1.2021年高考数学（理）总复习（高考研究课件 高考达标检测 教师用书）选修4—5 不等式选讲 （5份打包）
展开高考达标检测（五十九）绝对值不等式
1．(2017·唐山模拟)已知函数f(x)＝| 2x－a |＋| x＋1 |.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)<3；
(2)若f(x)的最小值为1，求a的值．
解：(1)因为f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝且f (1)＝f (－1)＝3，
所以f(x)<3的解集为{x|－1<x<1}．
(2)| 2x－a |＋| x＋1 |＝＋|x＋1|＋≥＋0＝，
当且仅当(x＋1)≤0且x－＝0时，取等号．
所以＝1，
解得a＝－4或0.
2．(2017·沈阳模拟)设函数f(x)＝| 2x＋1 |－| x－4 |.
(1)解不等式f (x)>0；
(2)若f(x)＋3| x－4 |>m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x≥4时，f(x)＝2x＋1－(x－4)＝x＋5>0，得x>－5，所以x≥4.
当－≤x＜4时，f(x)＝2x＋1＋x－4＝3x－3>0，得x>1，所以1<x<4.
当x<－时，f(x)＝－x－5>0，得x<－5，
所以x<－5.
综上，原不等式的解集为(－∞，－5)∪(1，＋∞)．
(2) f(x)＋3|x－4|＝|2x＋1|＋2|x－4|≥|2x＋1－(2x－8)|＝9，
当－ ≤ x ≤4时等号成立，
所以m<9，即m的取值范围为(－∞，9)．
3．设函数f(x)＝| x－1 |＋| x－2 |.
(1)求证：f(x)≥1；
(2)若f(x)＝成立，求x的取值范围．
解：(1)证明：f(x)＝| x－1 |＋| x－2 |≥|( x－1 )－( x－2 )|＝1.
(2)∵＝＝＋≥2，
当且仅当a＝0时等号成立，
∴要使f (x)＝成立，只需| x－1 |＋| x－2 |≥2，
即或或
解得x≤ 或x≥ ，
故x的取值范围是∪.
4．(2017·郑州二检)已知函数f (x)＝| 3x＋2 |.
(1)解不等式f (x)<4－| x－1 |；
(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若| x－a |－f (x)≤＋(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋| x－1|<4.
当x<－时，即－3x－2－x＋1<4，
解得－ <x<－；
当－≤x≤1时，即3x＋2－x＋1<4，
解得－≤x<；
当x>1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．
综上所述，x∈.
(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，
当且仅当m＝n＝时等号成立．
令g(x)＝| x－a |－f(x)＝| x－a |－| 3x＋2 |＝
∴x＝－时，g (x)max＝＋a，要使不等式恒成立，
只需g (x)max＝＋a ≤4，即0 <a ≤.
所以实数a的取值范围是.
5．(2016·山西考前质量检测)设函数f(x)＝| x－3 |＋| 2x－4 |－a.
(1)当a＝6时，求不等式f(x)>0的解集；
(2)如果关于x的不等式f(x)<0的解集不是空集，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝6时，f (x)＝| x－3 |＋| 2x－4 |－6，
由f(x)>0，可得或
或
解得x< 或x> .
故f(x)>0的解集为∪.
(2)∵|x－3|＋|2x－4|<a的解集不是空集，
|x－3|＋|2x－4|＝
∴( |x－3 |＋| 2x－4 |)min＝1，
∴a>1.
故实数a的取值范围为(1，＋∞)．
6．(2016·南宁模拟)已知函数f(x)＝| x－a |.
(1)若f(x)≤m的解集为[－1,5]，求实数a，m的值；
(2)当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f ( x)＋t≥f (x＋2)．
解：(1)∵| x－a |≤m，
∴－m＋a≤x≤m＋a.
∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，
∴a＝2，m＝3.
(2)f (x)＋t ≥f (x＋2)可化为| x－2 |＋t≥| x |.
当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，
∵0≤t≤2，∴x∈(－∞，0)；
当x∈[ 0,2 )时，2－x＋t≥x，x≤1＋，0≤x≤1＋，
∵1≤1＋≤2，
∴0≤t＜2时，0≤x≤1＋，t＝2时，0≤x＜2；
当x∈[ 2，＋∞)时，x－2＋t ≥ x，t≥2，
当0≤t＜2时，无解，
当t＝2时，x∈[2，＋∞)，
∴当0≤t＜2时原不等式的解集为；
当t＝2时x∈R.
7．(2017·九江模拟)已知函数f(x)＝| x－3 |－| x－a |.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)≤－；
(2)若存在实数a，使得不等式f(x)≥a成立，求实数a的取值范围．
解：(1)∵a＝2，
∴f(x)＝|x－3|－|x－2|＝
∴f(x)≤－等价于或或
解得≤x＜3或x≥3，
∴不等式的解集为.
(2)由不等式性质可知f(x)＝|x－3|－|x－a|≤|(x－3)－(x－a)|＝|a－3|，
∴若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，则|a－3|≥a，解得a≤，
∴实数a的取值范围是.
8．(2017·石家庄模拟)设f(x)＝| ax－1 |.
(1)若f(x)≤2的解集为[－6,2]，求实数a的值；
(2)当a＝2时，若存在x∈R，使得不等式f (2x＋1)－f (x－1)≤7－3m成立，求实数m的取值范围．
解：(1)显然a≠0，
当a＞0时，解集为，
则－＝－6，＝2，无解；
当a＜0时，解集为，
则－＝2，＝－6，
得a＝－.
综上所述，a＝－.
(2)当a＝2时，令h(x)＝f(2x＋1)－f(x－1)＝|4x＋1|－|2x－3|＝
由此可知，h(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，则当x＝－时，h(x)取到最小值－，
由题意知，－≤7－3m，解得m≤，故实数m的取值范围是.
