2020届山西省运城市高三调研测试（第一次模拟）数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据交集定义直接计算得到答案.
【详解】
集合，集合，则.
故选：.
【点睛】
本题考查了交集运算，属于简单题.
2．已知复数满足，其中是虛数单位，则此复数的虛部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】化简得到，得到答案.
【详解】
，则，故复数虚部为.
故选：.
【点睛】
本题考查了复数的化简，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.
3．某学校美术室收藏有幅国画，其中山水画、花鸟画各幅，现从中随机抽取幅进行展览，则恰好抽到幅不同种类的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设山水画为，，花鸟画为，，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.
【详解】
设山水画为，，花鸟画为，，
则共有6种情况，满足条件的有4种，
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
4．若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】计算得到，，，得到答案.
【详解】
，，，
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了数值的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的灵活运用.
5．古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ）
A．6天 B．7天 C．8天 D．9天
【答案】C
【解析】由等比数列前项和公式求出这女子第一天织布尺，由此利用等比数列前项和公式能求出要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为多少天．
【详解】
解：设该女子第一天织布尺，
则，
解得，
前天织布的尺数为：，
由，得，
解得的最小值为8．
故选：．
【点睛】
本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于基础题．
6．在中，若点满足，点为线段中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据，化简得到答案.
【详解】
.
故选：.
【点睛】
本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.
7．已知函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，为了得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】先由函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，得到周期，求出，再由平移原则，即可得出结果.
【详解】
因为函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期为，因此，
所以，
因此，为了得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度.
故选D
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，以及三角函数的平移问题，熟记三角函数的平移原则即可，属于常考题型.
8．若、满足约束条件，则的最小值为（ ）.
A．0 B．-1 C．-2 D．-3
【答案】C
【解析】画出可行域,再根据线性规划的方法求解即可.
【详解】
作出满足约束条件,表示的平面区域,
得到如图的及其内部,其中,
将直线进行平移,
当经过点时,目标函数达到最小值.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了线性规划求最值的方法,属于基础题.
9．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】运行程序进行计算，退出循环后计算出输出的的值.
【详解】
输入，，判断是，，判断是，，判断是，……，依次类推，，判断否，输出.故选B.
【点睛】
本小题主要考查程序框图计算输出结果，考查裂项求和法，属于基础题.
10．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三视图可知被截去的三棱锥是长方体的一个角，三棱锥的外接球即所对应长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线，从而可求得外接球的表面积．
【详解】
由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示：截去的三棱锥是长方体的一个角，AB⊥AD，AD⊥AC，AC⊥AB，
所以将三棱锥补成长方体，其外接球相同，外接球的直径为长方体的体对角线，半径为：，外接球的表面积为：
故选A．
【点睛】
本题考查由三视图还原几何体，考查三棱锥外接球表面积的求法，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直则用（a,b,c为三棱的长）；②若 面ABC（SA=a），则（r为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球.
11．设双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为直线与轴和双曲线的右支交于、两点，若点平分线段，则该双曲线的离心率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线 的左焦点为,直线的方程为，令，则，即，因为平分线段，根据中点坐标公式可得 ，代入双曲线方程，可得，由于，则，化简可得，解得，由，解得，故选B.
【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.
12．已知函数(为自然对数的底数) ，若函数恰好有两个零点，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出函数和的图像，在恒有一个零点，故与在时相切，计算得到答案.
【详解】
，即，如图所示：画出函数和的图像，
，即，，且，
故在时有且仅有一个零点，故与在时相切.
当，设切点为，，，，
，解得，.
故选：.
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，画出图像确定相切是解题的关键.
二、填空题
13．某市统计局就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示)试根据频率分布直方图求出样本数据的中位数为__________．
【答案】
【解析】确定中位数在之间，设为，则，计算得到答案.
【详解】
根据频率分布直方图知：
，，.
故中位数在之间，设为，则，
解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图求中位数，意在考查学生的计算能力和应用能力.
14．曲线在点处的切线与直线垂直，则________.
【答案】．
【解析】先对函数求导，求出其在点处的切线斜率，进而可求出结果.
【详解】
因为，所以，
因此，曲线在点处的切线斜率为；
又该切线与直线垂直，所以.
故答案为
【点睛】
本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.
15．已知数列 的前n项和为 ，且 则 _____．
【答案】
【解析】根据，则，两式作差，求得，再由，利用等比数列的通项公式，即可求解．
【详解】
由题意，根据，则，
可得，即，即，
又，解得，
∴数列是等比数列，所以．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了根据数列的和的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项和的关系，合理递推作差是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16．已知抛物线的焦点和准线，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则 _________
【答案】
【解析】垂直于准线于，准线与轴交于点，，则，，得到答案.
【详解】
如图所示：垂直于准线于，准线与轴交于点，，则.
