2020届陕西省西安中学高三第二次模拟数学（文）试题（解析版）

2020届陕西省西安中学高三第二次模拟数学（文）试题


一、单选题
1．复数的虚部为（　　）
A．—1 B．—3 C．1 D．2
【答案】B
【解析】对复数进行化简计算，得到答案.
【详解】

所以的虚部为
故选B项.
【点睛】
本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.
2．已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【解析】分析：先求出集合B中的元素，从而求出其子集的个数．
详解：由题意可知，
集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2}，
则B的子集个数为：23=8个，
故选D．
点睛：本题考察了集合的子集个数问题，若集合有n个元素，其子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用诱导公式化简已知的等式,求出的值,再利用二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】
因为,由诱导公式可得,，
即，由二倍角的余弦公式可得，,
所以.
故选:B
【点睛】
本题考查二倍角的余弦公式及诱导公式;熟练掌握公式是求解本题的关键;属于基础题.
4．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,利用列举法求出基本事件有9种，齐王的马获胜包含的基本事件有6种，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率.
【详解】
设齐王上等、中等、下等马分別为，田忌上等、中等、下等马分别为，
现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,
基本事件有：，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：，共 6种,
齐王的马获胜的概率为，故选C.
【点睛】
本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
5．正三角形中，是线段上的点，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先用，表示出，再计算即可.
【详解】
先用，表示出，再计算数量积．
因为，，则，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的运算，属基础题.
6．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有　　
，，，  ，
，，     ，
A．0个 B．1个 C．2个 D．3
【答案】B
【解析】分析：由线面垂直的几何特征，及线面垂直的第二判定定理，可判断A的真假；
根据面面平行的几何特征及线线位置关系的定义，可判断B的真假；
根据线面垂直及线线垂直的几何特征，及线面平行的判定方法，可判断C的真假；
根据面面平行的判定定理，可以判断D的真假．
详解：
由m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，若a，b相交，则可得α∥β，若a∥b，则α与β可能平行也可能相交，故（1）错误；
若m∥n，n⊥α根据线面垂直的第二判定定理可得m⊥α，故（2）正确；
若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故（3）错误；
若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故（4）错误；
故选：B．
点睛：本题以命题的真假判定为载体考查了空间线面关系的判定，熟练掌握空间线面位置关系的判定，性质及几何特征是解答的关键．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断；还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.
7．函数的部分图像大致为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，故排除D；当时，，故排除A．故选C．
点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
8．已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．
9．设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由倾斜角的范围，可以得到曲线在点处切线斜率的范围，利用导数的几何意义，即可得到点横坐标的取值范围。
【详解】
设点的横坐标为；
，
，则，
利用导数的几何意义得（为点处切线的倾斜角）；
又 ，
，解得：;
则点横坐标的取值范围为；
故答案选D
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线斜率，属于基础题。
10．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】联立方程解得M(3，)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.
【详解】
依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.
由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形
点M到直线NF的距离为
故选：C.
【点睛】
本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
11．函数的部分图象如图所示，如果，且，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由周期求出,由五点法作图求出的值,可得函数的解析式,再根据正弦函数图象的对称性,求得,从而可得的值.
【详解】
由函数的部分图象,
可得,
再根据五点法作图可得，
，
因为上，且，
所以,
，，故选A.
【点睛】
本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.
12．已知双曲线的左､右焦点分别为，，若双曲线上存在点P使，则离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据双曲线的性质可得,双曲线上存在点P使,可知,再由即可求解
【详解】
根据双曲线的性质可得,双曲线上存在点P使,
则渐近线的斜率,即,因为离心率，
所以,因为，
所以离心率的取值范围为，
故选:B
【点睛】
本题考查双曲线离心率的相关问题;其中由双曲线性质得到是求解本题的关键;属于中档题.


二、填空题
13．已知向量，且，则_______.
【答案】2
【解析】由题意可得解得.
【名师点睛】（1）向量平行：，,.
（2）向量垂直：.
（3）向量的运算：.
14．中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为，我们把a，b，c叫做勾股数.下列给出几组勾股数:3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是________.
【答案】
【解析】观察、找出勾股数的规律:①以上各组数均满足;②最小的数 是奇数,并且每组勾股数中最小的数依次放在一起是连续的奇数,其余的两个数是连续的正整数;③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和,即可得出结论.
【详解】
观察、先找出勾股数的规律:①以上各组数均满足;②最小的数是奇数,并且每组勾股数中最小的数依次放在一起是连续的奇数,其余的两个数是连续的正整数;③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和, 
如
由以上特点我们可知第⑤组勾股数:, 
故答案为:
【点睛】
本题考查合情推理中的归纳推理;观察、找规律是求解本题的关键;属于基础题.
15．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则________.
【答案】
【解析】由已知可得,利用正弦定理求出,再利用余弦定理即可求解.
【详解】
因为,,
所以,
在中,由正弦定理可得,,
即,解得,
在中,由余弦定理可得, ,
即,解得（舍去）,
故答案为:
【点睛】
本题考查利用正余弦定理求解三角形中的基本量;其中正余弦定理的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题.
16．如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为_______________.

【答案】
【解析】取圆柱下底面弧的另一中点，连接,直线与所成角等于异面直线与所成角,利用圆柱的轴截面是正方形,,从而可得结论.
【详解】

取圆柱下底面弧的另一中点，连接，
则因为C是圆柱下底面弧的中点，
所以，
所以直线与所成角等于异面直线与所成角.
因为是圆柱上底面弧的中点，
所以圆柱下底面，所以.
因为圆柱的轴截面是正方形，
所以，
所以直线与所成角的正切值为.
所以异面直线与所成角的正切值为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查异面直线成角问题,用异面直线成角的定义做出角,通过解三角形求得,难度容易.

