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    2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期第二次调研考试数学(文)试题(解析版)

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    2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期第二次调研考试数学(文)试题

     

     

    一、单选题

    1.集合.,则  

    A B C D

    【答案】B

    【解析】计算出集合,利用交集的定义可得出集合.

    【详解】

    由于指数函数是增函数,当时,,则

    因此,,故选:B.

    【点睛】

    本题考查集合交集运算,同时也考查了函数的定义域与值域的求解,考查计算能力,属于基础题.

    2.已知,若,则等于(  

    A B C D

    【答案】C

    【解析】转化为,并利用向量数量积的坐标运算可求出的值.

    【详解】

    ,且,解得

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查垂直向量的坐标表示,通常将向量垂直转化为两向量数量积为零,考查计算能力,属于基础题.

    3.已知函数,则   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】利用函数的解析式由内到外计算出的值.

    【详解】

    因此,,故选:D.

    【点睛】

    本题考查分段函数值的计算,对于多层函数值的计算,需充分利用函数解析式,由内到外逐层计算,考查计算能力,属于基础题.

    4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯

    A.1 B.3

    C.5 D.9

    【答案】B

    【解析】【详解】

    设塔顶的a1盏灯,

    由题意{an}是公比为2的等比数列,

    ∴S7==381

    解得a1=3

    故选:B

    5.已知,则   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】将角表示为,再利用诱导公式可得出结果.

    【详解】

    ,故选:C.

    【点睛】

    本题考查利用诱导公式求值,解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系,考查计算能力,属于中等题.

    6.如图所示,矩形的对角线相交于点的中点,若,则等于(   

    A B

    C D

    【答案】A

    【解析】利用平面向量的线性运算,将表示,可得出的值,由此可计算出的值.

    【详解】

    的中点,且的中点,所以,

    .

    因此,,故选:A.

    【点睛】

    本题考查利用基底表示向量,要充分利用平面向量的加减法法则,考查运算求解能力,属于中等题.

    7.已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象(  )

    A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度

    C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度

    【答案】A

    【解析】【详解】

    的最小正周期是,得

    因此它的图象向左平移个单位可得到的图象.故选A

    【考点】函数的图象与性质.

    【名师点睛】

    三角函数图象变换方法:

     

    8.已知函数,则不等式的解集为(  )

    A. B. C. D.

    【答案】B

    【解析】先判断函数的单调性,把转化为自变量的不等式求解.

    【详解】

    可知函数为减函数,由,可得

    整理得,解得,所以不等式的解集为

    故选B.

    【点睛】

    本题考查函数不等式,通常根据函数的单调性转化求解,一般不代入解析式.

    9.已知正项等比数列中满足,若存在两项,使得,则  

    A B C D

    【答案】A

    【解析】设等比数列的公比为,由题中条件求出公比,再利用等比数列的通项公式以及条件可求出的值.

    【详解】

    设等比数列的公比为,则

    ,即,解得

    ,即,所以,,化简得

    ,因此,,故选:A.

    【点睛】

    本题考查等比数列相关量的计算,对于等比数列的问题,通常利用首项和公比进行表示,考查计算能力,属于中等题.

    10中,,则   

    A B C D

    【答案】B

    【解析】的内角的对边分别为,利用平面向量数量积的定义和三角形的面积公式将题中等式用的等式表示,可求出的值,结合角的取值范围,可得出角的值.

    【详解】

    的内角的对边分别为

    所以,两个等式相除得

    故选:B.

    【点睛】

    本题考查平面向量数量积的定义,同时也考查了三角形的面积公式,考查计算能力,属于中等题.

    11.定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列,仍是比数列,则称保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数:

    则其中是保等比数列函数的序号为(   

    A①② B③④ C①③ D②④

    【答案】C

    【解析】设等比数列的公比为,验证是否为非零常数,由此可得出正确选项.

    【详解】

    设等比数列的公比为,则.

    对于中的函数,该函数为保等比数列函数

    对于中的函数不是非零常数,该函数不是保等比数列函数

    对于中的函数,该函数为保等比数列函数

    对于中的函数不是常数,该函数不是保等比数列函数”.故选:C.

    【点睛】

    本题考查等比数列的定义,着重考查对题中定义的理解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.

    12.锐角中,角所对的边分别为,若,则的取值范围是(   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】利用余弦定理、正弦定理边角互化思想、两角差的正弦公式,并结合条件得出,根据为锐角三角形得出角的取值范围,可得出的取值范围.

