陕西省咸阳市2020届高三高考模拟检测数学（文）试题
展开咸阳市2020年高考模拟检测（二）
数学（文科）试题
一、选择题
1.已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接用补集，交集的概念运算即可.
【详解】，，，则.
故选：A.
【点睛】本题考查交集，补集的运算，是基础题.
2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
按照复数的运算法则进行计算即可得出虚部.
【详解】由题意得:，
的虚部为.
故选：C.
【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.
3.已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算求解模长即可.
【详解】因为向量，，
所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据向量坐标的运算计算模长的问题,属于基础题.
4.边长为的正方形内有一个半径为的圆，向正方形中机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为，则圆周率的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据几何概型的思想,求出圆的面积占正方形面积的比例即为豆落在圆内的概率,再化简求得圆周率的表达式即可.
【详解】根据几何概型可知, 边长为的正方形内有一个半径为的圆，
向正方形中机扔一粒豆子它落在该圆内的概率为
.
故选：C
【点睛】本题主要考查了根据几何概型的运用,属于基础题.
5.已知奇函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据为奇函数可得，可得，再根据奇函数的性质可得 即可得到答案.
【详解】因为为奇函数，所以，
令，得，
又，所以，即，
所以.
故选；D
【点睛】本题考查了奇函数的应用，考查了求分段函数的函数值，属于基础题.
6.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据线面平行的性质定理和判定定理判断与的关系即可得到答案.
【详解】若，根据线面平行的性质定理，可得；
若，根据线面平行的判定定理，可得.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.
7.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的边长分别为和，高为，则该刍童的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图画出直观图,再分别计算上下底的正方形面积与侧面的四个等腰梯形面积求和即可.
【详解】
由三视图可知该几何体是如图所示的正四棱台，棱台侧面梯形的高为.
故几何体的表面积为.
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据三视图求几何体表面积的问题,注意侧面梯形的高需要利用勾股定理计算.属于基础题.
8.一位老师将三道题（一道三角题，一道数列题，一道立体几何题）分别写在三张卡纸上，安排甲、乙、丙三位学生各抽取一道.当他们被问到谁做立体几何题时，甲说：“我抽到的不是立体几何题”，乙说：“我喜欢三角，可惜没抽到”，丙说：“乙抽到的肯定不是数列题”.事实证明，这三人中只有一人说的是假话，那么抽到立体几何题的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
只有1人说的假话，就从假话开始推理，假定其中1人说假话，另两人说真话，看看有没有矛盾．
【详解】若甲说的假话，则甲抽到的是立体几何题，乙抽到数列题，这里丙又是假话，不合题意，甲是真话；若乙假话，则乙抽到三角题，这里甲丙真话，甲抽到数列题，丙抽到立体几何题，符合题意；若丙是假话，则乙抽到数列题，甲乙真话，甲抽到三角题，丙只能是立体几何题.
故选：C.
【点睛】本题考查推理，考查演绎推理．掌握演绎推理的概念是解题基础．
9.若，且，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据余弦二倍角公式和正弦的和角公式将原式化简得，再将其两边平方和运用正弦的二倍角公式可得选项.
【详解】因为，，，
，，，
，，
故选：D.
【点睛】本题考查运用正弦、余弦的二倍角公式，正弦、余弦的和差角公式进行化简求值，关键在于熟练记忆三角恒等变换所需的公式，属于基础题.
10.抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出抛物线和双曲线的焦点坐标，得出过两焦点的直线方程，根据直线垂直的条件可得选项.
【详解】抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为,两焦点的连线的方程为，
又双曲线的渐近线方程为，所以 ，解得，
故选：A.
【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质，两直线垂直的条件，属于基础题.
11.将函数的图象向右平移个单位长度单位后得函数图象，若为偶函数，则（ ）
A. 在区间上单调递减 B. 在区间匀上单调递增
C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增
【答案】D
【解析】
分析】
根据三角函数平移关系求出的解析式，结合是偶函数求出，利用三角函数的单调性进行求解即可.
