2.2021年高考数学（理）总复习（高考研究课件 高考达标检测 教师用书）选修4—4 坐标系与参数方程 （5份打包）

高考达标检测（五十八） 参数方程

1．(2017·吉林实验中学)已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数)．

(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；

(2)设A(1,0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其直线l的距离相等，求点P的坐标．

解：(1)椭圆C的参数方程为：(θ为参数)，

直线l的普通方程为x－y＋9＝0.

(2)设P(2cos θ，sin θ)，

则|AP|＝ ＝2－cos θ，

P到直线l的距离

d＝＝.

由|AP|＝d，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，

得sin θ＝，cos θ＝－.

故P.

2．已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：(θ为参数)．

(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)的距离的最小值．

解：(1)曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：＋＝1，

曲线C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；

曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，

故M－2＋4cos θ，2＋sin θ.

曲线C3为直线x－2y－7＝0，

M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|，

从而当cos θ＝，sin θ＝－时，d取最小值.

3．(2017·辽宁五校联考)倾斜角为α的直线l过点P(8,2)，直线l和曲线C：(θ为参数)交于不同的两点M1，M2.

(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并写出直线l的参数方程；

(2)求|PM1|·|PM2|的取值范围．

解：(1)曲线C的普通方程为＋＝1，

直线l的参数方程为(t为参数)．

(2)将l的参数方程代入曲线C的方程得：

(8＋tcos α)2＋8(2＋tsin α)2＝32，

整理得(8sin2α＋cos2α)t2＋(16cos α＋32sin α)t＋64＝0，

由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin2α＋cos2α)>0，

得cos α>sin α，故α∈，

∴|PM1|·|PM2|＝|t1t2|＝∈.

4．(2017·山西模拟)在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin.现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．

(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P(－2，－3)，求|PA|·|PB|的值．

解：(1)ρ＝4sin＝4sin θ＋4cos θ，

所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，

所以x2＋y2－4x－4y＝0，

即(x－2)2＋(y－2)2＝8；

直线l的普通方程为x－y＋2－3＝0.

(2)把直线l的参数方程代入到圆C：

x2＋y2－4x－4y＝0中，

得t2－(4＋5)t＋33＝0，

设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝33.

点P(－2，－3)显然在直线l上，

由直线标准参数方程下t的几何意义知

|PA|·|PB|＝|t1t2|＝33，

所以|PA|·|PB|＝33.

5．(2017·贵州模拟)极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C2的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－与曲线C1分别交于(不包括极点O)点A，B，C.

(1)求证：|OB|＋|OC|＝|OA|；

(2)当φ＝时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．

解：(1)证明：依题意|OA|＝4cos φ，

|OB|＝4cos，

|OC|＝4cos，

则|OB|＋|OC|＝4cos＋4cos

＝2(cos φ－sin φ)＋2(cos φ＋sin φ)

＝4cos φ＝|OA|.

(2)当φ＝时，B，C两点的极坐标分别为，，化为直角坐标为B，C，所以经过点B，C的直线方程为y－＝－(x－1)，而C2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m＝2，α＝.

6．(2017·唐山模拟)将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的  倍(纵坐标不变)得到曲线C2，点A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.

(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；

(2)求|AC|－|BD|.

解：(1)由题意可得C2：＋y2＝1，

l：(t为参数)．

(2)将代入＋y2＝1，

整理得5t2＋4t－4＝0.

设点C，D对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝－，

且|AC|＝t1，|AD|＝－t2.

又|AB|＝2|OA|cos 30°＝，

故|AC|－|BD|＝|AC|－

＝|AC|－|AD|＋|AB|

＝t1＋t2＋＝.

7．(2016·长春模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cos.

(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；

(2)若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．

解：(1)对于曲线C2有ρ＝8cos，

即ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，

因此曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＝0，

即(x－2)2＋(y－2)2＝16，其表示一个圆．

(2)将C1的参数方程代入C2的方程可得，

t2－2sin α·t－13＝0，

设A，B对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝2sin α，t1t2＝－13.

所以|AB|＝|t1－t2|＝

＝

＝，

因此|AB|的最大值为8，最小值为2.

8．(2017·云南一模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝.

(1)直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；

(2)设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．

解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0.

曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3.

(2)∵曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3，

即x2＋＝1，

∴曲线C上的点的坐标可表示为(cos α，sin α)．

∴d＝

＝

＝.

∴d的最小值为＝，

d的最大值为＝.

∴≤d≤，

即d的取值范围为.