2020届吉林省吉林市高三上学期第一次调研考试数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据集合交集的定义，即可求出答案.
【详解】
因为，.
所以
故选:B.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于基础题.要解本类题型需掌握集合的交集、并集、补集运算及其性质.
2．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角函数的最小正周期，即可求解。
【详解】
，
故选：B
【点睛】
本题考查求三角函数的周期，属于基础题。
3．已知D是△ABC边AB上的中点，则向量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】利用向量的线性运算，用基底表示向量.
【详解】
因为D是△ABC边AB上的中点，所以.故选A.
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，利用基向量表示向量时，注意把目标向量向基向量靠拢.
4．已知奇函数当时，，则当时，的表达式是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设x<0，则−x>0，又当x>0时,f(x)=x(1−x)，故f(−x)=−x(1+x)，
又函数为奇函数，故f(−x)=−f(x)=−x(x+1)，即f(x)=x(x+1)，
本题选择C选项.
5．已知正项等比数列满足，与的等差中项为，则的值为( )
A．4 B．2 C．3 D．8
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，计算即可得到所求首项．
【详解】
正项等比数列公比设为，满足，与的等差中项为，
可得，，即，
可得，
解得（舍去），，
则，
故选：．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本道题化简式子,计算出,结合,即可.
【详解】
,得到,所以
,故选C.
【点睛】
本道题考查了二倍角公式,难度较小.
7．已知向量，的夹角为60°，，，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【解析】根据展开计算即可得出答案.
【详解】
故选：A.
【点睛】
本题考查两向量差的模长的计算，属于基础题,解本类题型需熟练掌握两向量差的模长计算公式：.
8．将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析：根据平移变换可得，根据放缩变换可得函数的解析式，结合对称轴方程求解即可.
详解：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，得到，
再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，
即，
由，
得，
当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A.
点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.
9．若函数（且）在R上为减函数，则函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据函数（且）在R上为减函数知道.即在上单调递减.根据函数的奇偶性即可选出答案.
【详解】
因为函数（且）在R上为减函数.
所以 .
因为函数，定义域为，故排除A、B.
当时，函数在上单调递减.
当时, 函数在单调递增.
故选:D.
【点睛】
本题考查根据函数表达式选函数图像，属于基础题.解本题的关键在于根据函数（且）在R上为减函数，判断出，即.在上单调递减.
10．在中，，，，D、E分别为AB、BC中点，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．6
【答案】C
【解析】根据题意知,将用表示出来，再运算即可得出答案.
【详解】
因为D、E分别为AB、BC中点.
所以,,
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用.属于基础题.解本题的关键在于根据题意得到，利用平面向量基本定理将用表示出来.
11．等比数列的前项和为，若，,则（ ）
A．510 B．255 C．127 D．6540
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可得，由可得公比，，再由等比数列的求和公式即可求出
【详解】
由等比数列的性质可得，解得，
又，
，
，
即，
又，所以
由等比数列的求和公式
故选：B
【点睛】
本题考查等比数列的求和公式和性质，属于基础题.
12．设函数的定义城为D，若满足条件：存在，使在上的值城为（且），则称为“k倍函数”，给出下列结论：①是“1倍函数”；②是“2倍函数”：③是“3倍函数”．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】①根据在， 单调递减,可在区间上找，也可在区间上找使成立的 的值.
②因为,所以，又在上单调递增，即在区间上找使成立的 的值.
③在上单调递增，即找使成立的 的值.等价于有两根，可证明有两个零点.
【详解】
①是“1倍函数”:即存在，使在上的值城为.
若，在上单调递减,即 .
令,在上的值域为.
即是“1倍函数”；
②是“2倍函数”: 即存在，使在上的值城为.
因为,所以.
又因为在上单调递增,即.
即在上的值域为，即是“2倍函数”.
③是“3倍函数”: 即存在，使在上的值城为.
因为在上单调递增,所以 等价于有两根.
记，现证有两个零点.
，令解得.
即函数在单调递减，在上单调递增.
，即有两个零点.
即有两根.
即存在，使在上的值城为.
即是“3倍函数”.
综上所述：①②③均正确.
故选:D.
【点睛】
本题考查函数的新定义.属于中档题.解本题的关键在于读懂“k倍函数”的定义:只需在定义域内找到区间使的值城为.再根据函数的定义域与值域建立等式，说明存在性.
二、填空题
13．已知函数，则________.