    【详解】

    ,即,化简得.

    由正弦定理边角互化思想得

    ,所以,

    是锐角三角形,且,所以

    解得,则,所以,

    因此,的取值范围是,故选:D.

    【点睛】

    本题考查余弦定理、正弦定理边角互化思想的应用,同时也考查了二倍角公式的应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.

     

     

    二、填空题

    13.设等差数列的前项和为,若,则 ______

    【答案】

    【解析】设等差数列的公差为,根据题中条件列出有关首项和公差的方程组,解出这两个量,再利用等差数列的通项公式可求出的值.

    【详解】

    设等差数列的公差为,由,可得,解得.

    因此,,故答案为:.

    【点睛】

    本题考查等差数列相关量的计算,常利用首项和公差建立方程组,利用方程思想求解,考查计算能力,属于中等题.

    14.已知函数的部分图象如图所示,则____________.

    【答案】       

    【解析】根据图象得出函数的最小正周期,利用公式求出的值,再将点代入函数的解析式,结合的取值范围,可求出的值.

    【详解】

    由图象可知,函数的最小正周期满足,得

    ,将点代入函数的解析式,

    ,则

    ,故答案为:.

    【点睛】

    本题考查利用图象求函数的解析式,基本步骤如下:

    1)求

    2)求:根据图象得出最小正周期,可得出

    3)求初相:将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出的值.

    15.己知两个非零单位向量的夹角为.

    不存在,使

    方向上的投影为.

    则上述结论正确的序号是________(请将所有正确结论都填在横线上)

    【答案】①②③

    【解析】根据平面向量的定义、平面向量数量积的运算律、垂直向量的等价条件以及向量投影的定义来判断各命题的正误.

    【详解】

    对于命题,命题正确;

    对于命题,同理可得,则,命题正确;

    对于命题

    ,命题正确;

    对于命题方向上的投影为,命题错误.

    因此,正确命题的序号为①②③,故答案为:①②③.

    【点睛】

    本题考查平面向量数量积的定义以及运算律,同时也考查了平面向量垂直的等价条件和投影的定义,解题时应充分从这些定义和等价条件出发来加以理解,考查推理能力,属于中等题.

    16.设函数 (为自然对数的底数),直线是曲线的切线,则的最小值为______.

    【答案】

    【解析】设切点坐标为,利用导数求出曲线的切线方程,可将表示,构造函数,利用导数可求出函数的最小值,即为的最小值.

    【详解】

    设切点坐标为,设曲线处的切线方程为

    所以,曲线处的切线方程为

    ,则

    构造函数,则,令,得.

    时,;当时,.

    所以,函数处取得极小值,亦即最小值,即.

    因此,的最小值为,故答案为:.

    【点睛】

    本题考查利用导数求函数的切线方程,同时也考查了利用导数求函数的最值,解题的关键就是建立函数关系式,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.

     

    三、解答题

    17.已知函数.

    1)求函数的单调减区间;

    2)求上的最小值.

    【答案】1)单调减区间是;(2.

    【解析】1)利用两角和的正弦公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数的解析式化简为,然后解不等式,即可得出函数的单调递减区间;

    2)由计算出,然后利用正弦函数的性质可求出函数上的最小值.

    【详解】

    1

    解不等式,得

    因此,函数的单调递减区间为

    2,当时,

    因此,当时,该函数取得最小值,且最小值为.

    【点睛】

    本题考查正弦型函数单调区间以及最值的求解,对于这类问题的求解,通常要利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简,结合正弦函数的基本性质求解,考查运算求解能力,属于中等题.

    18.等比数列的公比,且的等差中项.

    1)求的通项公式;

    2)设,求数列的前项和.

    【答案】1;(2.

    【解析】1)根据题中条件得出,求出的值,然后利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式;

    2)求出数列的通项公式,然后利用错位相减法求出数列的前项和.

    【详解】

    1)由题意可得,即,解得.

    因此,数列的通项公式为

    2

    上式下式得

    因此,.

    【点睛】

    本题考查等比数列通项公式的求解,同时也考查了错位相减法,解题时要熟悉错位相减法对数列通项结构的要求,考查计算能力,属于中等题.

    19.在中,角所对的边分别为,且.

    1)求角的大小;

    2)若,求的最大值.

    【答案】1;(2.

