2020届山西省长治市高考第一次模拟数学（文）试题（解析版）

2020届山西省长治市高考第一次模拟数学（文）试题  一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】计算，再计算交集得到答案.【详解】,，.故选：C.【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.2．已知为虚数单位，，则复数的虚部为(　 　).A． B． C．2 D．【答案】D【解析】本道题结合复数的运算，化简z，计算虚部，即可．【详解】,故虚部即为i的系数，为-2，故选D．【点睛】本道题看考查了复数的化简，关键在于化简z，属于较容易的题．3．函数的图象（    ）A．关于原点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于点对称【答案】D【解析】令，解得，得到答案.【详解】函数中，令，解得；令得，所以的图象关于原点对称，D正确.代入验证知错误.故选：D.【点睛】本题考查了正切函数的对称中心，意在考查学生的计算能力.4．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，某市农业经济部门派三位专家对、、三个县区进行调研，每个县区派一位专家，则甲专家恰好派遣至县区的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】列出所有情况共有6种，满足条件的有两种情况，得到概率.【详解】某市农业经济部门派三位专家对、、三个县区进行调研，每个县区派一位专家，故调研的情况的基本事件总数为，，，，，，六种情况，甲专家恰好派遣至县区的情况为，，两种情况，则甲专家恰好派遣至县区的概率为：.故选：B.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．已知向量，满足，，，则在上的投影为（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】计算，再根据投影公式计算得到答案.【详解】向量，满足，∴，可得，则在上的投影为.故选：A.【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生的计算能力和对于投影概念的理解..6．已知椭圆与双曲线的焦点相同，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意得到，得到，得到离心率.【详解】椭圆的半焦距，双曲线的半焦距，由题意可得，即，∴椭圆的离心率为.故选：A.【点睛】本题考查了椭圆离心率，双曲线焦点，意在考查学生的计算能力和转化能力.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】该几何体是如图所示的三棱锥，计算体积得到答案.【详解】根据三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥，结合图中数据，计算该三棱锥的体积为：.故选：B.【点睛】本题考查了根据三视图求体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8．已知，满足约束条件，则目标函数的最大值为（    ）A．2 B． C． D．13【答案】D【解析】画出可行域，目标函数的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，计算得到答案.【详解】由已知得到可行域如图：目标函数的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图得知，是距离原点最远的点，由得到，所以目标函数的最大值为.故选：D.【点睛】本题考查了线性规划问题，将目标函数转化为点到原点的距离的平方是解题的关键.9．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113 依此类推，则六十四卦中的“井”卦，符号“”表示的十进制数是（    ）A．11 B．18 C．22 D．26【答案】C【解析】根据题意井卦表示二进制数的010110，计算得到答案.【详解】六十四卦中符号“”表示二进制数的010110，转化为十进制数的计算为.故选：C.【点睛】本题考查了二进制，意在考查学生的计算能力和理解能力.10．执行如图所示的程序框图，若输入的依次为，，，则输出的为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据程序框图知：、、中最大的数用表示后输出，比较大小得到答案.【详解】由题意可知、、中最大的数用表示后输出，若输入的，，依次为，利用指数函数的性质可得，，故最大的数为，故选：A.【点睛】本题考查了程序框图，理解程序框图表示的意义是解题的关键.11．已知动点到点的距离与到轴距离之和为3，动点在直线上，则两点距离的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据定义知动点的轨迹方程为抛物线，计算，根据二次函数性质得到最值.【详解】设动点，当时，到轴距离与到直线的距离之和为3，由抛物线定义得：动点满足：，同理，当时，到轴与到直线的距离之和为3，由抛物线定理得：动点满足：，当到直线距离最小时，，到的距离：，当时，取最小值.故选：B.【点睛】本题考查了抛物线的轨迹方程，距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.  二、填空题12．已知函数，若函数恰有2个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数在原点处的切线斜率为，函数在原点处的切线斜率为，根据图像得到答案.【详解】函数恰有2个零点，即函数与的图象有2个交点，可知直线过原点，函数的导数是，可知函数在原点处的切线斜率为，函数的导数是，可知函数在原点处的切线斜率为，由图象可知，直线的斜率时有2个零点.故选：C.【点睛】本题考查了零点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，画出函数图像是解题的关键.13．cos 75°－cos 15°的值等于_________．【答案】【解析】　原式＝cos(120°－45°)－cos(45°－30°)＝cos 120°cos 45°＋sin 120°sin 45°－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)＝－×＋×－×－×＝－。14．已知定义在上的函数满足，且的图象与的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________.【答案】8【解析】确定的图象关于点对称，函数的图象关于点对称，得到答案.【详解】，故，即的图象关于点对称，又函数满足，则函数的图象关于点对称，所以四个交点的横纵坐标之和为8.故答案为：8.【点睛】本题考查了函数的交点问题，确定函数关于点对称是解题的关键.15．