2020届山西省长治市高考第一次模拟数学（文）试题（解析版）

2020届山西省长治市高考第一次模拟数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】计算，再计算交集得到答案.

【详解】

,，.

故选：C.

【点睛】

本题考查了交集的运算，属于简单题.

2．已知为虚数单位，，则复数的虚部为(　 　).

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】本道题结合复数的运算，化简z，计算虚部，即可．

【详解】

,故虚部即为i的系数，为-2，故选D．

【点睛】

本道题看考查了复数的化简，关键在于化简z，属于较容易的题．

3．函数的图象（    ）

A．关于原点对称 B．关于点对称

C．关于直线对称 D．关于点对称

【答案】D

【解析】令，解得，得到答案.

【详解】

函数中，令，解得；

令得，所以的图象关于原点对称，D正确.

代入验证知错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查了正切函数的对称中心，意在考查学生的计算能力.

4．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，某市农业经济部门派三位专家对、、三个县区进行调研，每个县区派一位专家，则甲专家恰好派遣至县区的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】列出所有情况共有6种，满足条件的有两种情况，得到概率.

【详解】

某市农业经济部门派三位专家对、、三个县区进行调研，每个县区派一位专家，故调研的情况的基本事件总数为，，，，，，六种情况，

甲专家恰好派遣至县区的情况为，，两种情况，

则甲专家恰好派遣至县区的概率为：.

故选：B.

【点睛】

本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.

5．已知向量，满足，，，则在上的投影为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【解析】计算，再根据投影公式计算得到答案.

【详解】

向量，满足，∴，可得，

则在上的投影为.

故选：A.

【点睛】

本题考查了向量的投影，意在考查学生的计算能力和对于投影概念的理解..

6．已知椭圆与双曲线的焦点相同，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意得到，得到，得到离心率.

【详解】

椭圆的半焦距，

双曲线的半焦距，

由题意可得，即，

∴椭圆的离心率为.

故选：A.

【点睛】

本题考查了椭圆离心率，双曲线焦点，意在考查学生的计算能力和转化能力.

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】该几何体是如图所示的三棱锥，计算体积得到答案.

【详解】

根据三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥，

结合图中数据，计算该三棱锥的体积为：.

故选：B.

【点睛】

本题考查了根据三视图求体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

8．已知，满足约束条件，则目标函数的最大值为（    ）

A．2 B． C． D．13

【答案】D

【解析】画出可行域，目标函数的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，计算得到答案.

【详解】

由已知得到可行域如图：

目标函数的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，

由图得知，是距离原点最远的点，由得到，

所以目标函数的最大值为.

故选：D.

【点睛】

本题考查了线性规划问题，将目标函数转化为点到原点的距离的平方是解题的关键.

9．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：

依此类推，则六十四卦中的“井”卦，符号“”表示的十进制数是（    ）

A．11 B．18 C．22 D．26

【答案】C

【解析】根据题意井卦表示二进制数的010110，计算得到答案.

【详解】

六十四卦中符号“”表示二进制数的010110，

转化为十进制数的计算为.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二进制，意在考查学生的计算能力和理解能力.

10．执行如图所示的程序框图，若输入的依次为，，，则输出的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据程序框图知：、、中最大的数用表示后输出，比较大小得到答案.

【详解】

由题意可知、、中最大的数用表示后输出，

若输入的，，依次为，

利用指数函数的性质可得，，故最大的数为，

故选：A.

【点睛】

本题考查了程序框图，理解程序框图表示的意义是解题的关键.

11．已知动点到点的距离与到轴距离之和为3，动点在直线上，则两点距离的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据定义知动点的轨迹方程为抛物线，计算，根据二次函数性质得到最值.

【详解】

设动点，

当时，到轴距离与到直线的距离之和为3，

由抛物线定义得：动点满足：，

同理，当时，到轴与到直线的距离之和为3，

由抛物线定理得：动点满足：，

当到直线距离最小时，，

到的距离：，

当时，取最小值.

故选：B.

【点睛】

本题考查了抛物线的轨迹方程，距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.

二、填空题

12．已知函数，若函数恰有2个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】函数在原点处的切线斜率为，函数在原点处的切线斜率为，根据图像得到答案.

【详解】

函数恰有2个零点，即函数与的图象有2个交点，

可知直线过原点，函数的导数是，

可知函数在原点处的切线斜率为，

函数的导数是，可知函数在原点处的切线斜率为，

由图象可知，直线的斜率时有2个零点.

故选：C.

【点睛】

本题考查了零点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，画出函数图像是解题的关键.

13．cos 75°－cos 15°的值等于_________．

【答案】

【解析】　原式＝cos(120°－45°)－cos(45°－30°)

＝cos 120°cos 45°＋sin 120°sin 45°－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)

＝－×＋×－×－×＝－。

14．已知定义在上的函数满足，且的图象与的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________.

