；

由面面垂直判定定理可知，选项的已知条件符合定理，则，正确.

故选

【点睛】

本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，关键是能够熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质定理.

4．大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明.例如取，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】A

【解析】由题意：任取一个正整数，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1,依次递推，得到1，即得解.

【详解】

由题意：任取一个正整数，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1.

第一步：为奇数，则；

第二步：为偶数，则；

第三步：为偶数，则；

第四步：为偶数，则；

第五步：为奇数，则；

第六步：为偶数，则；

第七步：为偶数，则；

第八步：为偶数，则；

第九步：为偶数，则.

故选：A

【点睛】

本题考查了数学文化以及数列的递推关系，考查了学生数学应用，理解辨析，数学运算的能力，属于基础题.

5．下列说法中正确的是（    ）

A．若“”是“”的充分条件，则“”

B．若“”是“”的充分条件，则“”

C．若“”是“”的充要条件，则“”

D．若“”是“”的必要条件，则“”

【答案】A

【解析】根据充分条件必要条件定义,逐项判断,即可求得答案.

【详解】

对于A,若“”是“”的充分条件,可得,故A正确;

对于B,若“”是“”的充分条件,可得,故B错误;

对于C,若“”是“”的充要条件,可得,故C错误;

对于D,因为“” 无法成为“”必要条件,故D错误.

故选: A.

【点睛】

本题解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义,不等式是“小范围”可以推出“大范围”,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.

6．已知在边长为3的等边中，，则（    ）

A．6 B．9 C．12 D．－6

【答案】A

【解析】转化,利用数量积的定义即得解.

【详解】

故选：A

【点睛】

本题考查了平面向量基本定理的应用以及数量积，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

7．已知椭圆()的左､右焦点分别为､，点是椭圆短轴的一个顶点，且，则椭圆的离心率（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】画出图象,根据,求出之间的关系,即可求得答案.

【详解】

根据题意,画出图形

是椭圆短轴的一个顶点,

是以顶点的等腰三角形

可得

根据椭圆定义可知:

根据余弦定理可得:

即,可得

,即

故选: C.

【点睛】

本题主要考查了求椭圆的离心率,解题关键是掌握椭圆的基础知识和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

8．已知函数的图象向右平移（）个单位后，其图象关于轴对称，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题设，其图象关于轴对称，即，求解即得.

【详解】

由题设

向右平移个单位，即，其图象关于轴对称

因此

又，令，

故选：D

【点睛】

本题考查了三角函数的图像变换及对称性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

9．如图,四边形是边长为的正方形，平面，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意画出图形,取中点,连接,可得,故为异面直线与所成角,结合已知,即可求得答案.

【详解】

根据题意画出图形,取中点,连接

且

四边形是平行四边形

且

又四边形是的正方形

可得且

故且

四边形是的平行四边形

且

故为异面直线与所成角

在根据勾股定理可得:

在根据勾股定理可得:

在中根据余弦定理:

可得：

故选:C

【点睛】

本题考查求异面直线夹角,解题关键是掌握异面直线夹角的定义和将异面直线夹角转化为共面夹角的求法,考查分析能力和计算能力,属于中档题.

10．已知双曲线的左､右焦点分别为，，点在双曲线上，且，的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先根据双曲线方程得到,设可得,.

由,在根据余弦定理可得:,即可求得答案.

【详解】

在双曲线上,

设

①

由

在根据余弦定理可得:

故

即: ②

由①②可得

直角的面积

故选:B.

【点睛】

本题考查求椭圆中三角形面积问题,解题关键是掌握椭圆定义和椭圆中三角形面积求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

11．已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前6项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据数阵,求得,设,前和为,即可求得,根据裂项求和,即可求得答案.

【详解】

数列的通项公式为,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.

记为数阵从左至右的列,从上到下的行共个数的和

......

设,前和为

故选:D.

【点睛】

本题的解题关键是掌握裂项相消求数列的前和的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

12．已知满足，若在区间内，关于的方程()有4个根，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为满足,求在区间函数关系式, 将求根的个数问题,转化为求和函数交点个数问题,即可求得答案.

