2020届陕西省汉中市部分学校高三下学期3月线上模拟调研测试数学（理）试题（解析版）

2020届陕西省汉中市部分学校高三下学期3月线上模拟调研测试数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分别求出两个函数的值域和定义域即可得解.

【详解】

因为，

解得

，所以.

故选：C

【点睛】

此题考查求集合的交集运算，关键在于准确求出已知函数的值域和定义域.

2．已知是的共轭复数,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．

【详解】

i，

∴a+bi＝﹣i，

∴a＝0，b＝﹣1，

∴a+b＝﹣1，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．

3．已知，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分别求出时，，的范围，再根据，，的大小得到选项.

【详解】

当时，由对应函数的单调性可知，

，

且，

，

排序得.

故选：A.

【点睛】

本题考查了利用函数单调性比较函数值的大小，属于基础题.

4．函数图象的大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由的解析式可得函数为偶函数，以及函数值的符号情况，可排除不正确的选项，从而得到答案.

【详解】

，

则，是偶函数，排除B、D.

当时，，，即，排除A.

故选:C.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性，根据函数解析式分析函数图像，属于中档题.

5．我国古代数学家对圆周率的近似值做出过杰出的贡献，魏晋时期的数学家刘徽首创用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，称为“割圆术”.在割圆术求的方法中，若使用正三十二边形，则圆周率的近似值为(    ) (附:)

A．3.13 B．3.12 C．3.064 D．3.182

【答案】B

【解析】根据圆的内接正三十二边形，每个顶点连接圆心，形成三十二个小等腰三角形，顶角为，根据面积公式求解即可.

【详解】

设正三十二边形的外接圆半径为，三十二个小等腰三角形顶角为，

，

圆的内接正多边形的面来逼近圆面积

由，得.

故选：B

【点睛】

此题以中国传统文化为背景，涉及有限与无限的思想，其本质是考查求三角形的面积，根据面积公式，结合题目给定数据求解即可.

6．已知双曲线的一个焦点为，且与双曲线的渐近线相同，则双曲线的标准方程为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解.

【详解】

∵双曲线与的渐近线相同，且焦点在轴上，

∴可设双曲线的方程为，一个焦点为，

∴，∴，故的标准方程为.

故选：B

【点睛】

此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.

7．已知抛物线:上一点到焦点的距离为4，直线过且与交于，两点，，若，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据点到焦点的距离为4，求出抛物线方程，结合求出点坐标，联立方程求解线段的比例关系.

【详解】

由题可知，得，故抛物线的方程为.

∵，∴点的坐标为，

当点的坐标为时，直线的方程为，与联立可得，解得或，

∴点的坐标为，∴，∴.

同理，当点的坐标为时，.

故选：D

【点睛】

此题考查根据几何关系求解抛物线的方程，根据直线与抛物线的交点坐标处理线段长度关系，将线段长度的比例关系转化为坐标的比例求解.

8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的值分别为.则输出的值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】执行程序框图：

输入，是

，是，;

，是，;

，是，;

，否，输出.

故选D.

9．在边长为的等边中，点满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】首先根据平面向量基本定理把分解为和，再进行向量的数量积运算即可.

【详解】

由，

得，

即，

则.

故选：C.

【点睛】

本题考查了平面向量基本定理，向量数量积的运算，属于基础题.

注意在向量分解时，往往要把向量分解到已知夹角的方向上.

10．在古装电视剧《知否》中，甲､乙两人进行一种投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同，且甲､乙投掷相互独立.比赛第一场，两人平局;第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意列出分布列，根据相互独立事件的概率计算公式计算可得.

【详解】

解：由题可知

甲要想贏得比赛，在第三场比赛中，比乙至少多得三筹.

甲得“四筹”，乙得“零筹”，甲可赢，此种情况发生的概率;

甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢，此种情况发生的概率;

甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢，此种情况发生的概率;

甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”､“四筹”､“五筹”､“六筹”，甲都可蠃，此种情况发生的概率.故甲获胜的概率.

故选：

【点睛】

本题考查相互独立事件的概率公式，属于中档题.

11．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是最小正周期为2的偶函数，且当时，，若函数有3个零点，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】把函数有3个零点，转化为有3个不同根，画出函数与的图象，转化为关于的不等式组求解．

【详解】

解：由函数的图象与函数的图象关于直线对称，得，
函数是最小正周期为2的偶函数，当时，，
函数有3个零点，即有3个不同根，
画出函数与的图象如图：

要使函数与的图象有3个交点，则
，且，即．
∴实数k的取值范围是．
故选：B．

【点睛】

本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．

12．正方体的棱长为2，E，F，G分别为，，的中点，则（    ）

A．直线与直线垂直

B．直线与平面不平行

C．平面截正方体所得的截面面积为

D．点C与点G到平面的距离相等

【答案】C

【解析】根据条件对选项进行逐一分析, A.若有，则能得到平面，进一步得到，显然不成立，可判断. B.取的中点Q，连接，,可得平面平面，从而可判断. C.连接，，延长，交于点S，由条件可得，截面即为梯形，再计算其面积. D.用等体积法分别求出点C和点G到平面的距离，从而判断.

