2020届吉林省吉林市高三第二次调研测试数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年吉林省吉林市普通中学度高三第二次调研测试数学（文）试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】先求出集合，再利用交集的运算即可求出．

【详解】

因为，，所以．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．

2．是虚数单位，则(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据复数的运算，利用复数的除法，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，复数，故选A.

【点睛】

本题主要考查了复数的化简、运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

3．如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（    ）

A．数据中可能有异常值 B．这组数据是近似对称的

C．数据中可能有极端大的值 D．数据中众数可能和中位数相同

【答案】B

【解析】根据中位数、平均数、众数的定义说明．

【详解】

中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相关很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B错误．

故选：B．

【点睛】

本题考查样本数据特征，掌握它们的概念是解题基础．

4．“”的一个充分条件是（    ）

A．或 B．且 C．且  D．或

【答案】C

【解析】对于或，不能保证成立，故不对；对于或，不能保证成立，故不对；对于且，由同向不等式相加的性质知，可以推出，故正确；对于或，不能保证成立，故不对，故选C.

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，求得，再由，即可求出．

【详解】

由，求得，

而，

所以．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查已知正切值，齐次式求值问题的解法以及二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．

6．已知实数，满足线性约束条件，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可.

【详解】

绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，

联立直线方程：，可得点的坐标为：，

据此可知目标函数的最小值为：.

故选B.

【点睛】

本题考查了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题.

7．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，，，，下列函数模型中拟合较好的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线．

【详解】

如图，作出A，B，C，D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D是正确选项，

故选：D．

【点睛】

本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．

8．函数的最小值是（    ）

A． B．1 C．0 D．不存在

【答案】A

【解析】先求出函数的定义域和导数，判断出单调性，即可求出最小值．

【详解】

函数的定义域为，，

所以函数在上递减，在上递增，故．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数的最值，属于基础题．

9．我国宋代数学家秦九韶（1202－1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即.若的面积，，，则等于（    ）

A．5 B．9 C．或3 D．5或9

【答案】C

【解析】把已知数据代入面积公式解方程即得．

【详解】

由题意得，，

整理得，或5，即或3．

故选：C．

【点睛】

本题寓数学知识于数学文化之中，解题时只要把已知代入面积公式解方程即可得．

10．如图，正方体中，，，，分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是（    ）

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线

【答案】C

【解析】根据线面平行的判定定理判断．

【详解】

首先四个选项的直线都不在平面内，由中点及正方体的性质知，，，∴直线，，都与平面平行，剩下的只有不与平面平行．实际上过作 的平行线，这条平行线在平面内且与相交（它们都在平面内）．

故选：C．

【点睛】

本题考查线面平行的判定，解题根据是线面平行的判定定理．

11．已知双曲线：（，）的焦距为.点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】由点到直线距离公式建立的等式，变形后可求得离心率．

【详解】

由题意，一条渐近线方程为，即，∴，

，即，，．

故选：A．

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．

12．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先与1比较，得一最大的，剩下的两个与比较．

【详解】

首先，最大，

其次，，∴，∴．

故选：B．

【点睛】

本题考查比较幂和对数的大小，对不同底的对数或幂一般借助于中间值比较，如0，1，2等等．本题中是与比较的．

二、填空题

13．直线（，）过圆：的圆心，则的最小值是______.

【答案】2

【解析】根据直线过圆心可得，，再根据基本不等式即可求出的值．

【详解】

即为，所以圆心为．

由题意可得，，即，

所以．

当且仅当时取等号．

故答案为：2．

【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最小值，涉及圆的标准方程的应用以及点与直线的位置关系的应用，属于基础题．

14．若椭圆：与圆：和圆：均有且只有两个公共点，则椭圆的标准方程是______.

【答案】

【解析】根据圆和椭圆的对称性可知，圆与椭圆交于长轴的两端点，圆与椭圆交于短轴的两端点，即可求出的值，进而求出椭圆的标准方程．

【详解】

根据圆和椭圆的对称性可知，圆与椭圆交于长轴的两端点，圆与椭圆交于短轴的两端点，所以，故椭圆的标准方程是．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查圆与椭圆的对称性的应用，以及椭圆标准方程的求法，属于基础题．

15．如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则______.

