2020届陕西省咸阳市高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题（解析版）

2020届陕西省咸阳市高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．集合，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据交集的运算即可求解.

【详解】

，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了交集的运算，属于基础题.

2．已知为虚数单位，复数，则其共轭复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先根据复数的乘法计算出，然后再根据共轭复数的概念直接写出即可.

【详解】

由，所以其共轭复数.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易.

3．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是(    )

A．这五年，出口总额之和比进口总额之和大

B．这五年，2015年出口额最少

C．这五年，2019年进口增速最快

D．这五年，出口增速前四年逐年下降

【答案】D

【解析】根据统计图中数据的含义进行判断即可.

【详解】

对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确；

对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；

对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；

对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；

故选：D

【点睛】

本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.

4．已知数列，，，…，是首项为1，公差为2得等差数列，则等于(    )

A．9 B．5 C．4 D．2

【答案】A

【解析】由题设条件以及等差数列的性质得出，再由，即可得出答案.

【详解】

故选：A

【点睛】

本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.

5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】边长为3的正方形的面积S正方形＝9，设阴影部分的面积为S阴，由几何概型得，由此能估计阴影部分的面积．

【详解】

解：为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，

则边长为3的正方形的面积S正方形＝9，

设阴影部分的面积为S阴，

∵该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，

∴，

解得S阴，

∴估计阴影部分的面积是．

故选：B．

【点睛】

本题考查阴影面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

6．(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由诱导公式以及两角差的正切公式求解即可.

【详解】

故选：D

【点睛】

本题主要考查了利用诱导公式求三角函数值，属于基础题.

7．已知，，，则，，大小关系为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据对数函数和指数函数的单调性，确定，，的范围，即可得出答案.

【详解】

，，

即

故选：C

【点睛】

本题主要考查了对数和指数的比较大小问题，属于中档题.

8．双曲线：（，）的一个焦点为（），且双曲线的两条渐近线与圆：均相切，则双曲线的离心率为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据直角三角形的边角关系得出，再由离心率公式即可得出答案.

【详解】

设渐近线与该圆交于点，为坐标原点

在中，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了求双曲线的离心率，属于中档题.

9．已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为(    )

A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③

【答案】C

【解析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.

【详解】

根据面面平行的性质以及判定定理可得，若，，则，故①正确；

若，，平面可能相交，故②错误；

若，，则可能平行，故③错误；

由线面垂直的性质可得，④正确；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.

10．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据函数值恒大于0,排除,根据函数不是偶函数,排除,根据趋近于正无穷时,函数值趋近于0,排除,故选:.

【详解】

因为,所以不正确;

函数不是偶函数,图象不关于轴对称,所以不正确;

当时,, 当趋近于正无穷时,和都趋近于正无穷,但是增大的速度大于增大的速度,所以趋近于0,故不正确.

故选:B

【点睛】

本题考查了利用函数性质识别函数的图象,考查了偶函数图象的对称性,考查了极限思想,根据函数的性质排除选项是解题关键.

11．正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，高为3，则它的外接球的表面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据几何关系确定球心的位置，再结合勾股定理得出半径，最后由球的表面积公式求解即可.

【详解】

连接，相交于点，连接

设正四棱锥的外接球的球心为，半径为，则在上，连接

，

，

，解得

即它的外接球的表面积为

故选：C

【点睛】

本题主要考查了多面体的外切球问题以及求球的表面积，属于中档题.

12．已知函数的一条切线为，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，求解即可.

【详解】

设切点为

，

即

故选：A

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.

二、填空题

13．函数的零点是______.

【答案】4

【解析】解方程，即可得出答案.

【详解】

，解得

则函数的零点是

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了求函数的零点，属于基础题.

14．数列的前项和为，则______.

【答案】

【解析】由，由，即可得出.

【详解】

，

经检验也适合，则

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了由与的关系求通项公式，属于中档题.

15．为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量与时间的函数关系为（如图所示），实验表明，当药物释放量对人体无害. （1）______；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过______分钟人方可进入房间.

【答案】2    40   

【解析】（1）由时，，即可得出的值；

（2）解不等式组，即可得出答案.

【详解】

（1）由图可知，当时，，即

（2）由题意可得，解得

则为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间.

故答案为：（1）2；（2）40

【点睛】

本题主要考查了分段函数的应用，属于中档题.

16．已知是过抛物线焦点的弦，是原点，则______.

