2020届陕西省汉中市高三下学期第二次模拟检测数学（理）试题（解析版）

2020届陕西省汉中市高三下学期第二次模拟检测数学（理）试题

一、单选题

1．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有 （ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【答案】A

【解析】试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．

【考点】集合的运算．

2．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】化简复数为的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.

【详解】

对应的点的坐标为在第二象限

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

3．若，则下列不等式不能成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可.

【详解】

选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立；

选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；

选项C：由于，所以，所以，所以成立；

选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立.

故选：B.

【点睛】

本题考查不等关系和不等式，属于基础题.

4．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

A．08 B．07 C．02 D．01

【答案】D

【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.

【考点】此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.

5．已知函数，则下列判断错误的是（    ）

A．的最小正周期为 B．的值域为

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称

【答案】D

【解析】先将函数化为，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果.

【详解】

可得

对于A，的最小正周期为,故A正确；

对于B，由，可得，故B正确；

对于C，正弦函数对称轴可得：

解得：，

当，，故C正确；

对于D，正弦函数对称中心的横坐标为：

解得：

若图象关于点对称，则

解得：，故D错误；

故选：D.

【点睛】

本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

6．已知平面，，直线满足，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．即不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】，是相交平面，直线平面，则“” “”，反之，直线满足，则或//或平面，即可判断出结论．

【详解】

解：已知直线平面，则“” “”，

反之，直线满足，则或//或平面，

“”是“”的充分不必要条件．

故选：A.

【点睛】

本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力．

7．设 ,则(  )

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】B

【解析】根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值．

【详解】

∵f（x），

∴f（5）＝f[f（11）]

＝f（9）＝f[f（15）]

＝f（13）＝11．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题．

8．在直角中，，，，若，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在直角三角形ABC中，求得 ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．

【详解】

在直角中，，，，，
，
若，则

故选C.

【点睛】

本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．

9．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令圆的半径为1，则，故选C．

10．函数y=sin2x的图象可能是

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.

详解：令，

因为，所以为奇函数，排除选项A,B;

因为时，，所以排除选项C，选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．

11．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于,两点，若线段的长分别为，则的最小值是（   ）

A．10 B．9 C．8 D．7

【答案】B

【解析】由题意结合抛物线焦点弦的性质结合均值不等式的结论求解的最小值即可.

【详解】

由抛物线焦点弦的性质可知：，

则，

当且仅当时等号成立.

即的最小值是9.

本题选择B选项.

【点睛】

本题主要考查抛物线焦点弦的性质，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12．已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先求出的值域，再利用导数讨论函数在区间上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可.

【详解】

因为，故，

当时，，故在区间上单调递减；

当时，，故在区间上单调递增；

当时，令，解得，

故在区间单调递减，在区间上单调递增.

又，且当趋近于零时，趋近于正无穷；

对函数，当时，；

根据题意，对，且，使得成立，

只需，

即可得，

解得.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.

二、填空题

13．展开式中的系数为________．

【答案】30

【解析】先将问题转化为二项式的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第项，令的指数分别等于2，4，求出特定项的系数．

【详解】

由题可得：展开式中的系数等于二项式展开式中的指数为2和4时的系数之和，

由于二项式的通项公式为，

令，得展开式的的系数为，

令，得展开式的的系数为，

所以展开式中的系数，

故答案为30.

【点睛】

本题考查利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式的特定项的问题，考查学生的转化能力，属于基础题．

14．在中，内角的对边分别是，若，，则____.

【答案】

【解析】由，根据正弦定理“边化角”，可得，根据余弦定理，结合已知联立方程组，即可求得角.

【详解】

根据正弦定理：

可得

根据余弦定理：

由已知可得：

故可联立方程：

解得：.

由

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

15．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种.

【答案】

【解析】先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果.

【详解】

若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有种;

若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有种;

因此共有种.

故答案为：

【点睛】

本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题.

16．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，，E，F分别为，的中点，，则球O的体积为______.

【答案】

【解析】可证，则为的外心，又则平面

即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得.

【详解】

解：，，

，因为为的中点，所以为的外心，

因为，所以点在内的投影为的外心，

所以平面，

平面

，

所以，

所以，

又球心在上，设，则，所以，所以球O体积，.

故答案为：

【点睛】

本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题．

三、解答题

17．设等差数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求的前项和及使得最小的的值.

【答案】（1）（2）；时，取得最小值

【解析】（1）设等差数列的公差为，由，结合已知，联立方程组，即可求得答案.

（2）由（1）知，故可得，即可求得答案.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，由及，

得

解得

数列的通项公式为

（2）由（1）知

时，取得最小值.

