2020届吉林省吉林市高三第三次调研测试（4月） 数学（文）试题（解析版）

2020届吉林省吉林市高三第三次调研测试（4月） 数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由集合交集的运算，可得解

【详解】

由题意，集合，

由交集的定义，

故选：B

【点睛】

本题考查了集合的交集运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.

2．已知复数满足，则=（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由复数的除法运算，可得解

【详解】

由题意，

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的除法运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题

3．已知向量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由向量垂直的坐标表示，列出等式，即得解

【详解】

由题意，向量，

若，则

故选：A

【点睛】

本题考查了向量垂直的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.

4．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由双曲线的方程，可判断双曲线的焦点在x轴上，可得，再结合，可得解

【详解】

由题意，双曲线的焦点在x轴上，

故渐近线方程为： ，故

又

故

故选：B

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线方程和离心率，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.

5．已知为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是（    ）

A．∥ B．∥

C．∥∥ D．

【答案】D

【解析】根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.

【详解】

对于A，当，，时，则平面与平面可能相交，，，故不能作为的充分条件，故A错误；

对于B，当，，时，则，故不能作为的充分条件，故B错误；

对于C，当，，时，则平面与平面相交，，，故不能作为的充分条件，故C错误；

对于D，当，，，则一定能得到，故D正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.

6．设等差数列的前项和为，若，则 （    ）

A．4 B．6 C．10 D．12

【答案】C

【解析】由题意，，，所以，故选C．

点睛：解决等差数列的通项与前项和问题，基本方法是基本量法，即用首项和公差表示出已知并求出，然后写出通项公式与前项和公式，另一种方法就是应用等差数列的性质解题，可以减少计算量，增加正确率，节约时间，这是高考中尤其重要有用，象本题应用了以下性质：数列是等差数列，（1）正整数，，时也成立；（2）；（3）等差数列中抽取一些项，如仍是等差数列．

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.

【详解】

由题意，该几何体如图所示：

该几何体的体积.

故选：A.

【点睛】

本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．

8．已知函数的一条对称轴为，则函数的对称轴不可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意的周期为，由余弦型函数的性质，每隔半个周期有一个对称轴，分析即得解.

【详解】

由题意的周期为

由余弦型函数的性质，每隔半个周期有一个对称轴，

故的对称轴为：

当时，分别为A，B，C选项，不存在使得

故选：D

【点睛】

本题考查了余弦型函数的周期和对称轴，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.

9．已知数列为等比数列，若，且，则（    ）

A． B．或 C． D．

【答案】A

【解析】根据等比数列的性质可得，通分化简即可.

【详解】

由题意，数列为等比数列，则，

又，即，

所以，，

.

故选：A.

【点睛】

本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.

10．已知，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用函数与函数互为反函数，可得，再利用对数运算性质比较a,c进而可得结论.

【详解】

依题意，函数与函数关于直线对称，则，

即，又，

所以，.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.

11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小正三角形组成的一个大正三角形，设，若在大正三角形中随机取一点，则此点取自小正三角形的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设，由余弦定理，可知： ，分别计算，由面积测度的几何概型，即得解

【详解】

设，因为由三个全等的三角形与中间的等边三角形构成

所以

由余弦定理，可知：

代入可得：

由三角形的面积公式：

同理

所以由面积测度的几何概型可得：

在大正三角形中随机取一点，则此点取自小正三角形的概率

故选：D

【点睛】

本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生数形结合，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.

12．设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题设条件及椭圆的定义，可得，进而可得为等腰三角形，计算，由重心和中点的定义，，即得解

【详解】

由于点P为椭圆上一点，

又

故为等腰三角形，以为底的高为：

故

故选：C

【点睛】

本题考查了椭圆的定义和性质，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.

二、填空题

13．若点在角的终边上，且（点为坐标原点），则点的坐标为_______ .

【答案】

【解析】由任意角三角函数定义，即得解

【详解】

设点P的坐标为

由三角函数定义，

故点的坐标为

故答案为：

【点睛】

本题考查了任意角三角函数的定义，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.

14．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则__________ .

【答案】100；

【解析】由于线性回归直线方程过样本中心点，代入可得，再由，即得解

【详解】

由于线性回归直线方程过样本中心点，设样本中心点为

由题意，故

代入计算可得：

故

故答案为：100

【点睛】

本题考查了线性回归直线方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算能力，属于基础题.

15．已知两圆相交于两点,，若两圆圆心都在直线上，则的值是________________ .

【答案】

【解析】根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得与直线垂直，且的中点在这条直线上，列出方程解得即可得到结论.

【详解】

由,，设的中点为，

根据题意，可得,且，

解得，,，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂直平分相交弦，属于基础题.

16．已知函数，若实数满足，，则的取值范围为___________ .

