2020届吉林省吉林市高三上学期第一次调研考试数学（理）试题（解析版）
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一、单选题
1．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据集合的交集运算即可求解。
【详解】
，
故选：D
【点睛】
本题考查集合的基本运算，属于基础题。
2．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角函数的最小正周期，即可求解。
【详解】
，
故选：B
【点睛】
本题考查求三角函数的周期，属于基础题。
3．已知向量，则（ ）
A．-8 B．4 C．7 D．-1
【答案】A
【解析】由向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
故选：A
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，属于基础题.
4．已知奇函数当时，，则当时，的表达式是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设x<0，则−x>0，又当x>0时,f(x)=x(1−x)，故f(−x)=−x(1+x)，
又函数为奇函数，故f(−x)=−f(x)=−x(x+1)，即f(x)=x(x+1)，
本题选择C选项.
5．若数列满足：且，则（ ）
A． B．-1 C．2 D．
【答案】B
【解析】首先由递推关系得出、、、且数列的周期为即可求出.
【详解】
由且，
则，， ，
所以数列为周期数列，周期为，
所以
故选：B
【点睛】
本题考查数列周期性的应用，属于基础题.
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本道题化简式子,计算出,结合,即可.
【详解】
,得到,所以
,故选C.
【点睛】
本道题考查了二倍角公式,难度较小.
7．将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析：根据平移变换可得，根据放缩变换可得函数的解析式，结合对称轴方程求解即可.
详解：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，得到，
再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，
即，
由，
得，
当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A.
点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.
8．已知是不共线的向量，，若三点共线，则满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据平面向量的共线定理即可求解。
【详解】
由三点共线，则、共线，
所以存在不为零的实数，使得
即 ，
又因为是不共线的向量，
所以，消解得
故选：D
【点睛】
本题考查平面向量的共线定理，需掌握共线定理的内容，属于基础题。
9．若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据且在上为减函数可得，结合，再根据对数函数的图像特征，得出结论.
【详解】
由且在上为减函数，则，令，
函数的定义域为，
，所以函数为关于对称的偶函数.
函数的图像，时是函数的图像向右平移一个单位得到的.
故选：D
【点睛】
本题考查复合函数的图像，可利用函数的性质以及函数图象的平移进行求解，属于基础题.
10．等比数列的前项和为，若，,则（ ）
A．510 B．255 C．127 D．6540
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可得，由可得公比，，再由等比数列的求和公式即可求出
【详解】
由等比数列的性质可得，解得，
又，
，
，
即，
又，所以
由等比数列的求和公式
故选：B
【点睛】
本题考查等比数列的求和公式和性质，属于基础题.
11．已知向量满足，点在内，且，设，若，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【解析】根据题意由得，建立如图所示的直角坐标系，由，不妨设
，，则，再利用正切的定义结合建立关于的等式，即可解出的值。
【详解】
由得，建立如图所示的直角坐标系，
，不妨设，，
由得
，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了平面向量的坐标表示以及平面向量的坐标运算，属于基础题。
12．设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为（且），则称为“倍函数”，若函数为“3倍函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数与方程的关系得：函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点，设，再利用导数可得求出的单调区间，只需，即可求出
【详解】
因为函数为增函数，由函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点，
设，则，
又，所以，
则当时，，
当时，，
所以函数在为减函数，在为增函数，
要使的图像与直线有两个不同的交点，
则需，即
所以，
所以
所以
所以
所以
即
又，
所以
故选：A
【点睛】
本题考查了函数的值域问题，解题时构造函数，利用转化思想，属于中档题.
二、填空题
13．已知函数，则________.
【答案】1
【解析】根据解析式，先求，再求 即可。
【详解】
，
，
，
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查函数的表示方法，分段函数求值，属于基础题。
14．已知向量与的夹角为，，则_______.
【答案】2
【解析】=，所以，填2.
15．我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺.
