5.2021年高考数学（理）总复习（高考研究课件 高考达标检测 教师用书）第十七单元 概率 （6份打包）

高考达标检测（四十九）古典概型命题2类型——简单事件、复杂事件

一、选择题

1．(2016·北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选B　设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P＝＝.

2．(2017·豫东名校联考)在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝.

3．(2016·昆明一模)小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　语文、数学只有一科的两本书相邻，有2AAA＝48种摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有AAA＝24种摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有A＝120种摆放方法．故所求概率为1－＝.故选B.

4．(2017·泉州质检)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是(　　)

A.   B.

C.    D.

解析：选C　由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个．当b＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P＝＝.

5．(2014·全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)

A.    B.

C.    D.

解析：选D　由题知所求概率P＝＝，选D.

6．一袋中装有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从袋中一次性随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　法一：从袋中一次性随机摸出2只球的所有可能情况有C＝6种，设“这2只球颜色不同”为事件N，这2只球颜色可能为1白1红，1白1黄，1红1黄，事件N包含的情况有CC＋CC＋CC＝5种，故这2只球颜色不同的概率P(N)＝.

法二：从袋中一次性随机摸出2只球的所有可能情况有C＝6种，设“这2只球颜色不同”为事件N，则事件为“这2只球颜色相同”，根据题意可知，若2只球的颜色相同，则这2只球只能是黄球，又这2只球为黄球的概率P()＝＝，故这两只球颜色不同的概率P(N)＝1－P()＝，故选D.

7．设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋mx＋n＝0有实根的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　先后两次出现的点数中有5的情况有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种．其中使方程x2＋mx＋n＝0有实根的情况有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种．故所求概率为.

8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　对函数f(x)求导可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，

要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，

即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b.

又(a，b)的取法共有9种，其中满足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，

故所求的概率P＝＝.

二、填空题

9．(2016·浙江镇海中学调研)由数字0,1,2,3组成一个没有重复数字，且不被10整除的四位数，则两个偶数不相邻的概率是________．

解析：由题可得，满足条件的四位数有1 023,1 032,1 203，1 302，2 013,2 031,2 103,2 301, 3 012,3 021,3 102,3 201，共12个．其中两个偶数不相邻的有1 032,2 103,2 301，3 012，共4个．故满足条件的概率为P＝＝.

答案：

10．(2016·亳州质检)已知集合M＝{1,2,3,4)，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M)，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是________．

解析：易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为＝.

答案：

11．(2017·昆明模拟)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．

解析：抛掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．点数积等于12的结果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4种，故所求事件的概率为＝.

答案：

12．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线－＝1的离心率e>的概率是________．

解析：由e＝ >，得b>2a.

当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；

当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．

又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．

∴所求事件的概率P＝＝.

答案：

三、解答题

13．设a∈{2,4}，b∈{1,3}，函数f(x)＝ax2＋bx＋1.

(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；

(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率．

解：(1)f′(x)＝ax＋b，由题意f′(－1)≤0，即b≤a，

而(a，b)共有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)四种，满足b≤a的有3种，故概率为.

(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．

∵函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，

∴这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足，

∴概率为.

14．(2016·山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

①若xy≤3，则奖励玩具一个；

②若xy≥8，则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶．

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．

(1)求小亮获得玩具的概率；

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．

因为S中元素的个数是4×4＝16，

所以基本事件总数n＝16.

(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．

所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.

(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.

则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P(B)＝＝.

事件C包含的基本事件数共5个，

即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．

所以P(C)＝.因为＞，

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．