【答案】1
【解析】根据解析式，先求，再求 即可。
【详解】
，
，
，
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查函数的表示方法，分段函数求值，属于基础题。
14．已知，，且，则向量的坐标是______．
【答案】，
【解析】根据且，可设，再利用，解出的值即可得出答案.
【详解】
因为，
所以设
又因为.
所以或.
故答案为：，.
【点睛】
本题考查根据向量平行与模长求向量的坐标表示,属于基础题.根据向量平行设出向量，可以简化计算.
15．我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺.
【答案】1.5
【解析】由题意设此等差数列的公差为，则求出首项即可得到答案。
【详解】
设此等差数列的公差为，
由题意即解得
所以夏至的日影子长为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质以及求和公式，解题的关键把文字叙述转化为数学等式，属于基础题。
16．已知函数（，）的部分图象如图所示，则______．
【答案】
【解析】根据图像求出、，再计算出、、、、、的值，再由周期性得出答案.
【详解】
由图知：,即.
所以，又.
即.
即.
所以，，，， ，.
所以.
又函数周期为6.
所以 .
故答案为：.
【点睛】
本题考查根据三角函数的图像求三角函数的解析式与三角函数的周期性的应用，属于中档题.解本题的关键在于正确求出三角函数的解析.
三、解答题
17．是底部不可到达的建筑物，是建筑物的最高点，为测量建筑物的高度，先把高度为1米的测角仪放置在位置，测得仰角为45°，再把测角仪放置在位置，测得仰角为75°，已知米，在同一水平线上，求建筑物的高度。
【答案】（）米
【解析】在中，利用正弦定理求出，在求出即可求出.
【详解】
中，，
（米）
因为
所以（米）
所以建筑物的高度为（）米
【点睛】
本题考查正弦定理在生活中的应用，把生活中的问题转化到三角形中进行求解，属于基础题。
18．已知数列为等差数列，公差，前n项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前n项和为，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据，且，，成等比数列．列出方程，即可解出，即可得出答案.
（2）由（1）知，代入，再利用裂项相消求出，即可说明.
【详解】
（1）由题意得：，，
整理得，因为，所以，
所以，．
（2），，
，
即．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，前项和公式，裂项相消法求数列的前项和.属于基础题.常见的裂项相消: .
19．在中角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求角B的值；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用正弦定理将中的边化为角，再化简即可得出答案.
（2）利用角B的余弦公式可求出，再由求出答案.
【详解】
（1）由正弦定理可得，，
，
，
，，，．
（2），，，
，．
．
【点睛】
本题考查利用正余定理解三角形，属于基础题.解三角形一般情况看所给形式是否为余弦公式，若不是则用正弦定理将边的关系化为角的关系，或者将角的关系化为边的关系，再化简得出答案.
20．设函数的正零点从小到大依次为……，，……，构成数列.
（1）写出数列的通项公式，并求出数列的前项和；
（2）设，求的值.
【答案】（1），；（2）见解析
【解析】（1）由函数的正零点，令即可求出，再有等差数列求和公式即可求出
（2）首先求出，再讨论的奇偶即可求解。
【详解】
（1）
（2）
当时，
当时，
【点睛】
本题主要考查数列的通项公式、等差数列的求和公式以及求三角函数值，属于综合性题目。
21．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求函数的最大值与最小值。
【答案】（1）增区间是和；递减区间是 ；（2）最大值是77，最小值是
【解析】（1）求函数的导数，求单调递增区间，求单调递减区间。
（2）根据函数的单调性即可求出最值。
【详解】
（1）
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以的递增区间是和；递减区间是
（2）由（1）知，在上单调递增，在区间上单调递减
所以的极大值为极小值为-
又因为 ，所以的最大值是77，最小值是
【点睛】
本题考查了函数的导数求单调区间和最值，属于基础题。
22．已知函数，．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求实数a的最大值．
【答案】（1） ；（2）．
【解析】（1）因为，所以，求出，利用点斜式，即可写出答案.
（2）讨论的取值,参变分离，找到在上的最小值，即为a的最大值.
【详解】
（1），，
，，
所以切线方程为，即 ；
（2），，
当时，，不等式恒成立，；
当时，，所以，
设，，
时，，为减函数，
时，，为增函数，
所以，，
综上：，所以的最大值是．
【点睛】
本题考查函数上某点的切线方程,含参不等式恒成立问题.属于中档题.求曲线上某点的切线方程的一般思路是：求出切点与切线的斜率，利用点斜式写出直线.含参不等式恒成立问题一般都可以参变分离,将解不等式等价转换为求函数的最值.
