2020届山西省大同市高三模拟数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】化简得到，再计算模长得到答案.
【详解】
依题意，，故.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的运算、复数的概念，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
2．已知集合，，，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】计算，，再计算得到答案.
【详解】
，则，故，
则的元素个数为3.
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的表示、集合的运算，考查推理论证能力以及化归与转化思想.
3．己知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先将三个数通过指数，对数运算变形，再判断.
【详解】
因为，，
所以，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.
4．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：
小明说：“鸿福齐天”是我制作的；
小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；
小金说：“兴国之路”不是我制作的，
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ）
A．小明 B．小红 C．小金 D．小金或小明
【答案】B
【解析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证.
【详解】
依题意，三个人制作的所有情况如下所示：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
鸿福齐天 | 小明 | 小明 | 小红 | 小红 | 小金 | 小金 |
国富民强 | 小红 | 小金 | 小金 | 小明 | 小红 | 小明 |
兴国之路 | 小金 | 小红 | 小明 | 小金 | 小明 | 小红 |
若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红，
故选：B.
【点睛】
本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.
5．函数在上的图象大致为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；
【详解】
解：依题意，，故函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C；
而，排除B；，排除D.
故选：.
【点睛】
本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.
6．为了了解公司800名员工对公司食堂组建的需求程度，将这些员工编号为1，2，3，…，800，对这些员工使用系统抽样的方法等距抽取100人征求意见，有下述三个结论：①若25号员工被抽到，则105号员工也会被抽到；②若32号员工被抽到，则1到100号的员工中被抽取了10人；③若88号员工未被抽到，则10号员工一定未被抽到；其中正确的结论个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】根据系统抽样的定义和性质，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
将这800人分为100组，每组8人，即分段间隔为8；因为，故①正确；
若32号员工被抽到，则1到100号的员工中被抽取的号码为8，16，24，32，40，48，56，64，72，80，88，96，共计12人，故②错误；
若88号员工未被抽到，则10号员工可能被抽到，故③错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查系统抽样，考查数学建模能力以及必然与或然思想.
7．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由向量垂直的坐标表示求出参数，再由数量积的定义求得向量夹角余弦．
【详解】
依题意，，而，即，解得，则.
故选：B．
【点睛】
本题考查求向量的夹角，掌握数量积的定义和向量垂直的坐标表示是解题关键．
8．若，则=（ ）
A． B．7 C． D．-7
【答案】B
【解析】由两角差的正切公式求出，再用诱导公式化简后可得．
【详解】
，.
故选：B．
【点睛】
本题考查两角差的正切公式，考查诱导公式、同角间的三角函数关系，三角函数化简求值一般是先化简再求值．要观察已知角与未知角的关系以确定选用的公式．
9．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，，，，，，，则图中空白框中应填入（ ）
A．， B． C．， D．，
【答案】A
【解析】依题意问题是，然后按直到型验证即可.
【详解】
根据题意为了计算7个数的方差，即输出的，
观察程序框图可知，应填入，，
故选：A.
【点睛】
本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.
10．己知双曲线的左、右焦点分别为，，点.若线段与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且的面积是的2倍，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨设即为双曲线的焦点到渐近线的距离，故，计算得到，化简得到答案.
【详解】
不妨设即为双曲线的焦点到渐近线的距离，故，
因为的面积是的2倍，故，
不妨设，则直线，故.
而，则，即，故.
故选：B.
【点睛】
本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力.
11．在中，角所对的边分别为.若，，时，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】计算，，利用正弦定理计算得到，再计算面积得到答案.
【详解】
因为，且，解得.
而，所以，
故.
因为，故，
故.
故选：B.
【点睛】
本题考查解三角形，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
12．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，在椭圆上，其中，，若，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据可得四边形为矩形, 设,,根据椭圆的定义以及勾股定理可得,再分析的取值范围,进而求得再求离心率的范围即可.
【详解】
设,,由,,知,
因为,在椭圆上,,
所以四边形为矩形,；
由,可得,
由椭圆的定义可得,①,
平方相减可得②,
由①②得；
令,
令,
所以,
即,
所以,
所以,
所以,
解得.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.
二、填空题
13．曲线在处的切线方程为_________.
【答案】
【解析】求导，计算，得到切线方程.
【详解】
，故，
故所求切线方程为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力.
14．设为正项等比数列的前项和，若，，则____
【答案】
【解析】记数列的公比为，根据等比数列公式计算得到答案.
【详解】
记数列的公比为，显然，则，解得；
而，故，故，解得，故.
故答案为：
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式、前项和公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
15．函数在上的值域为________
【答案】
【解析】化简得到，，得到答案.
【详解】
，
当时，，故，
故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数的图像与性质，考查运算求解能力.
