2020届东北师大附中等六校高三联合模拟考试数学（文）试题（解析版）

2020届东北师大附中等六校高三联合模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先解不等式求出集合，，再根据交集的定义求解即可．

【详解】

解：由即解得，则，

由解得，则，

∴，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，考查指数不等式的解法，属于基础题．

2．已知复数（为虚数单位），则复数的虚部是（    ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】B

【解析】先根据复数代数形式的运算性质化简求出复数，再根据虚部的定义即可求出答案．

【详解】

解：∵，

∴复数的虚部是，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的运算性质以及虚部的定义，属于基础题．

3．已知，且为第三象限角，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先根据诱导公式得，再同角的平方关系得，再根据二倍角的正弦公式求解即可．

【详解】

解：∵，∴，

又为第三象限角，∴，

∴，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查二倍角的正弦公式、诱导公式以及同角的平方关系，属于基础题．

4．已知向量，，若，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】先求出的坐标，再根据平面向量垂直的坐标表示计算即可．

【详解】

解：∵，，

∴，

又，

∴，解得，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，属于基础题．

5．设等差数列的前项和为，若，，则的最小值等于（    ）

A．-34 B．-36 C．-6 D．6

【答案】B

【解析】由题意先求出数列的公差，再根据前项和公式求出，再计算最小值即可．

【详解】

解：设数列的公差为，

∵，

∴，

又，

∴，

∴，

∴当时，有最小值，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查等差数列的前项和的最值的求法，属于基础题．

6．已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，，且，，则

【答案】B

【解析】以长方体为载体，结合平行与垂直的判定与性质求解．

【详解】

解：作一个任意长方体，

A中，如图，取，面，面，，而，即，故A错；

B中，若，则根据线面平行的性质，平面内必存在直线，而，则，由面面垂直的判定定理可得，B对；

C中，如图，取，面，面，则，，而，故C错；

D中，取面，面，，，则，，但不垂直，故D错；

故选：B．

【点睛】

本题主要考查平行于垂直的判定和性质，熟记八个定理并借助长方体为载体是解题关键，属于易错的基础题．

7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”，该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数是8的整数倍时，均可采用此方法求解，如图是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为（    ）

A．80 B．47 C．79 D．48

【答案】C

【解析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的，的值，当时，满足条件退出循环，即可得到输出的值．

【详解】

解：模拟程序的运行，可得

，，

执行循环体，，

不满足条件，执行循环体，，，

不满足条件，执行循环体，，，

满足条件，可得，退出循环，输出的值为；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查循环结构的程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的方法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．

8．设变量，满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．2 B．-4 C．12 D．13

【答案】C

【解析】作出可行域，结合目标函数的几何意义即可求出答案．

【详解】

解：变量，满足约束条件的可行域如图，

由得，

目标函数变形为，平移直线经过点时，目标函数取得最大值，

，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查简单的线性规划，属于基础题．

9．2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，看起来象个转动的风车，很有美感(图1)；弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(图2).如果直角三角形的较短直角边长和较长直角边长分别为1和2，则向大正方形内任投一质点，质点落在小正方形内的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求出大小正方形的面积，再根据几何概型的概率计算公式求出概率．

【详解】

解：由题意可求出大正方形的边长为，则其面积为，

小正方形的边长为1，其面积为1，

则质点落在小正方形内的概率，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查几何概型的概率计算，根据题意选择合适的测度是解题关键，属于基础题．

10．已知函数（）在上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据函数的解析式，利用的取值范围与三角函数图象与性质，列出不等式求出的取值范围．

【详解】

解：∵，

∴，

又函数在上恰有一个最大值和一个最小值，

∴，

解得，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查正弦型函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．

11．已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则的离心率为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先利用对称求出点P的坐标，结合∠OPF2＝∠POF2可知，利用两点间距离公式可求得离心率.

【详解】

设是关于渐近线的对称点，则有；

解得；

因为∠OPF2＝∠POF2，所以，；

化简可得，故选B.

