2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期第一次调研考试数学（文）试题（解析版）

2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期第一次调研考试数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，集合，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对于集合,,对于集合，，故.选.

2．已知是第二象限角，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用诱导公式化简，再用同角间的三角函数基本关系式转化求解即可．

【详解】

由，可得，

是第二象限角，．

故选：D．

【点睛】

本题考查三角函数化简求值，同角三角函数基本关系式以及诱导公式的应用，属于基础题．

3．已知角的终边上有一点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据三角函数的定义，求出三角函数的正切值，再利用二倍角公式，可求出结果．

【详解】

角的终边上有一点，

所以，则．

故选：D．

【点睛】

本题考查正切函数值的求法，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

4．若函数，则 （    ）

A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数

【答案】A

【解析】根据函数奇偶性的定义验证是否成立，可得函数的奇偶性；当时，判断与的大小，可得函数的单调性．

【详解】

，

函数为奇函数；

，

当 时，，则，

函数在R上是增函数．

故选：A．

【点睛】

本题考查了函数单调性与奇偶性的判断与证明，利用定义判断函数的单调性与奇偶性是基本方法，一定要熟练掌握．

5．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】观察所给式子是二次齐次式，因此可以用“1的代换“，整式除以，再进行化简．

【详解】

解：，

将，代入得，原式．

故选：A．

【点睛】

本题考查三角函数化简求值，考查计算能力，是基础题．

6．函数的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先利用二倍角公式与诱导公式化简，之后再借助辅助角得出最小值．

【详解】

由题可得，所以函数的最小值为，故选A．

【点睛】

本题考查三角二倍角公式的化简，以及三角函数的值域问题．

7．设函数，则下列结论错误的是（    ）

A．的一个周期为

B．的图象关于直线对称

C．的一个零点为

D．在上单调递减

【答案】D

【解析】由题意利用余弦函数的周期性、零点、单调性以及图象的对称性，得出结论．

【详解】

解：函数，的周期为，故A正确；

当时，，为最小值，可得的图象

关于直线对称，故B正确；

当时，，故的一个零点为，故C正确；

在上，，不单调，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查余弦函数的周期性、零点、单调性以及图象的对称性，属于基础题．

8．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】用排除B，C；用排除；可得正确答案.

【详解】

解：当时，，，

所以，故可排除B，C；

当时，，故可排除D．

故选：A．

【点睛】

本题考查了函数图象，属基础题．

9．若函数在区间上单调递减，且，，则

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案．

【详解】

由5+4x-x2＞0，可得-1＜x＜5，
函数t=5+4x-x2的增区间为（-1，2），
要使f(x)＝log0.3(5+4x−x2)在区间（a-1，a+1）上单调递减，
则 ，即0≤a≤1．
而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1，
∴b＜a＜c．
故选：A．

【点睛】

本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．

10．已知命题，命题q：，，则以下命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由函数的单调性求得的范围判断p，由配方法说明q为真命题，再由复合命题的真假判断得答案．

【详解】

解：当时，单调递增，，

故命题p为假命题；

，，，

故命题q为真命题．

为假命题；为假命题；为真命题；

为假命题．

故选：C．

【点睛】

本题考查利用函数的单调性求最值，考查复合命题的真假判断，是基础题．

11．设定义在上的函数满足任意都有，且时，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】函数f（x）满足f（t+2）=，可得f（x）是周期为4的函数．6f（2017）=6f（1），3f（2018）

=3f（2），2f（2019）=2f（3）．令g（x）=，x∈（0，4]，则g′（x）=＞0，利

用其单调性即可得出．

【详解】

函数f（x）满足f（t+2）=，可得f（t+4）==f（t），∴f（x）是周期为4的函数．

6f（2017）=6f（1），3f（2018）=3f（2），2f（2019）=2f（3）．

令g（x）=，x∈（0，4]，则g′（x）=，

∵x∈（0，4]时，，

∴g′（x）＞0，g（x）在（0，4]递增，

∴f（1）＜＜，

可得：6f（1）＜3f（2）＜2f（3），即6f（2017）＜3f（2018）＜2f（2019）．

故答案为：A

【点睛】

本题考查了函数的周期性单调性、利用导数研究函数的单调性、构造法，考查了推理能

力与计算能力，属于难题．(2)解答本题的关键有两点，其一是求出函数的周期是4，其二是构造函数g（x）=，x∈（0，4]，并求出函数的单调性.