16．己知四棱锥中的外接球的体积为，，平面，四边形为矩形，点在球的表面上运动，则四棱锥体积的最大值为________
【答案】
【解析】设长方体的长、宽、高分别为，且，由于，得到，再计算体积的最大值得到答案.
【详解】
，故，
将四棱锥补成长方体，可知外接球的直径为长方体的体对角线，
设长方体的长、宽、高分别为，且，由于，又，
当且仅当时等号成立，此时，
要使得四棱锥的体积最大，只需点为平面的中心与球心所在的直线与球的交点，又，
故体积的最大值为.
【点睛】
本题考查组合体与球，考查空间想象能力以及计算能力.
三、解答题
17．由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示.
（1）求的值；
（2）求地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数以及中位数；
（3）不经过计算，直接给出地区200家实体店经济损失的平均数与6000的大小关系.
【答案】（1）；（2）众数为3000，中位数为；（3）
【解析】（1）根据概率和为1计算得到答案.
（2）计算众数和中位数得到答案.
（3）直接根据概率分布直方图得到答案.
【详解】
（1）依题意，，解得.
（2）由图可知，地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数为3000，
第一块小矩形的面积，第二块小矩形的面积，
故所求中位数在之间，所求中位数为.
（3）直接根据概率分布直方图得到：.
【点睛】
本题考查频率分布直方图、样本的数字特征，考查运算求解能力以及必然与或然思想.
18．记为等差数列的前项和，且，.
（1）求数列的通项公式以及前项和；
（2）记数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.
【答案】（1），；（2）5
【解析】（1）计算，，得到通项公式和.
（2）化简，利用分组求和法得到，计算得到答案.
【详解】
（1）记数列的公差为，，故，即.
故，故，
.
（2）依题意，，
，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，所以.
故满足的最小正整数的值为5.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、前项和公式、等比数列的前项和公式，考查运算求解能力以及函数与方程思想.
19．四棱锥如图所示，其中四边形是直角梯形，，，平面，，与交于点，直线与平面所成角的余弦值为，点在线段上.
（1）若直线平面，求的值；
（2）若，求点到平面的距离.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）连接，设，根据线面平行得到，得到答案.
（2）在平面内作于点，证明平面，再计算长度得到答案.
【详解】
（1）连接.因为，故.
设，得.
因为平面，平面平面平面，
故，故.
（2）在平面内作于点，因为平面，所以，
又，得平面.
因为平面，所以.
又，所以平面.
因为直线与平面所成角的余弦值为，
即，又，故，
则，而，得，，
即点到平面的距离为.
【点睛】
本题考查空间线面的位置关系、空间几何体的结构特征、空间想象能力以及数形结合思想.
20．己知函数.
（1）判断函数在上的单调性；
（2）若，求证：当时，.
【答案】（1）单调递减；（2）证明见解析
【解析】（1）求导得到，令，证明在上恒成立，得到答案.
（2）先证明当时，，再证明当时，，得到答案.
【详解】
（1），
令，则，
故当时，，当时，，
故，故在上恒成立，故，
即函数在上单调递减.
（2）依题意，.
下面证明：①当时，；②当时，；
，则，所以在上单调递增，
，则，
又，则，
令，则，
由，得的极小值点为，若，则，
则，故，
若，即，则在上单调递减，故.
综上所述，当时，，
则，即.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的性质，考查推理论证能力以及函数与方程思想.
21．己知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.
（1）若线段的中点坐标为，求直线的斜率；
（2）若三点共线，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值，
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设，代入椭圆方程相减得到答案.
（2）设直线，联立方程得到，，得到，计算得到答案.
【详解】
（1）设，则，
两式相减，可得，
即，
解得，即直线的斜率为.
（2）显然直线的斜率不为0，设直线，
联立消去整理得，
显然，故，
故的面积，
令，其中，，
当且仅当，即时等号成立，即面积的最大值为.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的关系、基本不等式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积.
【答案】（1）的极坐标方程为，的直角坐标方程为（2）
【解析】（1）先把曲线的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用 求得极坐标方程.将，化为，再利用 求得曲线的普通方程.
（2）设直线的极角，代入，得，将代入，得，由，得，即，从而求得，，从而求得，再利用求解.
【详解】
（1）依题意，曲线，即，
故，即.
因为，故，
即，即.
（2）将代入，得，
将代入，得，
由，得，得，
解得，则.
又，故，
故的面积.
【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.
23．己知，，.
（1）求证：；
（2）若，求证：.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】（1）采用分析法论证，要证，分式化整式为，再利用立方和公式转化为，再作差提取公因式论证.
（2）由基本不等式得，再用不等式的基本性质论证.
【详解】
（1）要证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证，
该式显然成立，当且仅当时等号成立，
故.
（2）由基本不等式得，
，
当且仅当时等号成立.
将上面四式相加，可得，
即.
【点睛】
本题考查证明不等式的方法、基本不等式，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题..
