2020届东北三省三校哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高三第一次联合模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届东北三省三校哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高三第一次联合模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】先求解不等式A，B，先计算，继而得解

【详解】

集合，

故选：B

【点睛】

本题考查了集合的并集、补集计算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.

2．已知复数（），是实数，那么复数的实部与虚部满足的关系式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先利用复数的除法运算化简，若为实数，则虚部为零，即得解.

【详解】

若是实数，则虚部

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的四则运算和基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.

3．已知，是两个不同的平面，直线，下列命题中正确的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【解析】通过反例可确定错误；由面面垂直的判定定理可知正确.

【详解】

若且，则与相交、平行或，，错误；

若且，则与可能相交或平行，错误；

由面面垂直判定定理可知，选项的已知条件符合定理，则，正确.

故选

【点睛】

本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，关键是能够熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质定理.

4．大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明.例如取，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】A

【解析】由题意：任取一个正整数，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1,依次递推，得到1，即得解.

【详解】

由题意：任取一个正整数，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1.

第一步：为奇数，则；

第二步：为偶数，则；

第三步：为偶数，则；

第四步：为偶数，则；

第五步：为奇数，则；

第六步：为偶数，则；

第七步：为偶数，则；

第八步：为偶数，则；

第九步：为偶数，则.

故选：A

【点睛】

本题考查了数学文化以及数列的递推关系，考查了学生数学应用，理解辨析，数学运算的能力，属于基础题.

5．已知，，（注：为自然对数的底数），则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用换底公式：，，且，再利用中间值1比较a,b，即得解.

【详解】

由于，

，且

故选：B

【点睛】

本题考查了对数值的大小比较，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于基础题.

6．已知在边长为3的等边中，，则（    ）

A．6 B．9 C．12 D．－6

【答案】A

【解析】转化,利用数量积的定义即得解.

【详解】

故选：A

【点睛】

本题考查了平面向量基本定理的应用以及数量积，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

7．如图，四边形是边长为2的正方形，平面，平面，，则四面体的体积为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【解析】如图所示，作辅助线，可证明平面EABF，

故代入数据可得解.

【详解】

分别取BC，ED，AD的中点G，P，Q，连接FG，FP，PQ，QG

由于，P为ED中点，因此

故四边形FCDP为平行四边形，

且Q，G为DA，CB中点，，且

因此四边形PFQG为平行四边形，

P，Q为DE，DA中点，

平面EAB

故选：B

【点睛】

本题考查了三棱锥的体积求解，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

8．已知函数的图象向右平移（）个单位后，其图象关于轴对称，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题设，其图象关于轴对称，即，求解即得.

【详解】

由题设

向右平移个单位，即，其图象关于轴对称

因此

又，令，

故选：D

【点睛】

本题考查了三角函数的图像变换及对称性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

9．已知椭圆（）的右焦点为，上顶点为，直线上存在一点满足，则椭圆的离心率取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】取中点Q，可转化为，即，可求得，，求解即得.

【详解】

取中点Q，故，

故三角形AFP为等腰三角形，即，

且

由于P在直线上，故

即

解得：或，又

故

故选：C

【点睛】

本题考查了椭圆的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

10．已知定义在上的函数，满足，当时，，则函数的图象与函数的图象在区间上所有交点的横坐标之和为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．9

【答案】C

【解析】可分析得到函数，都关于对称，因此所有交点也关于对称，结合两个函数在的图像，可得到时有3个交点，且两函数相交，由于两个图像都关于对称，故交点也关于对称，每对交点的横坐标之和为2，即得解.

【详解】

函数，满足，故故图像关于对称，且

函数满足故图像关于对称，

由于两个图像都关于对称，只需研究时交点个数，

由于

两个图像位置关系如图所示，故当时有3个交点，且两函数相交，

由于两个图像都关于对称，故交点也关于对称，每对交点的横坐标之和为2

故在区间上所有7个交点的横坐标之和为

故选：C

【点睛】

本题考查了函数性质综合，考查了函数的对称性，图像变换，函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.

11．已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，设每一行的和为，可得，继而可求解，表示，裂项相消即可求解.

【详解】

由题意，设每一行的和为

故

因此：

故

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

12．已知双曲线的左，右焦点分别为、，点在双曲线上，且，的平分线交轴于点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用双曲线的定义，及余弦定理，可求得，，借助，可得，即得解.

【详解】

不妨设在双曲线的右支，且

由余弦定理：

由双曲线方程：

代入可得：

代入可得：

故选：B

【点睛】

本题考查了双曲线的焦点三角形的面积问题，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.

二、填空题

13．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______.

【答案】

【解析】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率：，由条件概率公式即得解.

【详解】

记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，

即求条件概率：

故答案为：

【点睛】

本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.

14．已知函数在上不单调，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】函数在上不单调,转化为在有零点，即有解，研究取值范围即可.

【详解】

函数在上不单调,

即在有零点，

即

当，，故

故答案为：

【点睛】

本题考查了导数在含参函数的单调性问题中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

15．数列满足，（，），则______.

【答案】

【解析】利用项和转换，得到，故是以为首项，为公差的等差数列，可得，再借助，即得解.

【详解】

由于，

即

故是以为首项，为公差的等差数列

由于

故答案为：

【点睛】

本题考查了数列递推关系，考查了学生分析问题的能力，数学运算的能力，属于中档题.