【详解】

满足,

可得:当时,

故时,

令时,则

根据

可得

当时,则

可得

可得

即,

即

令,化简可得

故恒过点

在同一坐标系画出和函数的图象

①当和函数相交时

当过点,可得

根据图象可知当时,区间内，和函数相交且有交点.

即()有4个根

②当和函数在上相切时

设和函数在上相切的切点为.

当,

,

又恒过点,可得

解得:,

故

,可得

综上所述,()有4个根,则实数的取值范围:或

故选:A.

【点睛】

本题主要考查了根据方程根的个数问题求参数范围,解题关键是掌握将求方程个数问题转化为求函数交点问题,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于难题.

二、填空题

13．已知向量，，其中，若，则______.

【答案】

【解析】因为,可得,结合已知,即可求得答案.

【详解】

,

又

,即:

整理可得:

可得

由,可得

故答案为:.

【点睛】

本题主要考查了根据向量的数量积求角度问题,解题关键是掌握向量的基础知识和二倍角余弦公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

14．已知函数在上不单调，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】函数在上不单调,转化为在有零点，即有解，研究取值范围即可.

【详解】

函数在上不单调,

即在有零点，

即

当，，故

故答案为：

【点睛】

本题考查了导数在含参函数的单调性问题中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

15．数列满足，(，)，则______.

【答案】

【解析】因为,可得,则是以公差为,首项为的等差数列,结合已知,即可求得答案.

【详解】

化简可得:

即:

可得:

是以公差为,首项为的等差数列

根据等差数列通项公式可得:

由

故答案为.

【点睛】

本题主要考查了根据构造数列求数列中的项,解题关键是掌握构造数列的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

16．已知函数，，若对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】根据不等式恒成立,利用参数分类法进行转化为在上恒成立,构造函数,求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值,即可求得答案.

【详解】

,

函数在上递减,则上递增，

若对于任意的,都有成立

即在上恒成立

即恒成立

即,即在恒成立

令,

则

当在时,

即在上单调递减

由于

当时,

当时,，

，

.

故答案为:.

【点睛】

本题主要考查了根据不等式在某区间上恒成立求参数范围,解题关键是掌握将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,考查了分析能力和计算能力,属于难题.

三、解答题

17．在中，内角，，的对边分别为，，，已知.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，为的中点，且，求.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由正弦定理得，结合，化简可得解；

（Ⅱ）由题设，，两边平方，代入边长，角度可得解.

【详解】

（Ⅰ）由正弦定理得，

又由，

得，

因为，所以，

所以.

因为，

所以.

（Ⅱ）因为为的中点，所以，

所以，即，

因为，解方程，得.

【点睛】

本题考查了解三角形的综合应用，考查了学生转化划归，数学运算，综合分析的能力，属于中档题.

18．如图，三棱柱中，平面，，，，，是的中点，是的中点.

（1）证明:平面;

（2）是线段上一点，且，求到平面的距离.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】（1）要证平面,只需证明,即可求得答案;

（2）先求证,到平面的距离相等,结合已知条件,即可求得答案.

【详解】

（1）设中点为,连,

中是中点,是的中点,

且,

棱柱中侧棱,且是的中点,

且,

,,

,

又平面且平面,

平面

（2）在线段上,且,棱柱中,

侧面中,且平面,平面,

平面,

,到平面的距离相等.

在平面中作直线于①

平面

可得,

又,

平面,

平面,

②,

又①②及,

可得平面.

故线段长为点,到平面的距离.

中,,,

可得

,

【点睛】

本题主要考查了求证线面平行和点到面的距离,解题关键是掌握线面平行判断的方法和点到面距离的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

19．2020年2月1日0:00时，英国顺利“脱欧”.在此之前，英国“脱欧”这件国际大事被社会各界广泛关注，英国大选之后，曾预计将会在2020年1月31日完成“脱欧”，但是因为之前“脱欧”一直被延时，所以很多人认为并不能如期完成，某媒体随机在人群中抽取了100人做调查，其中40岁以上的55人中有10人认为不能完成，40岁以下的人中认为能完成的占.