三、解答题
17．已知是公差为3的等差数列，数列满足．
（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求的前n项和．
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）用等差数列通项公式求；（Ⅱ）求出通项，再利用等比数列求和公式来求.
试题解析：（Ⅰ）由已知，得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）和得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则
【考点】等差数列与等比数列
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.

18．如图,四棱锥中,底面,且底面为平行四边形,若,,.

（1）求证:;
（2）若,求点到平面的距离.
【答案】（1）答案见解析（2）.
【解析】（1） 因为,,,利用余弦定理求出,即可判断出满足勾股定理,即直角三角形且角为直角,则,结合已知底面,即可求证.
（2）利用等体积法,根据列方程,即可求得点到平面的距离.
【详解】
（1）
根据余弦定理可得:



底面,底面
,又
平面
平面

综上所述,
（2）由（1）可知

可得:






又
解得: .
【点睛】
本题考查了判定空间两条直线垂直和点到面的距离问题.本题的解题关键是将判定空间线线垂直转化为求证空间线面垂直,考查了学生空间想象能力和计算能力.属于中等题.
19．某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4

保费







随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4

频数
60
50
30
30
20
10


（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；
（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
【答案】（I）；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.1925a．
【解析】（I）求出A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求P（A）的估计值；
（Ⅱ）求出B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然后求P（B）的估计值；
（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值．
【详解】
解：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50＝110，该险种的200名续保，
P（A）的估计值为：；
（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B的人数为：30+30＝60，P（B）的估计值为：；
（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为1.1925a．
【点睛】
本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．
20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P在椭圆C上，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
【答案】（1）＋＝1（2）∪
【解析】（1）由c＝1得a2＝b2＋1，再代入P点坐标可求得a,b；
（2）设直线l的方程为y＝kx＋2，A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立消元得的一元二次方程，其判别式需大于0，由韦达定理得，条件∠AOB为锐角对应，代入后可求得的范围．
【详解】
（1）由题意得c＝1，所以a2＝b2＋1，①
又点P在椭圆C上，所以＋＝1，②
由①②可解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
（2）设直线l的方程为y＝kx＋2，A（x1，y1），B（x2，y2），由得（4k2＋3）x2＋16kx＋4＝0，
因为Δ＝16（12k2－3）＞0，所以k2＞，则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为∠AOB为锐角，所以·＞0，即x1x2＋y1y2＞0，所以x1x2＋（kx1＋2）（kx2＋2）＞0，
所以（1＋k2）x1x2＋2k（x1＋x2）＋4＞0，即（1＋k2）·＋2k·＋4＞0，
解得k2＜.又k2＞，所以＜k2＜，解得－＜k＜－或＜k＜.
所以直线l的斜率k的取值范围为∪
【点睛】
本题考查椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．求椭圆标准方程可以用待定系数法，即即代入点的坐标得的一个等式，再由c=1得一等式，联立后求得，得标准方程，本题也可根据椭圆定义求解，先求得椭圆上的点P到两焦点的距离之和为长轴长，再短轴长即得．
21．已知函数
（1）若a=1，求f（x）的极值；
（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）f（x）的极小值是f（1）=1，无极大值（2）
【解析】分析：（1）求出导数，由不等式确定增区间，由确定减区间，从而得极值；
（2）问题等价于，因此用导数研究函数的最小值，由最小值小于0可求得的范围，注意要分类讨论．
详解：（1）a=1时，f（x）=x﹣lnx，函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=1﹣=，令f′（x）＞0，解得x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）的极小值是f（1）=1，无极大值；
（2）存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，等价于[f（x）﹣g（x）]min＜0，
（x∈[1，e]）成立，设h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx+，
则h′（x）=，令h′（x）=0，解得：x=﹣1（舍），x=1+a；
①当1+a≥e，h（x）在[1，e]递减，∴h（x）min=h（e）=e2﹣ea+1+a，
令h（x）min＜0，解得：a＞；
②当1+a＜e时，h（x）在（1，a+1）递减，在（a+1，e）递增，
∴h（x）min=h（1+a）=a[1﹣ln（a+1）]+2＞2与h（x）min＜0矛盾，
综上，a＞．
点睛：本题考查导数的应用，考查转化与化归思想，命题“若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立”等价于“时，”，转化后只要研究函数的最小值即可，而这又可用导数研究．
22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的直角坐标.
【答案】（1），：（2），
【解析】由条件利用把曲线参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标与极坐标的互化公式，把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
因为曲线为直线,所以把求的最小值转化为椭圆上点到直线的距离的最小值即可;设点P的直角坐标为,利用点到直线的距离公式和辅助角公式求最值即可.
【详解】
因为曲线的参数方程为（为参数），
移项后两边平方可得，
即曲线的普通方程为；
因为曲线的极坐标方程为，
即有.
由，，可得，
即的直角坐标方程为直线；
由题意可知,设点的直角坐标为,
因为曲线为直线，点在椭圆：上,
所以求的最小值即为求椭圆上点到直线的距离的最小值,
由点到直线的距离公式可得,点到直线的距离为
,,
所以当时,点到直线的距离有最小值为，
即当时,点到直线的距离有最小值为，
所以所求的的最小值为,此时点的直角坐标为.
【点睛】
本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及点到直线的距离公式的应用;把求的最小值转化为椭圆上点到直线的距离的最小值是求解本题的关键;属于基础题、常考题型.