【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度单位后得函数图象，
则，
若为偶函数，则，
即，
∵，
∴当时，，
即，
当时，，此时不具备单调性，故A，B错误，
当时，，此时为增函数，故D正确，
故选：D
【点睛】本题考查了余弦型函数的图象变换、性质，考查了数学运算能力.
12.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可知在上恒成立.再参变分离求解函数最值即可.
【详解】由题, 在上恒成立.即在上恒成立.
又,其导函数恒成立.故的最小值为.故.
故选：C
【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求解参数范围的问题,需要根据题意求导,参变分离求函数的最值.属于基础题.
二、填空题
13.已知实数，满足不等式组，则的最大值为________.
【答案】6
【解析】
【分析】
先作出不等式组所表示的可行域，再运用目标函数的几何意义得出最值.
【详解】由不等式组作出可行域如下图所示，由，得，由图示可知直线过点C时，取得最大值，
由得，所以的最大值为，
故答案：6.
【点睛】本题考查不等式组所表示的可行域和线性目标函数的最值求解，正确理解目标函数的几何意义是解决本题的关键，属于基础题.
14.已知一个样本x，1，y，5的平均数为2，方差为5，则xy= ．
【答案】﹣3
【解析】
【详解】试题分析：利用平均数和方差公式列出方程组，由此能求出xy的值．
解：∵一个样本x，1，y，5的平均数为2，方差为5，
∴，
解得xy=﹣3．
故答案为﹣3．
考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
15.已知定义在上的函数满足，且，则________.
【答案】3
【解析】
【分析】
由已知可得，是函数的一个周期，所以，再由， 可求得，可得答案.
【详解】由已知可得，，则有，则是函数的一个周期，
所以，
又，所以，
所以，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用，准确理解周期性的定义是解题的关键,属于中档题.
16.在中内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件和正弦定理可得，又由余弦定理可得，可求得c，得出是直角三角形，可求得其面积.
【详解】由已知条件和正弦定理得，又根据余弦定理得，，
又，是直角三角形，，
故答案为：.
【点睛】本题考查运用正弦定理和余弦定理进行三角形的边角互转，关键在于正确选择和运用相应的公式，属于中档题.
三、解答题
17.已知等差数列满足，，其前项和为.
（1）求数列的通项公式及；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
(1)根据等差数列通项公式和性质求出首项、公差,即可得到通项公式,
(2),求得通项,利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，则，解得：，，
∴，，
∴，，
（2）因为，所以，
所以，①
①式两边同时乘，得，②
所以①-②可得，，
，即，
所以.
【点睛】本题考查等差数列的通项和前n项和公式的求解，以及运用“错位相减法”求数列的和，属于中档题.
18.某语文报社为研究学生课外阅读时间与语文考试中的作文分数的关系，随机调查了本市某中学高三文科班名学生每周课外阅读时间（单位：小时）与高三下学期期末考试中语文作文分数，数据如下表：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
38 | 40 | 43 | 45 | 50 | 54 |
（1）根据上述数据，求出高三学生语文作文分数与该学生每周课外阅读时间的线性回归方程，并预测某学生每周课外阅读时间为小时时其语文作文成绩；
（2）从这人中任选人，这人中至少有人课外阅读时间不低于小时的概率.
参考公式：，其中，
参考数据：，，
【答案】（1）；预测某学生每周课外阅读时间为小时时其语文作文成绩为（2）
【解析】
【分析】
(1)根据所给的公式计算对应的量,,,再代入公式求解可求得线性回归方程.再令即可求得预测值.
(2) 设这人阅读时间依次为、、、、、的同学分别为、、、、、,再枚举出所有可能的情况,分析其中至少有人课外阅读时间不低于小时的情况数,再根据古典概型的公式求解概率即可.
【详解】解：（1）根据表中数据,计算,,
.
,
∴关于的线性回归方程为：,
当时,.
预测某学生每周课外阅读时间为小时时其语文作文成绩为.