【点睛】

本题主要考查双曲线的性质.离心率的求解一般是寻求之间的关系式.

12．已知函数与函数的图象在区间上恰有两对关于轴对称的点，则实数取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意可得在上恰有两个解，分离变量得，令，利用导数求出函数在上的函数值变化，由此可得答案．

【详解】

解：由题意可得在上恰有两个解，

即在上恰有两个解，

即在上恰有两个解，

令，则，

∴函数在上单调递增，在上单调递减，

又，，，

∴，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查利用导数讨论函数的单调性，考查转化思想，属于中档题．

二、填空题

13．已知，则__________．

【答案】3

【解析】利用分段函数的解析式，转化求解即可．

【详解】

解：∵，

∴，

故答案为：3．

【点睛】

本题主要考查已知分段函数解析式求函数值，属于基础题．

14．正三棱柱的所有棱长都相等，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．

【答案】

【解析】将正三棱柱补成如图所示的四棱柱，则为异面直线与所成角，解三角形即可．

【详解】

解：将正三棱柱补成如图所示的四棱柱，其中，，

连接，，

因为，所以为异面直线与所成角（或其补角），

设，则，，

∵为正三角形，∴，

由余弦定理得，

∴，则，

∴，

∴异面直线与所成角的余弦值为，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查异面直线所成的角，考查计算能力，属于基础题．

15．已知各项都为正数的数列的前项和为，并且，则__________．

【答案】

【解析】由题意得，当时，解得；

当时，，从而推出，则，再根据等差数列的通项公式求解即可．

【详解】

解：∵，，

∴，

当时，，解得；

当时，，

则，

∴，

∴，或（舍去），

∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查数列的递推公式，考查定义法判断等差数列，考查等差数列的通项公式，考查计算能力，属于中档题．

16．已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线和圆于，，，四个点，设，，则__________；的最小值为_______．

【答案】16    74   

【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，圆的圆心和半径，由题意设直线的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义、结合基本不等式即可求得答案．

【详解】

解：由题意得，准线方程为，

圆的圆心为，半径，

由题意设直线的方程为，

联立消元得，

∴，，

∴，

，

由抛物线定义可得，

当且仅当且即，时等号成立，

故答案为：16，74．

【点睛】

本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中档题．

三、解答题

17．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，若.

（1）求角的弧度数；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由题意可得，，根据两角和的余弦公式及三角形内角和即可求出答案；

（2）由余弦定理及可得，，再根据面积公式即可求解．

【详解】

解：（1）由题意，，

∴，，

∴，

∵，∴；

（2）由余弦定理，且，

∴，

∴，，

∴．

【点睛】

本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式，考查向量相等，考查两角和的余弦公式，属于基础题．

18．2019年10月1日我国隆重纪念了建国70周年，期间进行了一系列大型庆祝活动，极大地激发了全国人民的爱国热情.某校高三学生也投入到了这场爱国活动中，他(她)们利用周日休息时间到社区做义务宣讲员，学校为了调查高三男生和女生周日的活动时间情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他(她)们的周日活动时间进行了统计，分别得到了高三男生的活动时间(单位：小时)的频数分布表和女生的活动时间(单位：小时)的频率分布直方图.（活动时间均在内）

（1）根据调查，试判断该校高三年级学生周日活动时间较长的是男生还是女生？并说明理由；

（2）在被抽取的80名高三学生中，从周日活动时间在内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.

【答案】（1）女生，理由见解析；（2）

【解析】（1）列出女生周日活动时间频数表，对比男生和女生活动时间频数表即可得出结论；

（2）运用古典概型的概率计算公式求解即可．

【详解】

解：（1）该校高三年级周日活动时间较长的是女生，

理由如下：列出女生周日活动时间频数表

对比男生和女生活动时间频数表，可以发现：

活动时间在2小时及其以上的男生有22人，女生有34人；

活动时间在3小时及其以上的男生有15，女生有26人；

都是女生人数多于男生人数，所以该校高三年级周日活动时间较长的是女生；

（2）被抽到的80学生中周日活动时间在内的男生有2人，分别记为，，女生有4，分别记为，，，，

从这6人中抽取2.共有以下15个基本事件，分别为：

，，，，，，，，，，，，，；

其中恰为1男1女的共有8种情形，

所以所求概率．

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．

19．在四棱锥中，平面，在棱上，且，在底面中，，，，为对角线，的交点.

