2020届陕西省汉中市高三下学期第二次模拟检测数学（文）试题（解析版）

2020届陕西省汉中市高三下学期第二次模拟检测数学（文）试题

一、单选题

1．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有 （ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【答案】A

【解析】试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．

【考点】集合的运算．

2．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】化简复数为的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.

【详解】

对应的点的坐标为在第二象限

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

3．若，则下列不等式中不成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，得到，然后逐项判断.A.根据绝对值的性质，有成立判断.B.由不等式乘法性质，有成立判断.C.由不等式乘法性质，有成立判断.D.取特殊值判断.

【详解】

因为，

所以，

所以，即，故A正确，

所以，即 ，故B正确 ，

所以，即，故C正确，

当时，，故D错误.

故选：D

【点睛】

本题主要考查不等式的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

4．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

A．08 B．07 C．02 D．01

【答案】D

【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.

【考点】此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.

5．已知函数，则下列判断错误的是（    ）

A．的最小正周期为 B．的值域为

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称

【答案】D

【解析】先将函数化为，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果.

【详解】

可得

对于A，的最小正周期为,故A正确；

对于B，由，可得，故B正确；

对于C，正弦函数对称轴可得：

解得：，

当，，故C正确；

对于D，正弦函数对称中心的横坐标为：

解得：

若图象关于点对称，则

解得：，故D错误；

故选：D.

【点睛】

本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

6．已知平面，，直线满足，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．即不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】，是相交平面，直线平面，则“” “”，反之，直线满足，则或//或平面，即可判断出结论．

【详解】

解：已知直线平面，则“” “”，

反之，直线满足，则或//或平面，

“”是“”的充分不必要条件．

故选：A.

【点睛】

本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力．

7．设 ,则(  )

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】B

【解析】根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值．

【详解】

∵f（x），

∴f（5）＝f[f（11）]

＝f（9）＝f[f（15）]

＝f（13）＝11．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题．

8．在直角中，，，，若，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在直角三角形ABC中，求得 ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．

【详解】

在直角中，，，，，
，
若，则

故选C.

【点睛】

本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．

9．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令圆的半径为1，则，故选C．

10．函数y=sin2x的图象可能是

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.

详解：令，

因为，所以为奇函数，排除选项A,B;

因为时，，所以排除选项C，选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．

11．若直线始终平分圆的圆周，则的最小值为（    ）

A． B． C．4 D．5

【答案】A

【解析】根据直线始终平分圆的圆周，则圆心在直线上，则有，再利用“1”的代换，转化为，然后利用基本不等式求解.

【详解】

圆的圆心是：，

因为直线始终平分圆的圆周，

所以圆心在直线上，

所以，即，

所以，

当且仅当，即时，取等号.

所以的最小值为：.

故选：A

【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

12．对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】【详解】

分析：先解一元二次不等式得，再根据定义求结果.

详解：因为，所以

因为，所以,

选C.

点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.

二、填空题

13．若双曲线的离心率为2，则________．

【答案】1

【解析】双曲线的离心率为2，

∴

解得a=1．

故答案为：1．

14．在中，内角的对边分别是，若，，则____.

【答案】

【解析】由，根据正弦定理“边化角”，可得，根据余弦定理，结合已知联立方程组，即可求得角.

【详解】

根据正弦定理：

可得

根据余弦定理：

由已知可得：

故可联立方程：

解得：.

由

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

15．三棱锥中，底面，，底面中，边，则三棱锥外接球的体积等于___________________．

【答案】

【解析】设为外接圆圆心，为球心，由球的性质知平面；利用正弦定理可求得外接圆半径；根据四边形为矩形，得到，利用勾股定理构造方程组即可求得外接球半径，代入球的体积公式求得结果.

【详解】

设为外接圆圆心，为三棱锥外接球球心，则平面

作，垂足为

由正弦定理可知外接圆直径：   

平面，平面   

又，   

四边形为矩形   

设，

在和中，勾股定理可得：，解得：

三棱锥外接球体积：

本题正确结果：

【点睛】

本题考查三棱锥外接球体积的求解问题，关键是能够根据球的性质，得到球心与底面外接圆圆心连线必垂直于底面，从而根据底面外接圆圆心的位置和外接圆半径确定球心的位置，并利用勾股定理构造出方程求得外接球半径.

16．已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是_____.

【答案】

【解析】,解得在上恒成立,构造函数,解得x=1, 在上单调递增,在上单调递减,g(x)的最大值为g(1)=1, ,,故填.