，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了抛物线中线段的长度问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
三、解答题
17．在中，角所对的边分别为，且.
（1）求边长；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）根据正弦定理得到，，得到答案.
（2）根据正弦定理得到，，再利用面积公式计算得到答案.
【详解】
由正弦定理及已知得，所以，，
所以，因为，所以.
，且由正弦定理得，
所以，又因为，所以，，，所以.
【点睛】
本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.
18．近年来，随着互联网的发展，诸如“滴滴打车”“神州专车”等网约车服务在我国各：城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难.为掌握网约车在省的发展情况，省某调查机构从该省抽取了个城市，分别收集和分析了网约车的两项指标数，数据如下表所示：
| 城市1 | 城市2 | 城市3 | 城市4 | 城市5 |
指标数 | |||||
指标数 |
经计算得：
（1）试求与间的相关系数，并利用说明与是否具有较强的线性相关关系(若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；
（2）立关于的回归方程，并预测当指标数为时，指标数的估计值.
附：相关公式：，
参考数据：
【答案】（1）0.95，与具有较强的线性相关关系（2）估计值为
【解析】（1）直接利用公式计算得到，得到答案.
（2）计算得到回归方程为，代入数据计算得到答案.
【详解】
，，，
相关系数，
因为，所以与具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由可知，，，
所以与之间线性回归方程为，当时，.
当指标数为时，指标数的估计值为.
【点睛】
本题考查了相关系数，回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19．如图，在四棱锥中，平面，点为中点，底面为梯形，，，.
（1）证明：平面；
（2）若四棱锥的体积为4，求点到平面的距离.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）取中点，连接，，根据平行四边形的性质，证得，再利用线面平行的判定定理，即可证得平面.
（2）设，利用四棱锥的体积，求得，又由平面知，点到平面的距离等于点到平面的距离,过作，证得平面，即可求得答案．
【详解】
（1）如图所示，取中点，连接，，
∵是中点，∴，，
又，，∴，，
∴四边形为平行四边形，∴.
∵平面，平面，∴平面.
（2）设，则，，
由是直角梯形，平面知，
则四棱锥的体积为，解得，
由平面知，点到平面的距离等于点到平面的距离,
过作，垂足为，
由平面，得，
又，∴平面，
∵平面，∴，∴平面.
由，知，
∴到平面的距离为.
【点睛】
本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及点到平面的距离公式的求解，其中解答中熟记线面平行与垂直的判定与证明，以及合理转化点到平面的距离是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及运算与求解能力，属于基础题．
20．已知椭圆的离心率为，右焦点为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过定点的直线交椭圆于两点，连接并延长交于，求证：.
【答案】（1）（2）证明过程详见解析
【解析】（1）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出b，利用离心率求出a，即可求出椭圆C的标准方程；
（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得
， 与椭圆有两个交点，.
设，，直线，的斜率分别为，，利用韦达定理证明
即可.
【详解】
解：（1）依题意可设圆方程为，
圆与直线相切，.，
由解得，
椭圆的方程为.
（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得
，
与椭圆有两个交点，，即.
设，，直线，的斜率分别为，
则，.
，
即.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，圆的圆心与半径的求法，考查分析问题解决问题的能力．
21．已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.
【解析】（1）求出函数的定义域与导数，然后在定义域内分别解不等式和，可得出函数的单调递减区间和单调递增区间；
（2）由，利用参变量分离法得出在恒成立，令，将问题转化为，然后利用导数求出函数在上的最小值，可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，，定义域为，.
令，得；令，得.
因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）不等式恒成立，等价于在恒成立，
令，，则，
令，，.
所以在单调递增，而，
所以时，，即，单调递减；
时，，即，单调递增.
所以在处取得最小值，
所以，即实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究不等式恒成立问题，解题的关键在于利用参变量分离转化为函数的最值来求解，避免了分类讨论，考查化归与转化思想，属于中等题.
22．在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线的极坐标方程是.
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设点.若直与曲线相交于两点,求的值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以，利用 ，即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果.
【详解】
（1）将直线l的参数方程消去参数t并化简，得
直线l的普通方程为.
将曲线C的极坐标方程化为.
即.∴x2+y2=2y+2x.
故曲线C的直角坐标方程为.
（2）将直线l的参数方程代入中，得
.
化简，得.
∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.
由根与系数的关系，得，，即t1，t2同正.
由直线方程参数的几何意义知,
.
【点睛】
本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.
23．已知．
（1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）依据能成立问题知，，然后利用绝对值三角不等式求出的最小值，即求得的取值范围；（2）按照零点分段法解含有两个绝对值的不等式即可。
【详解】
因为不等式有实数解，所以
因为，所以
故。
①当时，，所以，故
②当时，，所以，故
③当时，，所以，故
综上，原不等式的解集为。
【点睛】
本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意在考查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用。
