黑龙江省哈尔滨市第六中学校2020届高三第三次模拟考试数学（文）试题
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文科数学
考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；
（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
一．选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，则（ ）
2.已知向量， .若向量与垂直，则（ ）
3.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
4.双曲线的渐近线方程是（ ）
5.若实数满足，则的最小值是（ ）
6.已知等差数列满足，，则数列的前项的和等于（ ）
7.设则（ ）
8.若某位同学次数学成绩和次语文成绩的茎叶图如图，则该同学的数学成绩平均分与语文成绩的中位数分别为( )
9.已知函数，则（ ）
的最小正周期为 曲线关于对称
的最大值为 曲线关于对称
10.四棱锥的三视图如图所示，四棱锥的五个顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为（ ）
11.若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
12.设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若,且，则椭圆的离心率为（ ）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．
13.已知抛物线的方程，其准线方程为 ；
14.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 ；
15.已知各项都为正数的等比数列，若，则 ；
16.正方体的棱长为，点在棱上运动，过三点作正方体的截面，若与重合，此时截面把正方体分成体积之比为的两部分，则 ；若为棱的中点，则截面面积为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
在中，角所对应的边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
18.（本小题满分12分）
目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了止损，某地一水果店老板利用抖音直播卖货，经过一段时间对一种水果的销售情况进行统计，得到天的数据如下：
销售单价（元/） | |||||
销售量（） |
（Ⅰ）建立关于的回归直线方程；
（Ⅱ）该水果店开展促销活动，当该水果销售单价为元/时，其销售量达到，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？
（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该水果成本是元/，销售单价为何值时（销售单价不超过元/），该水果店利润的预计值最大？
参考公式：回归直线方程，其中，．
参考数据：，．
19.（本小题满分12分）
已知正边长为，点，分别是，边上的点，，如图1所示.将沿折起到的位置，使线段长为，连接，如图2所示.
（Ⅰ）求证:直线平面；
（Ⅱ）求四棱锥的体积.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的长轴长为，且其离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.
（其中为坐标原点）
21.（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）设
①当时，求函数的单调区间；
②当时，求函数的极大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求和的直角坐标方程；
（2）设点，直线交曲线于两点，求的值.
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
函数.
（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）若的最小值为，，求证：．
哈六中三模文科数学答案
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | B | D | A | A | C | C | A | C | D | B | B | A |
二、填空题
13. 14. 15.19 16.
17.（1）由正弦定理得：， ┈2分
又因为，所以，
又因为在中所以或 ┈4分
解得 ┈6分
（2）因为，，，
由余弦定理得，
即. ┈8分
又，所以. ┈10分
故的面积为. ┈12分
18.（Ⅰ）,
回归方程为 ┈4分
（Ⅱ）当时，，则，
所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的． ┈8分
（Ⅲ）设销售利润为，则
，所以时，取最大值，
所以该产品单价定为元时，公司才能获得最大利润． ┈12分
19.解：（Ⅰ）依题意得，在中，，，
由余弦定理得，即
，，即
在图2中，，，
，
又，平面，平面 ┈6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面
所以为四棱锥的高，
所以 ┈12分
20.（1）（Ⅰ）由已知得，
则的方程为； ┈4分
（Ⅱ）由已知直线斜率不为0，，所以设直线方程为：，，
由 得：
┈6分
┈8分
设，则
，又因为在上单调增，
所以当时，面积有最大值，此时. ┈12分
21.（1），切线斜率
又 切线方程为 ┈3分
（2）当时，由，
设，，即在上单调递减，又因为
所以时，，即，此时函数单调递增，
时，，即，此时函数单调递减，
所以当时，函数的单调增区间为，单调减区间为 ┈7分
②当时，，，
令，，则在单调递减，
又，，
使得，
故当，即，此时单调递增；
当，即，此时单调递减；
且
极大值
又，，所以
故极大值. ┈12分
22.(1)由已知得的直角坐标方程分别为 ┈5分
（2）将直线的参数方程代入直角方程得：，不妨设对应的参数分别为，则
恒成立，，
又因为，所以由参数的几何意义得：
┈10分
23.（1）
当时，；当时，；
当时，．所以的最小值为． ┈5分
（2）由（1）知，即，
又因为，
所以
．
当且仅当，即时，等号成立，
所以． ┈10分