点睛:本题考查函数导数与单调性.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.

三、解答题

17．设等差数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求的前项和及使得最小的的值.

【答案】（1）（2）；时，取得最小值

【解析】（1）设等差数列的公差为，由，结合已知，联立方程组，即可求得答案.

（2）由（1）知，故可得，即可求得答案.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，由及，

得

解得

数列的通项公式为

（2）由（1）知

时，取得最小值.

【点睛】

本题解题关键是掌握等差数列通项公式和前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

18．如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，，，，求四棱锥的体积.

【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由已知可得，，即可证明结论；

（Ⅱ）底面，，根据已知条件求出梯形面积，即可求解.

【详解】

（Ⅰ）证明：因为底面，平面，

所以.因为，，

所以.又，

所以平面.    

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，

在中，，

，

又因为，则.

又，，

所以四边形为矩形，四边形为梯形.

因为，所以，

，

，

于是四棱锥的体积为.

【点睛】

本题考查线面垂直的证明，注意空间垂直之间的转化，考查椎体的体积，属于基础题.

19．眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图.

（1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；

（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？

附：

【答案】（1）人（2）能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系

【解析】（1）根据频率直方图可知第一组，第二组，第三组的人数，进而可知后三组的人数，再根据后三组的频数成等差数列，计算出后三组频数，得到5.0以上的频率即可.

（2）根据列联表提供的数据，利用公式，计算出，再与表对比即可.

【详解】

（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，

因为后三组的频数成等差数列，共有（人）

所以后三组频数依次为24，21，18，

所以视力在5.0以上的频率为0.18，

故全年级视力在5.0以上的人数约为人

（2），

因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.

【点睛】

本题主要考查样本估计总体频率直方图和独立性检验，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

20．如图，椭圆的长轴长为，点、、为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，过中心，且，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设、是椭圆上位于直线同侧的两个动点（异于、），且满足，试讨论直线与直线斜率之间的关系，并求证直线的斜率为定值.

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）利用题中条件先得出的值，然后利用条件，结合椭圆的对称性得到点的坐标，然后将点的坐标代入椭圆方程求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件

得到直线与的斜率直线的关系（互为相反数），然后设直线的方程为，将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，注意到直线与的斜率之间的关系得到点的坐标，最后再用斜率公式证明直线的斜率为定值.

（1），，

又是等腰三角形，所以，

把点代入椭圆方程，求得，

所以椭圆方程为；

（2）由题易得直线、斜率均存在，

又，所以，

设直线代入椭圆方程，

化简得，

其一解为，另一解为，

可求，

用代入得，，

为定值.

【考点】1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.两点间连线的斜率

21．已知函数，且其导函数的图像过原点.

（1）若存在，使得，求的最大值；

（2）当时，求函数的零点个数.

【答案】（1）（2）函数共有三个零点

【解析】（1）由，得到，根据得，从而有.将存在，使得，转化为有解，再利用基本不等式求解范围即可..

（2）当时，根据当时，，当时，，当时，，得到的极大值是，的极小值是，然后再探究，，，的正负号即可.

【详解】

（1）因为，所以

由得，所以.

因为存在，使得，

所以上有解，

而

所以，当且仅当时，取等号.

所以的最大值为.

（2）当时，令，得，

当时，，当时，，当时，，

所以的极大值，的极小值

又，，

.

所以函数在区间，，内各有一个零点，

故函数共有三个零点.

【点睛】

本题主要考查导数与函数的零点以及方程有解问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

22．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；

（2）已知点，直线与曲线交于、两点，求.

【答案】(1) .(2)

【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解；

（2）设两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系，即可求解.

【详解】

（1）对于曲线的极坐标方程为，可得，

又由，可得，即，

所以曲线的普通方程为.

由直线的参数方程为（为参数），消去参数可得，即

直线的方程为，即.

（2）设两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程（为参数）代入曲线中，可得.

化简得：，则.

所以.

【点睛】

本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

23．已知函数.

（1）当a=2时，求不等式的解集；

（2）设函数.当时，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）当时；（2）由

等价于

，解之得.

试题解析： （1）当时，.

解不等式，得.

因此，的解集为.

（2）当时，，

当时等号成立，

所以当时，等价于. ①

当时，①等价于，无解.

当时，①等价于，解得.

所以的取值范围是.

【考点】不等式选讲.