（2）设这人阅读时间依次为、、、、、的同学分别为、、、、、,
从中任选人,基本事件是、、、、、、、、、、、、、、共种,
其中至少人课外阅读时间不低于小时的事件是、、、、、、、、、共种,
故所求的概率为.
【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解以及实际运用,同时也考查了利用枚举法解决古典概型的方法.属于基础题.
19.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，点在上.
（1）若为的中点，证明：平面；
（2）若，，三棱锥的体积为，试求的值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
(1) 连接交于,连接,再证明即可.
(2) 根据三棱锥的体积为可求得到平面的距离为,再根据平面且即可求得.
【详解】证明：（1）连接交于,连接,
∵为矩形,∴为的中点,
又为的中点,∴,
∵平面,平面,
∴平面.
（2）由题设,,∴的面积为.
∵棱锥的体积为,
∴到平面的距离满足,即.
∵平面,∴平面平面,
过在平面内作,垂足为,则平面,
而平面,于是.
∵,∴.则
【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及根据三棱锥体积求解比例的问题,需要根据题意求出对应的高,再根据垂直于同一平面的两条直线互相平行的性质分析.属于中档题.
20.已知椭圆过点，且其离心率为，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别相交于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在圆心在原点的定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）存在；定圆
【解析】
【分析】
(1)根据椭圆的离心率和椭圆经过的点的坐标,代入椭圆方程中,求出a、b,即可得到椭圆C的方程.
(2)根据条件，分直线的斜率不存在和直线的斜率不存在两种情况分别求出定圆的方程，,当直线的斜率存在时,设直线方程为,联立方程组,令，,利用韦达定理,结合.推出,利用直线与圆相切,求出圆的半径,得到圆的方程,即可得到结果.
【详解】解：（1）椭圆经过点，∴，又∵，解之得，.
所以椭圆的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.
∵，在椭圆上，∴，∴.
∴到直线的距离为，所以.
当直线的斜率存在时，设的方程为，
由得.
设，，则，.
∵，∴，
∴.
∴，即.
∴到直线的距离为，
故存在定圆与直线总相切.
【点睛】本题考查椭圆的方程的求法,圆与椭圆的以及直线的综合应用,考查分类讨论思想、转化思想的应用,考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.
21.已知函数.
（1）若在上存在极大值，求的取值范围；
（2）若轴是曲线的一条切线，证明：当时，.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求得的导函数，对分成三种情况，结合在上存在极大值，求得的取值范围.
（2）首先根据轴是曲线的一条切线求得的值，构造函数，利用导数求得在区间上的最小值为，由此证得，从而证得不等式成立.
【详解】（1）解：，令，得，.
当时，，单调递增，无极值，不合题意；
当时，在处取得极小值，在处取得极大值，
则，又，所以；
当时，在处取得极大值，在处取得极小值，
则，又，所以.
综上，的取值范围为.
（2）证明：由题意得，或，即（不成立），或，
解得.
设函数，，
当或时，；当时，.
所以在处取得极小值，且极小值为.
又，所以当时，，
故当时，.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
22.在直角坐标系中，曲线参数方程为 (为参数)，曲线.
（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 ，的极坐标方程；
（2）若射线(与的异于极点的交点为，与的交点为，求.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由曲线：(为参数)化为普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得 ，的极坐标方程；
（2）分别求得点对应的的极径，根据极经的几何意义，即可求解.
【详解】（1）曲线：(为参数)可化为普通方程：，
由可得曲线的极坐标方程为，
曲线的极坐标方程为.
（2）射线与曲线的交点的极径为，
射线与曲线的交点的极径满足，解得，
所以.
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
23.已知关于的不等式有解，记实数的最大值为.
（1）求的值；
（2）正数满足，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）利用绝对值不等式可求得，所以，解这个不等式可求得.（2）由（1）得，将此式乘以要证明不等式的左边，化简后利用基本不等式可求得最小值为.
试题解析：（1）,
若不等式有解，
则满足，解得，
∴.
（2）由（1）知正数满足，
∴
.当且仅当，时，取等号.