【答案】8

【解析】确定的图象关于点对称，函数的图象关于点对称，得到答案.

【详解】

，故，即的图象关于点对称，

又函数满足，则函数的图象关于点对称，

所以四个交点的横纵坐标之和为8.

故答案为：8.

【点睛】

本题考查了函数的交点问题，确定函数关于点对称是解题的关键.

15．已知球的直径，，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为________.

【答案】

【解析】设圆心为，连结，，由是球的直径，得到，证明平面，计算体积得到答案.

【详解】

设圆心为，连结，，由是球的直径，得到，

∵，∴，∴平面，

∴棱锥的体积为：

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了三棱锥的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

16．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值是_________.

【答案】

【解析】根据正弦定理得到，再根据余弦定理和均值不等式得到，得到面积最值.

【详解】

因为，

由正弦定理可得，，

即，所以，

因为，所以，

由余弦定理可得，，

所以，当且仅当时取等号，所以，

所以，即面积的最大值.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

三、解答题

17．在公差大于1的等差数列中，，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）直接根据等差数列公式和等比中项计算得到答案.

（2），根据裂项求和计算得到答案.

【详解】

（1）设数列的公差为，

∵，且，，成等比数列，∴，

解得：，则，∴；

（2），

∴.

【点睛】

本题考查了等差数列通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.

18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，且，，点为线段的中点.

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）见解析；（2）1

【解析】（1）证明，，得到平面，得到证明.

（2）根据计算得到答案.

【详解】

（1）证明：∵平面，∴，又在矩形中，，

∴平面，∵平面，∴，

又∵，为中点，∴，∴平面，∴；

（2）∵点为线段的中点.

∴.

【点睛】

本题考查线线垂直，三棱锥体积，意在考查学生计算能力，推断能力，空间想象能力.

19．为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对200名学生做了问卷调查，列联表如下：

已知在全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为.

（1）请将上面的列联表补充完整；

（2）是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；

（3）若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率.

附：

，其中.

【答案】（1）表格见解析；（2）有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关，理由见解析；（3）

【解析】（1）计算学习积极性不高的有人，完善列联表得到答案.

（2），对比临界值表得到答案.

（3）有2人学习积极性高，设为、，有3人学习积极性不高，设为、、，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.

【详解】

（1）根据题意，全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为，

则学习积极性不高的有人，

据此可得：列联表如下：

（2）根据题意，由列联表可得：；

故有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关；

（3）根据题意，从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，有2人学习积极性高，设为、，有3人学习积极性不高，设为、、，从中选取2人，

有、、、、、、、、、，共10种情况，

其中至少有1人学习积极性不高的有、、、、、、、、，共9种情况，

至少有1人学习积极性不高的概率.

【点睛】

本题考查了列联表，独立性检验，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.

20．已知椭圆，点、、在椭圆上，直线与直线的斜率之积.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知直线点关于直线的对称点是，求证：过点，的直线恒过定点.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）计算，根据得到，得到椭圆方程.

（2）直线为，计算得到的坐标，，得到，得到答案.

【详解】

（1）椭圆，点，，、在椭圆上，直线与直线的斜率之积，

得，由，联立得，

所以椭圆的标准方程为：；

（2）证明：由（1）直线为，设的坐标为，

则，解得，

故，

取点，显然，所以，，三点共线，

即直线恒过定点.

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

21．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）求导得到，讨论和两种情况，分别计算得到答案.

（2）时， ，令，求函数的最小值为，得到答案.

【详解】

（1）函数的定义域为，，

若，则，所以在上单调递增；

若，令，则，

当）时，，单调递减；

当时，，单调递增；

综上所述，，函数在上单调递增，时，函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，，即，

令，则，

令，则，

当时，单调递增，，

所以当时，单调递减，当时，，单调递增，

故，所以的取值范围是.

【点睛】

本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.

22．在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求，的普通方程；

（2）设点在曲线上，且对应的，点是曲线上的点，求面积的最大值.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）直接根据参数方程，极坐标公式转化得到答案.

（2），设，则，，计算得到答案.

【详解】

（1）曲线的方程为（为参数）.转换为直角坐标方程为.

曲线的极坐标方程为.转换为直角坐标方程为.

（2）点在曲线上，且对应的，故，则转换为极坐标为，

设，则，

则，

当时，.

【点睛】

本题考查了参数方程，极坐标方程，三角形面积的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.

23．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）

【解析】（1）讨论，，三种情况，分别计算得到答案.

（2）题目转化为恒成立，解得答案.

【详解】

（1）当时，，

由，可得或或，

即为或或，

则原不等式的解集为或.

（2）函数的解析式可得当时，，即，

即，可得，即在恒成立，

由，可得且，可得.

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.