【点睛】

本题解题关键是掌握等差数列通项公式和前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

18．如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且.

（1）求证：平面；

（2）若，，，，求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）要证明平面，只需证明，，即可求得答案；

（2）先根据已知证明四边形为矩形，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立坐标系，求得平面的法向量为，平面的法向量，设二面角的平面角为，，即可求得答案.

【详解】

（1）平面，平面，

.

，，

.

又，

平面.

（2）由（1）可知.

在中，，

.

.

又，，

四边形为矩形.

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立坐标系，

如图：

则：，，，，

：，

设平面的法向量为，

即，

令，则，

由题平面，即平面的法向量为

由二面角的平面角为锐角，

设二面角的平面角为

即

二面角的正弦值为：.

【点睛】

本题主要考查了求证线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直判断定理和向量法求二面角的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

19．眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图.

（1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；

（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？

（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.

附：

【答案】（1）（2）能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系（3）详见解析

【解析】（1）由题意可计算后三组的频数的总数，由其成等差数列可得后三组频数，可得视力在5.0以上的频率，可得全年级视力在5.0以上的的人数；

（2）由题中数据计算的值，对照临界值表可得答案；

（3）由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，可得

X可取0，1，2，分别计算出其概率，列出分布列，可得其数学期望.

【详解】

解：（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后三组的频数成等差数列，共有（人）

所以后三组频数依次为24，21，18，

所以视力在5.0以上的频率为0.18，

故全年级视力在5.0以上的的人数约为人

（2），

因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.

（3）调查的100名学生中不近视的共有24人，从中抽取8人，抽样比为，这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，

X可取0，1，2，

，

X的分布列

X的数学期望.

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图，独立性检测及离散型随机变量的期望与方差等相关知识，考查学生分析数据与处理数据的能力，属于中档题.

20．如图，椭圆的长轴长为，点、、为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，过中心，且，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设、是椭圆上位于直线同侧的两个动点（异于、），且满足，试讨论直线与直线斜率之间的关系，并求证直线的斜率为定值.

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）利用题中条件先得出的值，然后利用条件，结合椭圆的对称性得到点的坐标，然后将点的坐标代入椭圆方程求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件

得到直线与的斜率直线的关系（互为相反数），然后设直线的方程为，将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，注意到直线与的斜率之间的关系得到点的坐标，最后再用斜率公式证明直线的斜率为定值.

（1），，

又是等腰三角形，所以，

把点代入椭圆方程，求得，

所以椭圆方程为；

（2）由题易得直线、斜率均存在，

又，所以，

设直线代入椭圆方程，

化简得，

其一解为，另一解为，

可求，

用代入得，，

为定值.

【考点】1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.两点间连线的斜率

21．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数，使得，证明：.

【答案】（1）当时，在上递增，在上递减；

当时，在上递增，在上递减，在上递增；

当时，在上递增；

当时，在上递增，在上递减，在上递增；

（2）证明见解析

【解析】（1）对求导，分，，进行讨论，可得的单调性；

（2）在定义域内是是增函数，由（1）可知，，设，可得，则，设，对求导，利用其单调性可证明.

【详解】

解：的定义域为，

因为，

所以，

当时，令，得，令，得；

当时，则，令，得，或，

令，得；

当时，，

当时，则，令，得；

综上所述，当时，在上递增，在上递减；

当时，在上递增，在上递减，在上递增；

当时，在上递增；

当时，在上递增，在上递减，在上递增；

（2）在定义域内是是增函数，由（1）可知，

此时，设，

又因为，则，

设，则

对于任意成立，

所以在上是增函数，

所以对于，有，

即，有，

因为，所以，

即，又在递增，

所以，即.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性及导数在极值点偏移中的应用，考查学生分类讨论与转化的思想，综合性大，属于难题.

22．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；

（2）已知点，直线与曲线交于、两点，求.

【答案】(1) .(2)

【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解；

（2）设两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系，即可求解.

【详解】

（1）对于曲线的极坐标方程为，可得，

又由，可得，即，

所以曲线的普通方程为.

由直线的参数方程为（为参数），消去参数可得，即

直线的方程为，即.

（2）设两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程（为参数）代入曲线中，可得.

化简得：，则.

所以.

【点睛】

本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

23．已知函数.

（1）当a=2时，求不等式的解集；

（2）设函数.当时，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）当时；（2）由

等价于

，解之得.

试题解析： （1）当时，.

解不等式，得.

因此，的解集为.

（2）当时，，

当时等号成立，

所以当时，等价于. ①

当时，①等价于，无解.

当时，①等价于，解得.

所以的取值范围是.

【考点】不等式选讲.