12．已知函数（，是自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．，

【答案】B

【解析】设上存在点，使得在的图象上，

所以，即，

记，则，

则，单调递减；，单调递增，

则，，

所以的值域为，即的取值范围为，

故选B。

点睛：本题考查导数在函数中的综合应用。存在对称点的处理方法，一般式设上存在点，则其对称点落在的图象上，再利用其函数关系代入计算。含参问题采取分离参数法，有效解题。

二、填空题

13．函数 且的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则___________．

【答案】27

【解析】试题分析：利用y=loga1=0可得定点P，代入幂函数f（x）=xα即可．

解：对于函数y=loga（x﹣1）+8，令x﹣1=1，解得x=2，此时y=8，

因此函数y=loga（x﹣1）+8的图象恒过定点P（2，8）．

设幂函数f（x）=xα，∵P在幂函数f（x）的图象上，

∴8=2α，解得α=3．

∴f（x）=x3．

∴f（3）=33=27．

故答案为27．

【考点】对数函数的图象与性质．

14．函数的最小正周期为______

【答案】

【解析】首先把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．

【详解】

，

所以函数的最小正周期为．

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

15．已知，则______

【答案】

【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和角的变换的应用求出结果．

【详解】

由于，

则，所以，

．

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数关系式的恒等变换，角的关系式的变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

16．已知函数，若关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数t的取值范围为______

【答案】

【解析】求得的导数，可得单调区间和极值，作出的图象，设，关于x的方程，即为，解得m，再由图象可得t的不等式，解不等式即可得到所求范围．

【详解】

解：函数的导数为，

当时，，递增；

当时，，递减，

可得在取得极大值，

作出的图象，

设，

关于x的方程，

即为，

解得或，

当时，只有一个实根；

由题意可得有两个不等实根，

由图象可得，

解得，

故答案为：

【点睛】

本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力，属于中档题．

三、解答题

17．在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为．

求A，B两点间的距离；

求点B到直线l的距离．

【答案】(1)；(2)．

【解析】化A，B两点的极坐标为直角坐标，再由两点间的距离公式求解；

化直线的极坐标方程为直角坐标方程，再由点到直线的距离公式求解．

【详解】

由，结合，，

得，，

；

由，

得，

即．

由点到直线的距离公式可得点B到直线l的距离．

【点睛】

本题考查简单曲线的极坐标方程，考查两点间的距离公式及点到直线距离公式的应用，是基础题．

18．求的值；

已知，，，求的值．

【答案】(1)．(2)．

【解析】以切化弦、降幂、二倍角等的原则化简．

，，并判断的范围是．

【详解】

解：原式．

，

又，

，，

，则．

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系式的应用三角函数化简求值，考查计算能力，是基础题．

19．设函数．

若为函数的图象的一条对称轴，当时，求函数的最小值；

将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，已知，求的单调递减区间．

【答案】(1)．(2)．

【解析】由题意利用正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，求出当时，函数的最小值．

利用函数的图象变换规律，求出的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得的单调递减区间．

【详解】

函数，

若为函数的图象的一条对称轴，

，，

当时，，，

故当时，函数的最小值为．

将函数的图象向左平移个单位得到函数

的图象，

已知，，

，

令，

求得，

可得的单调递减区间为．

【点睛】

本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性、单调性以及定义域和值域，属于中档题．

20．已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用零点分段法化简为分段函数的形式，由此解不等式，求得不等式的解集.

（2）根据（1）的结论可知当时，，将不等式的解集包含的问题，转化为在上恒成立来解决，利用二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】

（1），当时，．

，或或，

或或，，

∴不等式的解集为；

（2）由（1）知，当时，．

∵不等式的解集包含，

在上恒成立，

即在上恒成立，

∴，，

∴的取值范围为．

【点睛】

本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.

21．设函数．

设不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；

设函数在上有零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)．(2)．

【解析】分离参数得：，利用换元法，求出函数的最大值即可得出m的取值范围；

令可得，令，得出的值域，再根据对勾函数的性质求出的值域，从而得出的范围．

【详解】

，

，即，

令，，

，，

当时取得最大值4．

．

，

令可得，

令，显然为增函数，

故在上的值域为．

由对勾函数单调性可知当时，取得最小值．

的取值范围是：．

【点睛】

本题考查了函数最值、函数零点与函数单调性的关系，函数恒成立问题与存在性问题，属于中档题．

22．已知函数．

讨论函数的极值点的个数；

若函数有两个极值点，，证明：．

【答案】(1)见解析 (2)见解析

【解析】先求出函数的导函数，通过讨论a的范围确定导函数的符号，从而得出函数的单调区间，进而判断函数极值点个数；

由可知当且仅当时有极小值和极大值，且，是方程的两个正根，则，根据函数表示出，令，通过对求导即可证明结论．

【详解】

解：函数，

，

，当时，，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，有极小值；

当时，，故，

在上单调递减，故此时无极值；

当时，，方程有两个不等的正根，．

可得，．

则当及时，

，单调递减；

当时， ；单调递增；

在处有极小值，在处有极大值．

综上所述：当时，有1个极值点；

当时，没有极值点；

当时，有2个极值点．

由可知当且仅当时有极小值点

和极大值点，且，是方程的两个正根，

则，．

；

令，

；，

在上单调递减，故，

．

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，注意分类讨论思想的运用，属于难题．