【答案】1.5
【解析】由题意设此等差数列的公差为，则求出首项即可得到答案。
【详解】
设此等差数列的公差为，
由题意即解得
所以夏至的日影子长为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质以及求和公式，解题的关键把文字叙述转化为数学等式，属于基础题。
16．已知函数
若，则________.
【答案】
【解析】由辅助角公式化简，再由得图像关于直线对称，利用正弦函数的性质得到，再由，得，由二倍角公式即可求解.
【详解】
设，，
所以，
又因为，所以函数的图像关于直线对称，
根据正弦函数的性质得到，
因为，，
所以，
所以
故答案为：
【点睛】
本题主要考查三角函数以及辅助角公式、二倍角公式，属于中档题.
三、解答题
17．是底部不可到达的建筑物，是建筑物的最高点，为测量建筑物的高度，先把高度为1米的测角仪放置在位置，测得仰角为45°，再把测角仪放置在位置，测得仰角为75°，已知米，在同一水平线上，求建筑物的高度。
【答案】（）米
【解析】在中，利用正弦定理求出，在求出即可求出.
【详解】
中，，
（米）
因为
所以（米）
所以建筑物的高度为（）米
【点睛】
本题考查正弦定理在生活中的应用，把生活中的问题转化到三角形中进行求解，属于基础题。
18．已知等差数列的公差,前项和为.,且成等比数列。
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为,求证：.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）根据等差的通项公式与等比中项求出，代入等差数列的通项公式即可。
利用裂项相消法求和以及放缩法即可证明。
【详解】
（1）由题意得：，
得，
因为，所以，代入（1）式求得，
所以；
（2）由（1）根据等差数列的求和公式可得，
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题。
19．在中，角，，的对边分别是，，.已知.
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，，求的面积.
【答案】（I）；（II）
【解析】（Ⅰ）由，利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式可得，结合角的范围可得结果；（Ⅱ）由余弦定理可得，求出的值，利用三角形面积公式可得结果.
【详解】
（Ⅰ）∵，
∴由正弦定理可得，
，
因为，
∴，∴.
∵，∴.
（Ⅱ）∵，∴，
∵，∴，
∴.
【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
20．设函数的正零点从小到大依次为……，，……，构成数列.
（1）写出数列的通项公式，并求出数列的前项和；
（2）设，求的值.
【答案】（1），；（2）见解析
【解析】（1）由函数的正零点，令即可求出，再有等差数列求和公式即可求出
（2）首先求出，再讨论的奇偶即可求解。
【详解】
（1）
（2）
当时，
当时，
【点睛】
本题主要考查数列的通项公式、等差数列的求和公式以及求三角函数值，属于综合性题目。
21．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求函数的最大值与最小值。
【答案】（1）增区间是和；递减区间是 ；（2）最大值是77，最小值是
【解析】（1）求函数的导数，求单调递增区间，求单调递减区间。
（2）根据函数的单调性即可求出最值。
【详解】
（1）
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以的递增区间是和；递减区间是
（2）由（1）知，在上单调递增，在区间上单调递减
所以的极大值为极小值为-
又因为 ，所以的最大值是77，最小值是
【点睛】
本题考查了函数的导数求单调区间和最值，属于基础题。
22．设函数
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求整数的最大值
【答案】（1）；（2）最大值为2
【解析】（1）把代入，求求导得出的斜率，代入点斜式方程即可求解。
（2）由，分离参数（）恒成立，设，
求导得出的的范围，又，即可得到的最大值为2。
【详解】
当时，，
所以，因为
所以切线方程为， 整理得：
（2），因为，所以（）恒成立
设，则 ---------6分
设则
所以在上单调递增，又
所以存在使得，时，；时，
所以在上单调递减，上单调递增
所以，又
所以
当时， ，所以在上单调递增
所以，即
因为，所以，所以的最大值为2.
【点睛】
本题利用导数求切线方程以及求函数的最值，综合性比较强。