（1）完成列联表，并回答能否有90%的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关”?

（2）从上述100人中，采用按年龄分层抽样的方法，抽取20人，从这20人中再选取40岁以下的2人做深度调査，则2人中恰有1人认为英国能够完成“脱欧”的概率为多少?

附表:

参考公式为:

【答案】（1）联表详见解析，有90%的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关”； （2）.

【解析】（1）由题意填写列联表,结合公式,即可求得答案;

（2）40岁以上人数为55,,40岁以下为45,比例为,抽取的20人中,40岁以下为9人,其中有6人是认为可以完成的,记为,,,,,,3人认为不能完成,记为,,,结合已知,即可求得答案.

【详解】

（1）由题意可得列联表:

由附表知:,且,所以有90%的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关”

（2）40岁以上人数为55,,40岁以下为45,比例为,抽取的20人中,40岁以下为9人,其中有6人是认为可以完成的,记为,,,,,,3人认为不能完成,记为,,,

从这9人中抽取2人共有:,,,,,,,,

,,,,,,,

,,,,,,

,,,,

,,,

,,

,

36个基本事件

设事件:从20人中抽取2位40岁以下的,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”.

事件共包括:,,,,,,,,,,,

,,,,,18个基本事件,

所以从20人中抽取2位40岁以下的作深度调查,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”的概率为.

【点睛】

本题主要考查了独立性检验的实际应用和时间的概率,解题关键是掌握独立性检验基础知识和概率计算公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

20．已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切.

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；

（Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且，证明：直线过定点.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】（Ⅰ）根据题意，点到直线的距离与到的距离相等，由抛物线的定义可得解；

（Ⅱ）设、，用坐标表示、、，利用韦达定理，代入即得解.

【详解】

（Ⅰ）设，半径为，则，，所以点到直线的距离与到的距离相等，故点的轨迹方程为.

（Ⅱ）设，，则、

设直线：（）代入中得

，

∵、

∴

又

∴

∴直线恒过

【点睛】

本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

21．设函数．

Ⅰ求函数的单调区间；

Ⅱ记函数的最小值为，证明：．

【答案】（I）在上单调递减，在上单调递增；（II）详见解析.

【解析】（I）对函数求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果；

（II）由（I）先得到，要证，即证明，即证明，

构造函数，用导数的方法求函数的最小值即可.

【详解】

（Ⅰ）显然的定义域为．   

．

∵，，

∴若，，此时，在上单调递减；

若，，此时，在上单调递增；

综上所述：在上单调递减，在上单调递增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，

 即：．

要证，即证明，即证明，

令，则只需证明，

∵，且，

∴当，，此时，在上单调递减；

当，，此时，在上单调递增，

∴．

∴．∴．

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.

22．在直角坐标系中，参数方程为（其中为参数）的曲线经过伸缩变换：得到曲线.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设、分别为曲线和曲线上的动点，求的最小值.

【答案】（Ⅰ）曲线的普通方程为；曲线的极坐标方程为；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）消去参数即得曲线的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化公式，即得曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设，表示点到直线距离，利用辅助角公式求最小值.

【详解】

（Ⅰ）曲线的参数方程为（其中为参数），

因此，曲线的普通方程为，

曲线的极坐标方程为，

因此，曲线的直角坐标方程为.

（Ⅱ）设，则的最小值为到直线的距离为，

，

当时，

最小值为.

【点睛】

本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标互化，以及参数方程在求最值中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

23．设函数.

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）或.

【解析】（Ⅰ）将绝对值函数分段表示，分别求解即可；

（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质，转化为，求解即可.

【详解】

（Ⅰ），

当时，，解得，所以；

当时，，解得；

当时，，解得，所以，

综上所述，不等式的解集为或.

（Ⅱ）∵

（当且仅当即时取等）

∴或.

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生转化化归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.