【答案】

【解析】根据 为直角三角形，利用勾股定理可求出，以及．

以为基底，表示出，由数量积的运算即可求出的值．

【详解】

因为，所以，．

而点，分别为的中点，所以为的重心，

即有．

　　　　．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查数量积的运算和三角形重心性质的应用，解题关键是选择合适的基底，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．

16．在三棱锥中，，，两两垂直，且，.若以为球心，为半径做一个球，当球面与所在平面相切时，______.

【答案】

【解析】当球面与所在平面相切时，点到面的距离为球的半径，根据等积法，即可求出．

【详解】

依题意可知，点到面的距离为球的半径．所以

，

在中，，

．

即有．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查三棱锥的体积求法以及等积法的应用，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．

三、解答题

17．为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.

（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率；

（2）根据统计数据估计图书分类错误的概率.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据古典概型的概率公式，分别求出文学类图书总数以及正确分类的图书数，即可求出；

（2）根据古典概型的概率公式，分别求出图书分类错误的数量以及图书总数，即可求出．

【详解】

（1）由题意可知，文学类图书共有本，其中正确分类的有100本

所以文学类图书分类正确的概率．

（2）图书分类错误的共有本，因为图书共有500本，

所以图书分类错误的概率．

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率公式的应用，意在考查学生的数据处理能力，属于基础题．

18．已知数列是首项为2的等比数列，若成等差数列.

（1）求的通项公式；

（2）若数列满足，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据成等差数列，列出方程解出公比，即可求得的通项公式；

（2）因为，并项求和，，

即可求出．

【详解】

（1）∵是等比数列，且成等差数列

∴，即

∵∴

解得（舍去）或，

∴

（2）∵

∴

【点睛】

本题主要考查等差数列的定义应用，以及并项求和法求数列的和，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．

19．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，，是棱的中点.

（1）证明：；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）要证，可证平面．由平面知识可证得，又

平面可推出，即得平面，于是；

（2）根据等积法，，即可求出．

【详解】

（1）证明：∵平面∴四边形是矩形

∵为中点，且

∴∵，，

∴，∴

∵，∴与相似

∴，∴

∴

∵，∴平面，

∴平面

∵平面，∴

∴平面，∴

（2）在中，，，

所以．由（1）知平面

由于四边形是矩形，所以．

∴．

【点睛】

本题主要考查利用线面垂直的判定定理，性质定理证明线线垂直，以及利用等积法求

三棱锥的体积，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

20．已知中，角，，所对的边分别为，，，，且满足.

（1）求的面积；

（2）若，求的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由诱导公式和二倍角公式可得，从而得三角形面积；

（2）由余弦定理得，从而可把用角表示出来，由三角函数性质求得最大值．

【详解】

解：

（1）在中，，∴

∵

∴

∵，∴

∴

（2）∵

∴

∴

∴

∴当时，取最大值.

【点睛】

本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式，余弦定理．本题关键是，这样可把表示为角的函数，从而求得最值．

21．设函数（为自然对数的底数）.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）证明：.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）根据导数的几何意义，即可求解；

（2）要证，即证，亦即，利用导数判断出函数在上的单调性，即可证出．

【详解】

（1）∵

∴，

∵∴切线的方程为，

即

（2）∵

令，有

∴时，单调递减

∵

∴

∴

∴

【点睛】

本题主要考查导数几何意义的应用以及利用导数证明不等式，意在考查学生的转化能力，属于中档题．

22．如图，已知直线是抛物线的准线.过焦点的直线交抛物线于，两点，过点且与直线垂直的直线交抛物线的准线于点.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）求的最大值，并求出此时直线的方程.

【答案】（1）（2）的最大值为，直线的方程为

【解析】（1）根据是抛物线的准线，可求出，即得抛物线的标准方程；

（2）设出直线：，由弦长公式即可求出，

由距离公式求出，即可得到，再根据不等式的性质即可求出的最大值，以及直线的方程．

【详解】

（1）∵是抛物线的准线，∴，即

∴抛物线的标准方程为．

（2）设直线的方程为

与抛物线方程联立，化简得：

设，，则，

∴

将直线：与直线联立，得

∴，当且仅当时取“=”．

此时直线的方程为．

【点睛】

本题主要考查抛物线的性质的应用，弦长的求法，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．