已知球的直径，，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为________.【答案】【解析】设圆心为，连结，，由是球的直径，得到，证明平面，计算体积得到答案.【详解】设圆心为，连结，，由是球的直径，得到，∵，∴，∴平面，∴棱锥的体积为：.故答案为：.【点睛】本题考查了三棱锥的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.16．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值是_________.【答案】【解析】根据正弦定理得到，再根据余弦定理和均值不等式得到，得到面积最值.【详解】因为，由正弦定理可得，，即，所以，因为，所以，由余弦定理可得，，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，即面积的最大值.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 三、解答题17．在公差大于1的等差数列中，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）直接根据等差数列公式和等比中项计算得到答案.（2），根据裂项求和计算得到答案.【详解】（1）设数列的公差为，∵，且，，成等比数列，∴，解得：，则，∴；（2），∴.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，且，，点为线段的中点.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）1【解析】（1）证明，，得到平面，得到证明.（2）根据计算得到答案.【详解】（1）证明：∵平面，∴，又在矩形中，，∴平面，∵平面，∴，又∵，为中点，∴，∴平面，∴；（2）∵点为线段的中点.∴.【点睛】本题考查线线垂直，三棱锥体积，意在考查学生计算能力，推断能力，空间想象能力.19．为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对200名学生做了问卷调查，列联表如下： 参加文体活动不参加文体活动合计学习积极性高80  学习积极性不高 60 合计  200 已知在全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为.（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；（3）若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率.附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 ，其中.【答案】（1）表格见解析；（2）有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关，理由见解析；（3）【解析】（1）计算学习积极性不高的有人，完善列联表得到答案.（2），对比临界值表得到答案.（3）有2人学习积极性高，设为、，有3人学习积极性不高，设为、、，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.【详解】（1）根据题意，全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为，则学习积极性不高的有人，据此可得：列联表如下： 参加文体活动不参加文体活动合计学习积极性高8040120学习积极性不高206080合计100100200  （2）根据题意，由列联表可得：；故有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关；（3）根据题意，从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，有2人学习积极性高，设为、，有3人学习积极性不高，设为、、，从中选取2人，有、、、、、、、、、，共10种情况，其中至少有1人学习积极性不高的有、、、、、、、、，共9种情况，至少有1人学习积极性不高的概率.【点睛】本题考查了列联表，独立性检验，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.20．已知椭圆，点、、在椭圆上，直线与直线的斜率之积.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线点关于直线的对称点是，求证：过点，的直线恒过定点.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）计算，根据得到，得到椭圆方程.（2）直线为，计算得到的坐标，，得到，得到答案.【详解】（1）椭圆，点，，、在椭圆上，直线与直线的斜率之积，得，由，联立得，所以椭圆的标准方程为：；（2）证明：由（1）直线为，设的坐标为，则，解得，故，取点，显然，所以，，三点共线，即直线恒过定点.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）求导得到，讨论和两种情况，分别计算得到答案.（2）时， ，令，求函数的最小值为，得到答案.【详解】（1）函数的定义域为，，若，则，所以在上单调递增；若，令，则，当）时，，单调递减；当时，，单调递增；综上所述，，函数在上单调递增，时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，，即，令，则，令，则，当时，单调递增，，所以当时，单调递减，当时，，单调递增，故，所以的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.22．在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求，的普通方程；（2）设点在曲线上，且对应的，点是曲线上的点，求面积的最大值.【答案】（1），；（2）【解析】（1）直接根据参数方程，极坐标公式转化得到答案.（2），设，则，，计算得到答案.【详解】（1）曲线的方程为（为参数）.转换为直角坐标方程为.曲线的极坐标方程为.转换为直角坐标方程为.（2）点在曲线上，且对应的，故，则转换为极坐标为，设，则，则，当时，.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，三角形面积的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.23．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）讨论，，三种情况，分别计算得到答案.（2）题目转化为恒成立，解得答案.【详解】（1）当时，，由，可得或或，即为或或，则原不等式的解集为或.（2）函数的解析式可得当时，，即，即，可得，即在恒成立，由，可得且，可得.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.