【详解】

A.若，

又因为且，所以平面，

所以，所以，显然不成立，故结论错误；

B.如图所示，取的中点Q，连接，，

由条件可知：，，且，，

所以平面平面，

又因为平面，所以平面，故结论不正确；

C.如图所示，连接，，延长，交于点S,

因为E，F为，的中点，所以，所以A，E，F，四点共面，

所以，截面即为梯形

又因为，，

所以，所以，故结论正确；

D.记点C与点G到平面的距离分别为，，

因为.

又因为，

所以，故结论错误.

故选C.

【点睛】

本题考查线线垂直的判断、线面平行的判断和求截面积以及点到面的距离.属于中档题.

二、填空题

13．设，，，，则数列的通项公式=           ．

【答案】2n+1

【解析】由条件得，且，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则．

14．函数的定义域为_________．

【答案】

【解析】根据函数有意义满足的不等式，即可求解.

【详解】

函数有意义须，，

解得，

所以函数的定义域是.

故答案为:

【点睛】

本题考查函数的定义域，以及解对数不等式，属于基础题.

15．函数在处的切线与直线垂直，则该切线在轴上的截距为_______________.

【答案】

【解析】首先求出函数在处的切线斜率，再根据切线与直线垂直求出，求出切线方程，根据切线方程即可求出切线在轴上的截距.

【详解】

因，

由题意得，

解得，

又，

则在处的切线方程为，

令得，

则该切线在轴上的截距为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了根据函数导数求解函数在某点处的切线方程，属于基础题.

16．在三棱锥中，，，为的中点，平面，且，则三棱锥的外接球的表面积为______.

【答案】

【解析】结合立体图形，找出球心的位置建立等量关系求解方程组，即可得解.

【详解】

在中，，，

所以的外接圆的半径，

结合图形分析：

圆心到点的距离为4.另设三棱锥的外接球球心到平面的距离为，设外接球的半径为，

则中，，

直角梯形中，，

解得，，所以.

故答案为：

【点睛】

此题考查与锥体有关的解决锥体外接球的问题，关键在于熟练掌握球的几何特征，建立等量关系求解半径.

三、解答题

17．数列是首项为，公差不为的等差数列，且，，成等比数列；数列的前项和为，且，.

（1）求，；

（2）若，且数列的前项和为，证明：.

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】（1）根据，，成等比数列，求出等差数列的公差，即可求出，根据与的关系求出；

（2）利用错位相减法求出，然后再证明.

【详解】

（1）设数列的公差为，

由，，成等比数列得，

解得（舍去）或，

则，

因，，

当时，，解得，

当时，，有，

即又，

则；

（2）由（1）得，

则，

两边乘以，

得，

两式相减，

得，

，

，

整理得，

所以得证.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，等比数列的通项公式的求解，利用错位相减法求差比数列的前项和，属于中档题.

（1）在利用求时，要注意分段；

（2）等差乘等比的数列常称为差比数列，主要利用错位相减法求差比数列的前项和.

18．2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为，某位患者在隔离之前，每天有位密切接触者，其中被感染的人数为，假设每位密切接触者不再接触其他患者.

（1）求一天内被感染人数为的概率与、的关系式和的数学期望；

（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第天新增患者的数学期望记为.

（i）求数列的通项公式，并证明数列为等比数列；

（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率，当取最大值时，计算此时所对应的值和此时对应的值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取）

（结果保留整数，参考数据：）

【答案】（1）；.

（2）（i），证明见解析；（ii）16，6480，戴口罩很有必要.

【解析】（1）由题意，被感染人数服从二项分布：，则可求出概率及数学期望；

（2）（i）根据第天被感染人数为，及第天被感染人数为，

作差可得可得，，可证，（ii）利用导数计算此时所对应的值和此时对应的值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.

【详解】

（1）由题意，被感染人数服从二项分布：，

则,，

的数学期望.

（2）（i）第天被感染人数为，

第天被感染人数为，

由题目中均值的定义可知，

则，且.

是以为首项，为公比的等比数列.

（ii）令，

则.

在上单调递增，在上单调递减.

.

则当，.

.

.

戴口罩很有必要.