【答案】

【解析】画出的图像如图所示，可知为R上的单调递增函数，又，可得，故 ，结合，可得，有，构造，利用导数研究单调性，可得，即得解

【详解】

画出的图像如图所示，可知为R上的单调递增函数，

由于，不妨设，可知

故

不妨设

故在单调递减，在单调递增，

故

可得的最小值为

故答案为：

【点睛】

本题考查了导数在函数性质探究中的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算能力，属于较难题.

三、解答题

17．在中，角的对边分别为，且的面积为.

（1）求角的大小；

（2）若求．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）结合余弦定理和面积公式，可得即得解；

（2）由正弦定理，可得，结合即得解

【详解】

解：(1)由已知得=

，

(2)由正弦定理得即

.

【点睛】

本题考查了正弦定理、余弦定理和面积公式的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.

18．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表：

（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；

（2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，求至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率.

（下面的临界值表供参考）

（参考公式 其中）

【答案】（1）见解析，有（2）

【解析】（1）利用题中数据补全列联表，利用公式代入数据，结合临界值判断，即得解；

（2）依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生人，计算所有基本事件数和满足条件的基本事件个数，由古典概型的计算公式，即得解

【详解】

解：（1）

有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”

（2）依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生人，设为，，，线上学习时间不足

5小时的学生2人，设为， 

所有基本事件有：

，，，，，，，，，

共10种

至少1人每周线上学习时间不足5小时包括：，，，，，，共7种

故至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率为（或0.7）

【点睛】

本题考查了统计和概率综合，考查了列联表的计算和应用和古典概型的概率计算，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算能力，属于中档题.

19．如图所示，在四棱锥中，∥，，点分别为的中点.

（1）证明：∥面；

（2）若，且，面面，求与底面所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）先证明≌，可证明，即得证；

（2）先证明面，可得即为与底面所成角，在中，由余弦定理可计算，又，即得解.

【详解】

（1）证明：连接交于，连接.

≌ 

面面

面 

（2）取中点，连，，.由，.

又面面，

面，即为与底面所成角

设，则，.又由，

在中，由余弦定理得

即与底面所成角的正弦值为

【点睛】

本题考查了空间向量和立体几何综合，考查了线面平行的证明和定义法求线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数形运算能力，属于中档题.

20．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于、两点，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）求过点且与抛物线的准线相切的圆的方程.

【答案】（1）（2）或

【解析】（1）设直线的方程为与抛物线联立，结合，利用韦达定理可求解p，即得解；

（2）利用韦达定理，可得的中点为，可求解AB的垂直平分线的方程，圆心为，利用圆半径、弦长、弦心距的勾股关系，可求解a，可得圆方程.

【详解】

解：（1）由题意设直线的方程为，令、，

联立得

根据抛物线的定义得

又，

故所求抛物线方程为

（2）由（1）知，

的中点为，的垂直平分线方程为即

设过点的圆的圆心为，

该圆与的准线相切，

半径 

圆心到直线的距离为

，解得或 

圆心的坐标为，半径为，或圆心的坐标为，半径为

圆的方程为或

【点睛】

本题考查了直线与抛物线综合，考查了弦长，直线和圆的位置关系等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题.

21．已知函数

（1）若，试讨论的单调性；

（2）若对，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）的单调增、减区间分别为、（2）

【解析】（1）求导，分，讨论导函数的正负，得到函数单调性即可；

（2）转化为，求导分析函数的单调性，分，讨论函数最大值，即可得解

【详解】

解：（1）依题意，当时，

①当时，恒成立，此时在定义域上单调递增；

②当时，若，；若，

故此时的单调增、减区间分别为、

(2)由，又，

故在处取得极大值，从而，即

进而得

当时，若，则；若，则.所以

故符合题意

当时，依题意，有即，故此时

综上所求实数的范围为

【点睛】

本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设为曲线上位于第一，二象限的两个动点，且，射线交曲线分别于，求面积的最小值，并求此时四边形的面积.

【答案】（1）；（2）面积的最小值为；四边形的面积为

【解析】（1）将曲线消去参数即可得到的普通方程，将，代入曲线的极坐标方程即可；

（2）由（1）得曲线的极坐标方程，设，，，

利用方程可得，再利用基本不等式得，即可得，根据题意知，进而可得四边形的面积.

【详解】

（1）由曲线的参数方程为（为参数）消去参数得

曲线的极坐标方程为，即，

所以，曲线的直角坐标方程.

（2）依题意得的极坐标方程为

设，，，

则，，故

，当且仅当（即）时取“=”，

故，即面积的最小值为.

此时，

故所求四边形的面积为.

【点睛】

本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

23．已知均为正实数，函数的最小值为.证明：

（1）；

（2）.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值，再运用柯西不等式，即可得到最小值.

（2）利用基本不等式即可得到结论，注意等号成立的条件.

【详解】

（1）由题意，则函数

，

又函数的最小值为，即，

由柯西不等式得，

当且仅当时取“=”.

故.

（2）由题意，利用基本不等式可得，，，

（以上三式当且仅当时同时取“=”）

由（1）知，，

所以，将以上三式相加得

即.

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题.