【答案】

【解析】当直线的斜率不存在时，得出的坐标，根据数量积公式得出，当直线的斜率存在时，设，并与抛物线方程联立，结合韦达定理，即可得出.

【详解】

由题意得，

当直线的斜率不存在时，，则

当直线的斜率存在时，设，

由，得

所以，

即

综上，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的交点问题以及数量积的计算，属于中档题.

三、解答题

17．已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，求边的长和的大小.

【答案】（1）（）；（2），.

【解析】（1）利用辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的单调性得出函数的单调递增区间；

（2）由，得出，由余弦定理得出，再根据勾股定理得出的大小.

【详解】

（1）

令（）

则（）为函数的单调递增区间；

（2）由，得，即

由余弦定理得，将，，代得，

即，又，，即

∴

综上，，.

【点睛】

本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及利用余弦定理解三角形，属于中档题.

18．为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.

（1）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？

（2）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，求这2个学生性别不同的概率.

附：

【答案】（1）列联表见解析，有；（2）.

【解析】（1）根据题意填写列联表，计算即可作出判断；

（2）利用列举法以及古典概型概率公式计算即可.

【详解】

（1）根据茎叶图可得

知有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关.

（2）从茎叶图可知，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生人数分别是4人和2人，分别用，，，和，表示

基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，共有15个

其中性别不同的基本事件有，，，，，，，共8个

所求概率为.

【点睛】

本题主要考查了独立性检验解决实际问题以及计算古典概型问题的概率，属于中档题.

19．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）.

（1）证明：平面平面；

（2）设三棱锥和四棱锥的体积分别为和，当为中点时，求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）利用线面垂直的判定定理和线面垂直的性质得出，再由面面垂直的判定定理证明平面平面；

（2）求出三角形和正方形的面积比，由点，到平面的距离之比，结合棱锥的体积公式，即可得出的值.

【详解】

（1）证明：∵，，，平面

∴平面

又平面，∴

，平面，

∴平面

平面

由，知

又平面，

平面

又平面，∴平面平面

（2）∵为中点

∴，

点，到平面的距离之比为

∴

【点睛】

本题主要考查了证明面面垂直以及棱锥体积的有关计算，属于中档题.

20．椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线恒过一个定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；

（2）设点，，，由，，结合斜率公式化简得出，，即，满足，由的任意性，得出直线恒过一个定点.

【详解】

（1）依题意得，解得

即椭圆：；

（2）设点，，

其中，

由，得，

即，

注意到，

于是，

因此，满足

由的任意性知，，，即直线恒过一个定点.

【点睛】

本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题.

21．已知函数（，），.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：对任意的，恒成立.

【答案】（1）见解析（2）证明见解析.

【解析】（1）由导数证明单调性即可；

（2）构造函数，利用导数证明不等式即可.

【详解】

（1）

当时，，

在上单调递减，在上单调递增；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减.

（2）令（）

则

令，显然在上单调递增

注意到，

于是存在使得

可知在上单调递减，在上单调递增

∴

∴，即，

综上，当时，对任意的，恒成立.

【点睛】

本题主要考查了利用导数证明函数单调性以及不等式的恒成立问题，属于中档题.

22．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线和直线的极坐标方程分别是（）和（），其中（）.

（1）写出曲线的直角坐标方程；

（2）设直线和直线分别与曲线交于除极点的另外点，，求的面积最小值.

【答案】（1）；（2）16.

【解析】（1）将极坐标方程化为直角坐标方程即可；

（2）利用极径的几何意义，联立曲线，直线，直线的极坐标方程，得出，利用三角形面积公式，结合正弦函数的性质，得出的面积最小值.

【详解】

（1）曲线：，即

化为直角坐标方程为：；

（2），即

同理

∴

当且仅当，即（）时取等号

即的面积最小值为16

【点睛】

本题主要考查了极坐标方程化直角坐标方程以及极坐标的应用，属于中档题.

23．已知关于的不等式解集为（）.

（1）求正数的值；

（2）设，且，求证：.

【答案】（1）1；（2）证明见解析.

【解析】（1）将不等式化为，求解得出，根据解集确定正数的值；

（2）利用基本不等式以及不等式的性质，得出，，，三式相加，即可得证.

【详解】

（1）解：不等式，即不等式

∴，而，于是

依题意得

（2）证明：由（1）知，原不等式可化为

∵，

∴，同理，

三式相加得，当且仅当时取等号

综上.

【点睛】

本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围以及基本不等式的应用，属于中档题.