    【解析】1)利用共线向量的坐标表示结合两角和的余弦公式求出的值,再由角的取值范围可求出角的值;

    2)利用正弦定理得出,于是得出,利用两角和的正弦公式以及辅助角公式将其转化为角的三角函数,可求出的最大值.

    【详解】

    1,且

    ,即

    ,化简得

    ,则,得.

    2)由正弦定理得,则

    所以,为锐角,且

    ,则

    时,取得最大值.

    【点睛】

    本题考查共线向量的坐标表示、三角形化简与求值以及三角形中的最值问题,在求解三角形中的最值与取值范围问题时,一般利用正弦定理将代数式转化为以某角为自变量的三角函数,借助三角函数恒等变换思想求解,考查计算能力,属于中等题.

    20.已知数列中,,且.

    1)求数列的通项公式;

    2)设,求数列的前项和.

    【答案】1;(2.

    【解析】1)对等式变形后因式分解,可得出数列是等差数列,求出该数列的公差,再利用等差数列的通项公式可求出

    2)将数列的通项公式裂项为,然后利用裂项求和法求出数列的前项和.

    【详解】

    1)当时,由,即

    化简得,对任意的

    ,即

    所以,数列是以为首项,以为公差的等差数列,因此,

    2

    .

    【点睛】

    本题考查等差数列通项的求解,同时也考查了裂项求和法,要熟悉几种常见的求和法对数列通项的要求,考查计算能力,属于中等题.

    21.已知函数为自然对数的底数).

    1)若上单调递増,求实数的取值范围;

    2)若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.

    【答案】1;(2.

    【解析】1)求出函数的导数,解不等式得出,由题意得出,列出不等式组求出实数的取值范围;

    2)由可得对任意的恒成立,然后构造函数,将问题转化为,然后对实数的取值进行分类讨论,确定函数在区间上的最小值,解出不等式可得出实数的取值范围.

    【详解】

    1

    .

    解不等式,得.

    由于函数在区间上单调递增,则

    所以,解得,因此,实数的取值范围是

    2)不等式对任意的恒成立,可得对任意的恒成立,构造函数,其中,则.

    ,构造函数,则

    时,,则函数在区间上单调递增,

    .

    时,即当时,对任意的

    此时,函数在区间上单调递增,

    解得,此时,

    时,即当时,则存在,使得

    此时,.

    时,;当时,.

    所以,函数处取得极小值,亦即最小值,

    ,得,又,所以,,解得

    此时.

    构造函数,其中,此时,函数单调递减,

    所以,,即.

    综上所述,实数的取值范围是.

    【点睛】

    本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围,以及利用导数研究函数不等式恒成立问题,解题时要弄清函数单调性与导数符号之间的关系,同时注意将函数不等式恒成立问题转化为函数最值来求解,考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用,属于难题.

    22.在直角坐标系中,曲线为参数),直线为参数).

    1)判断直线与曲线的位置关系:   

    2)点是曲线上的一个动点,求到直线的距离的最大值.

    【答案】1)相离;(2.

    【解析】1)根据曲线的参数方程得知曲线是以点为圆心,以为半径长的圆,并将直线的方程化为普通方程,计算出圆心到直线的距离,将与圆的半径进行大小比较,可得出直线与曲线的位置关系;

    2)由(1)可知,到直线的距离的最大值为和圆的半径之和,从而得出结果.

    【详解】

    1)将直线的参数方程化为普通方程得

    由题意知,曲线是以点为圆心,以为半径长的圆,

    则圆心到直线的距离为,因此,直线与曲线相离;

    2)由于直线与圆相离,则圆上任意一点到直线距离的最大值为.

    【点睛】

    本题考查直线与圆的位置关系的判断,同时也考查了圆上一点到直线距离的最值,在解决直线与圆的综合问题时,通常计算出圆心到直线的距离,利用几何法求解,考查运算求解能力,属于中等题.

    23.已知.

    1)求不等式的解集;

    2)若恒成立,求的取值范围.

    【答案】12

    【解析】1)利用分类讨论法解不等式得解集;(2)先求出

    ,再解不等式得解.

    【详解】

    解:(1)不等式可化为

    时,,所以无解;

    时,,所以

    时,,所以.

    综上,不等式的解集是.

    2

    恒成立,则

    解得:.

    【点睛】

    本题主要考查分类讨论法解不等式,考查绝对值三角不等式和不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.

     

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