16．已知函数，当______时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有______.（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）

①②③，④，或⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点

【答案】①    ⑥   

【解析】本题为开放题型，根据选择的条件，把绝对值打开，求导研究函数单调性，继而研究函数的极值点，零点即可.

【详解】

.

比如：当时，

由于，故在无零点，

由于，故恒成立，有唯一零点x=0,且左负右正，故f(x)有唯一的极小值.

故答案为：①，⑥（答案不唯一）

【点睛】

本题为开放题型，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.

三、解答题

17．在中，内角，，的对边分别为，，，已知.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，为的中点，且，求.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由正弦定理得，结合，化简可得解；

（Ⅱ）由题设，，两边平方，代入边长，角度可得解.

【详解】

（Ⅰ）由正弦定理得，

又由，

得，

因为，所以，

所以.

因为，

所以.

（Ⅱ）因为为的中点，所以，

所以，即，

因为，解方程，得.

【点睛】

本题考查了解三角形的综合应用，考查了学生转化划归，数学运算，综合分析的能力，属于中档题.

18．如图，三棱柱中，平面，，，，，是的中点，是的中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）是线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）连结交于，连结，,可证得四边形为平行四边形，即，即得解；

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，可证得为直线与平面所成角，可得，分别求解平面，平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.

【详解】

（Ⅰ）连结交于，连结，

∵，，∴，.

又，，

∴，因此，四边形为平行四边形，即

∵面，面，∴平面

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，如图，过作，连结

∵面，面，∴

∵，，∴面

∵面，∴面面，

∵面，，面面，面，

即为直线与平面所成角，记为，，∴，

在中，，∴，

，，，，

设平面的法向量，

，取，

平面的法向量，

因此，二面角的余弦值

【点睛】

本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算，逻辑推理能力，属于中档题.

19．为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，症状：入睡困难；症状：醒得太早；症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：

数据1：出现症状人数为8.5万，出现症状人数为9.3万，出现症状人数为6.5万，其中含症状同时出现1.8万人，症状同时出现1万人，症状同时出现2万人，症状同时出现0.5万人；

数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.

（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？

（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？

参考数据如下：

参考公式：

【答案】（Ⅰ）比例大约为20%；（Ⅱ）有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联”.

【解析】（Ⅰ）根据题设数据得到韦恩图各部分数据，再结合容斥原理，即得解；

（Ⅱ）根据数据2填写表格，利用即得解.

【详解】

（Ⅰ）设{出现症状的人}、{出现症状的人}、{出现症状的人}（表示有限集合元素个数）

根据数据1可知，，，，所以

得患失眠症总人数为20万人，比例大约为20%

（Ⅱ）根据数据2可得：

有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联”.

【点睛】

本题考查了统计和集合综合，考查了容斥原理，卡方检验等知识点，考查了学生数据处理，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.

20．已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切.

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；

（Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且，证明：直线过定点.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】（Ⅰ）根据题意，点到直线的距离与到的距离相等，由抛物线的定义可得解；

（Ⅱ）设、，用坐标表示、、，利用韦达定理，代入即得解.

【详解】

（Ⅰ）设，半径为，则，，所以点到直线的距离与到的距离相等，故点的轨迹方程为.

（Ⅱ）设，，则、

设直线：（）代入中得

，

∵、

∴

又

∴

∴直线恒过

【点睛】

本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

21．已知函数（）.

（Ⅰ）设为函数的导函数，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在上有最大值，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）在上单调递增，在上单调递减；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）对函数求导，分，两种情况分析导函数正负；

（Ⅱ）借助（Ⅰ）中单调性结论，分类讨论，当时，利用放缩，，分析即得解.

【详解】

（Ⅰ）

令，；

1°当时，，∴在上递增，无减区间

2°当时，令，

令

所以，在上单调递增，在上单调递减；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，∴在（0，+∞）上递增，∴

∴在上递增，无最大值，不合题意；

1°当时，

∴在上递减，∴，

∴在上递减，无最大值，不合题意；

2°当时，，

由（Ⅰ）可知在上单调递增，在上单调递减；

设，则；

；令

∴在上单调递减，在单调递增；

∴，即

由此，当时，，即.

所以，当时，.

取，则，且.

又因为，所以由零点存在性定理，存在，使得；

当时，，即；当时，，即；

所以，在上单调递增，在上单调递减，在上有最大值.

综上，

【点睛】

本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算，分类讨论的能力，属于较难题.

22．在直角坐标系中，参数方程为（其中为参数）的曲线经过伸缩变换：得到曲线.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设、分别为曲线和曲线上的动点，求的最小值.

【答案】（Ⅰ）曲线的普通方程为；曲线的极坐标方程为；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）消去参数即得曲线的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化公式，即得曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设，表示点到直线距离，利用辅助角公式求最小值.

【详解】

（Ⅰ）曲线的参数方程为（其中为参数），

因此，曲线的普通方程为，

曲线的极坐标方程为，

因此，曲线的直角坐标方程为.

（Ⅱ）设，则的最小值为到直线的距离为，

，

当时，

最小值为.

【点睛】

本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标互化，以及参数方程在求最值中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

23．设函数.

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）或.

【解析】（Ⅰ）将绝对值函数分段表示，分别求解即可；

（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质，转化为，求解即可.

【详解】

（Ⅰ），

当时，，解得，所以；

当时，，解得；

当时，，解得，所以，

综上所述，不等式的解集为或.

（Ⅱ）∵

（当且仅当即时取等）

∴或.

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生转化化归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.