（1）证明：平面；

（2）若，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）1

【解析】（1）由题意，都为等腰三角形，故对角线，从而可证出，借助线面平行的判定定理即可得出结论；

（2）由（1）可知：点到平面的距离等于点到平面的距离，所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积，由此即可求出答案．

【详解】

（1）证：在底面中，，都为等腰三角形，故对角线，

所以，，

由在棱上，且知：，

所以在中有，所以，

又平面，平面，所以平面；

（2）解：由（1）可知：点到平面的距离等于点到平面的距离，

所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

而平面，所以三棱锥的高，

所以，

故三棱锥的体积为1．

【点睛】

本题主要考查线面平行的判定定理，考查等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．

20．已知椭圆：（）的左焦点为，是上一点，且与轴垂直，，分别为椭圆的右顶点和上顶点，且，且的面积是，其中是坐标原点.

（1）求椭圆的方程.

（2）若过点的直线，互相垂直，且分别与椭圆交于点，，，四点，求四边形的面积的最小值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）依题意可设，则有，解出即可；

（2）分类讨论，当，时，；

当，斜率存在时，设：，：，分别联立椭圆方程，利用韦达定理求出，，再根据面积公式以及基本不等式即可求出答案．

【详解】

解：（1）依题意画出下图可设，，，

则有：，解得，

∴椭圆的标准方程为；

（2）①当，时，；

②当，斜率存在时，设：，：，分别联立椭圆方程，

联立得，

∴，，

∴，

同理，

∴，

当且仅当即即时等号成立，

故四边形的面积的最小值．

【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．

21．已知函数（）.

（1）当时，讨论函数单调性；

（2）若，（，为的两个零点，且）求的取值范围.

【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）

【解析】（1）当时，求导后根据导数研究函数的单调性即可；

（2）求导得，由题意知方程在上有两个不等的实根，（），由此可得，根据韦达定理化简变形得，令，则，求导后根据导数研究函数的单调性，从而得出，再根据基本不等式即可求出答案．

【详解】

解：（1）当时，，

令，解得或，

令，解得，

所以在和上单调递增，在上单调递减；

（2），

由题意知方程在上有两个不等的实根，（），

所以，解得，

，

令，则，

，

所以在上单调递减，又，所以，

而，当且仅当等号成立

即，

综上：实数的取值范围为．

【点睛】

本题主要考查根据导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，属于难题．

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出曲线的直角坐标方程，并求时直线的普通方程；

（2）直线和曲线交于、两点，点的直角坐标为，求的最大值.

【答案】（1）：， ：；（2）

【解析】（1）把两边同时乘以，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程，由直线的参数方程可知直线过定点，并求得直线的斜率，即可写出直线的普通方程；

（2）把直线的参数方程代入曲线的普通方程，化为关于的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关系及此时的几何意义求解．

【详解】

解：（1）∵，∴，

∴曲线的直角坐标方程为，

当时，直线的普通方程为；

（2）把直线的参数方程为代入，

得，

，，则与同号且小于0，

由得：或，

∴，

∴的最大值为．

【点睛】

本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数的几何意义的应用，属于中档题．

23．已知函数，.

（1）当时，解不等式；

（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）利用绝对值的几何意义解出即可；

（2）由题意的值域为，的值域为，根据解出即可．

【详解】

解：（1）当时，，

由绝对值的几何意义得，或，

∴的解集为；

（2）由题意可知：的值域是值域的子集，

的值域是：，的值域为：，

∴，解得：或，

∴实数的取值范围是．

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法，考查集合的包含关系，属于中档题．