14.2021年高考数学（理）总复习（高考研究课件 高考达标检测 教师用书）第八单元 数 列 （8份打包）

高考达标检测（二十四） 等比数列的3考点——基本运算、判定和应用

一、选择题

1．(2017·山西四校联考)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝(　　)

A．4×n　　　　　　　 　B．4×n－1

C．4×n   D．4×n－1

解析：选B　由题意得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，故a1＝4，a2＝6，所以q＝，an＝4×n－1.

2．(2016·海口调研)设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则的值为(　　)

A.   B.

C．2   D．17

解析：选B　设{an}的公比为q，依题意得＝＝q3，因此q＝.注意到a5＋a6＋a7＋a8＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)，即有S8－S4＝q4S4，因此S8＝(q4＋1)S4，＝q4＋1＝，选B.

3．(2017·重庆诊断)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝3，a9＝a2a3a4，则公比q的值为(　　)

A.   B.

C．2   D．3

解析：选D　由a9＝a2a3a4得a1q8＝aq6，

所以q2＝a，因为等比数列{an}的各项都为正数，所以q＝a1＝3.

4．(2017·江西六校联考)在等比数列{an}中，a5a11＝3，a3＋a13＝4，则＝(　　)

A．3   B．－

C．3或   D．－3或－

解析：选C　由{an}是等比数列得，a5a11＝a3a13＝3，又a3＋a13＝4，解得或故q10＝3或，所以＝＝q10＝3或.

5．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值为(　　)

A．126   B．130

C．132   D．134

解析：选C　设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意可知，lg a3＝b3，lg a6＝b6.

又b3＝18，b6＝12，则a1q2＝1018，a1q5＝1012，∴q3＝10－6，即q＝10－2，∴a1＝1022.

又{an}为正项等比数列，

∴{bn}为等差数列，且公差d＝－2，b1＝22，

故bn＝22＋(n－1)×(－2)＝－2n＋24.

∴数列{bn}的前n项和Sn＝22n＋×(－2)＝－n2＋23n＝－2＋.又n∈N*，故n＝11或12时，(Sn)max＝132.

6．在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选B　当an＝0时，也有an＝2an－1，n＝2,3,4，…，但{an}不是等比数列，因此充分性不成立；当{an}是公比为2的等比数列时，有＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选B.

二、填空题

7．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝________.

解析：设数列{an}的公比为q，则q3＝＝，解得q＝，a1＝＝4. 易知数列        {anan＋1an＋2}是首项为a1a2a3＝4×2×1＝8，公比为q3＝的等比数列，所以a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝＝(1－2－3n)．

答案：(1－2－3n)

8．(2016·辽宁一模)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________.

解析：因为＋＝，＋＝，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，       所以＋＋＋＝＝÷＝－.

答案：－

9．(2017·邢台摸底)若正项数列{an}满足a2＝，a6＝，且＝(n≥2，n∈N*)，则log2a4＝________.

解析：由＝(n≥2，n∈N*)可得数列{an}是等比数列，所以a＝a2a6＝，又a4>0，则a4＝，故log2a4＝log2＝－3.

答案：－3

三、解答题

10．(2016·全国丙卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

(2)若S5＝，求λ.

解：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，

故λ≠1，a1＝，故a1≠0.

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，

即an＋1(λ－1)＝λan.

由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，

于是an＝n－1.

(2)由(1)得Sn＝1－n.

由S5＝得1－5＝，即5＝.

解得λ＝－1.

11．设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn＝m＋1－man(m为常数，且m>0)．

(1)求证：数列{an}是等比数列；

(2)设数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝2a1，bn＝f(bn－1)(n≥2，n∈N*)，求数列{bn}的通项公式．

解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝m＋1－ma1，

解得a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝man－1－man，

即(1＋m)an＝man－1.

又m为常数，且m>0，∴＝(n≥2)．

∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．

(2)由(1)得，q＝f(m)＝，b1＝2a1＝2.

∵bn＝f(bn－1)＝，

∴＝＋1(n≥2)，

即－＝1(n≥2)．

∴数列是首项为，

公差为1的等差数列．

∴＝＋(n－1)·1＝，

即bn＝(n∈N*)．

12．已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列．

(1)求等比数列{an}的通项公式；

(2)对n∈N*，在an与an＋1之间插入3n个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：(1)因为a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列，

所以a5＋S5－a4－S4＝a6＋S6－a5－S5，

即2a6－3a5＋a4＝0，

所以2q2－3q＋1＝0，

因为q≠1，所以q＝，

所以等比数列{an}的通项公式为an＝.

(2)由题意得bn＝·3n＝×n，

所以Tn＝×＝.