【点睛】

本题考查二项分布的概率及期望，数学期望与数列综合，考查综合分析及转化能力，考查知识的迁移能力，属于较难题.

19．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，为的中点，点在上，平面，在的延长线上，且.

(1)证明:平面.

(2)过点作的平行线，与直线相交于点，当点在线段上运动时，二面角能否等于?请说明理由.

【答案】(1)见解析;(2)不能，理由见解析

【解析】（1）通过证明四边形是平行四边形，得到即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角.

【详解】

解：(1)证明:记的中点为，连接，过作交于，连接，

则，且.

因为平面，所以.

在中，，，易求，.

又，则.

因为，所以.

因为，且，所以四边形是平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面.

(2)解:因为平面，所以，而是正方形，所以.

因为与显然是相交直线，所以平面，

所以平面平面.

记的中点为，则平面，且.

以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，设，，

所以，.

设平面的一个法向量为，

则，

令，得.

易知平面的一个法向量为，

设二面角的大小是，则.

因为，所以，则，

所以，

因为，所以，即二面角不可能为.

【点睛】

本题考查线面平行的证明，利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于中档题.

20．已知椭圆()的左、右焦点分别是，，点为的上顶点，点在上，，且.

（1）求的方程；

（2）已知过原点的直线与椭圆交于，两点，垂直于的直线过且与椭圆交于，两点，若，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设，由已知，求得的坐标为，代入椭圆方程，得；再由，求得，结合，求出值，即可求得结论；

（2）先讨论直线斜率不存在和斜率为0的情况，验证不满足条件，设直线的方程为，与椭圆方程联立，消元，由韦达定理和相交弦长公式，求出；

再将直线方程与椭圆联立，求出，由求出的值，进而求出，再求出点到直线的距离，即可求解.

【详解】

（1）设椭圆的焦距为，∵，

∴的坐标为.∵在上，

将代人，得.

又∵，∴，

∴.又∵，

∴，，的方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，，，不符合题意；

当直线的斜率为0时，，，也不符合题意.

∴可设直线的方程为,

联立得，

则，.

.

由得或

∴.

又∵，∴，∴，

∴.∵到直线的距离，

∴.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，设直线方程时要注意特殊情况，要熟练掌握求相交弦长的方法，考查计算能力，属于较难题.

21．已知，.

(1)求曲线在点处的切线方程;

(2)当时，若关于的方程存在两个正实数根，证明:且.

【答案】(1);(2)见解析

【解析】（1）求出函数的导函数，再计算出，，即可求出切线方程；

（2）由存在两个正实数根，整理得方程存在两个正实数根.令利用导数研究其单调性、最值，因为有两个零点，即，得.

因为实数，是的两个根，所以，从而.令，，则，变形整理得.要证，则只需证，即只要证，

再构造函数即可证明.

【详解】

(1)解:∵，

∴，，

∴曲线在点处的切线方程为.

(2)证明:由存在两个正实数根，

整理得方程存在两个正实数根.

由，知，

令，则，

当时，，在上单调递增;

当时，，在上单调递减.

所以.

因为有两个零点，即，得.

因为实数，是的两个根，

所以，从而.

令，，则，变形整理得.

要证，则只需证，即只要证，

结合对数函数的图象可知，只需要证，两点连线的斜率要比，两点连线的斜率小即可.

因为，所以只要证，整理得.

令，则，

所以在上单调递减，即，

所以成立，故成立.

【点睛】

本题考查导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性、最值，以及利用导数证明不等式恒成立，属于难题.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的后得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；

（2）在极坐标系中，射线与，分别交于，两点(异于极点)，定点，求的面积.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）根据极坐标与直角坐标，参数方程与普通方程的转化关系即可求解；

（2）求出到射线的距离，结合极坐标方程求出即可求解面积.

【详解】

（1）将曲线:(为参数)，消去得，

经过伸缩变换后得曲线:，

化为极坐标方程为.

直线的极坐标方程为，即，

所以的直角坐标方程为.

（2）到射线的距离.

因为，，

所以，

.

【点睛】

此题考查极坐标与直角坐标，参数方程与普通方程的互化，利用极坐标方程求距离再求三角形面积公式，考查通式通法.

23．已知，，为正数，且满足.证明：

（1）；

（2）

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）根据分析法，结合不等式关系中，，，即可证明不等式成立；

（2）根据题中条件，直接构造基本不等式进行证明即可.

【详解】

（1），

，

又由均值不等式，

得，，，

则，

，

即得证；

（2），，，，

，，，

则

，

又由均值不等式得，

同理可得，，

则，

当且仅当时等号成立，得证.

【点睛】

本题考查了不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题.