2020届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期第三次调研考试数学（文）试题
展开哈六中2019-2020学年度上学期
高三学年第三次调研考试
文科数学 试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数，则在复平面内其共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则正数等（ ）
A．9 B．2 C．8 D．4
4．已知直线与圆相交于 两点，且线段是圆的所有弦中最长的一条弦，则实数=（ ）
A．2 B．
C．1 D．
5．如图所示，在正方体中，分别是，的中点，则直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫九百一十人筑堤，只云初日差二十六人，次日转多六人，每人日支米一升”．其大意为“官府陆续派遣910人前往修筑堤坝，第一天派出26人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多6人，修筑堤坝的每人每天分发大米1升”，在该问题中的910人全部派遣到位需要的天数为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
7．设双曲线 ，直线 过双曲线的左焦点,且与轴交点为虚轴端点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．棱长为2的正四面体的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数图像的最高点与相邻最低点的距离是，若将的图象向右平移个单位得到的图象，则函数图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
10．过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点（点在轴左侧），若，O为坐标原点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
11．等差数列{an}的前项和为，且，若存在自然数，使得，则当时，与的大小关系是( )
A． B． C． D．大小不能确定
12．已知函数有极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．直线，则直线的倾斜角为 .
14．平面向量与的夹角为，，，则 ．
15．已知数列中，，若是等差数列，则 ．
16．已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题共12分）如图四边形为菱形，为与交点，平面，
（I）证明：平面平面；
（II）若， 三棱锥的体积为，求的长.
18．（本小题共12分）已知正项数列的前项和满足
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前n项的和，求证：.
19．（本小题共12分）已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）在中，角的对边分别为，且，为边上一点，为锐角，且求的正弦值．
20．（本小题共12分）设曲线是焦点在轴上的椭圆，两个焦点分别是是，且，是曲线上的任意一点，且点到两个焦点距离之和为4.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设的左顶点为，若直线与曲线交于两点（不是左右顶点），且满足，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
21．（本小题共12分）设函数
（1）求的单调区间；
（2）若为整数，且当时， 恒成立，其中为的导函数，求的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题共10分）已知直线，
(1) 当时，求与的交点；
（2）设曲线上任一点为，恒成立，求的取值范围.
23．（本小题共10分）
（1）解不等式；
（2）设正数满足，求证：，并给出等号成立条件.
2020届高三上学期12月月考 文数答案
一、选择题
BACDC AABCB CA
二、填空题
13 14 15 16
17（2）
18（1）；（2）
19（1）（2）
20．（Ⅰ）（Ⅱ）
（Ⅰ）设点，，由题意可知
∵，∴，即，
在圆上 ∴ 代入得 的方程
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设，
联立 得
即，
∴
又
∵ ∴ 即
即
∴ ∴
解得，，且均满足即
当时，的方程为，直线恒过，与已知矛盾；
当，的方程为，直线恒过
21（1）函数f（x）=ex-ax-2的定义域是R，f′（x）=ex-a，
若a≤0，则f′（x）=ex-a≥0，所以函数f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增
若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=ex-a＜0；
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex-a＞0；
所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增
（2）由于a=1，
令，，
令，在单调递增，
且在上存在唯一零点，设此零点为，则
当时，，当时，
，
由，又，所以的最大值为2
22．（1），；（2）.
23．（1）（2）证明：由，得.
由柯西不等式，得，
所以，当且仅当，，时，等号成立.
