2019年全国各地中考数学真题分类汇编 专题38 方案设计(含解析)

专题训练38 方案设计

一.选择题

1. （2019•黑龙江省绥化市•3分）小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（　　）

A．5种 B．4种 C．3种 D．2种

答案：C

考点：二元一次方程，不等式。

解析：设A种玩具的数量为x，B种玩具的数量为y，

则，

即，

满足条件：x≥1，y≥1，x＞y，

当x＝2时，y＝4，不符合；

当x＝4时，y＝3，符合；

当x＝6时，y＝2，符合；

当x＝8时，y＝1，符合；

共3种购买方案。

2. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•3分）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（　　）

A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

【分析】设购买A品牌足球x个，购买B品牌足球y个，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可求出结论．

【解答】解：设购买A品牌足球x个，购买B品牌足球y个，

依题意，得：60x+75y＝1500，

∴y＝20﹣x．

∵x，y均为正整数，

∴，，，，

∴该学校共有4种购买方案．

故选：B．

二.填空题

三.解答题

1．（2019•山东青岛•8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．

（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？

（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？

【分析】（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，根据甲比乙少用5天，列分式方程求解；

（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，根据3000个零件，列方程；根据总加工费不超过7800元，列不等式，方程和不等式综合考虑求解即可．

【解答】解：（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，由题意得：＝+5

化简得600×1.5＝600+5×1.5x

解得x＝40

∴1.5x＝60

经检验，x＝40是分式方程的解且符合实际意义．

答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件．

（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，则由题意得

由①得y＝75﹣1.5x③

将③代入②得150x+120（75﹣1.5x）≤7800

解得x≥40，

当x＝40时，y＝15，符合问题的实际意义．

答：甲至少加工了40天．

【点评】本题是分式方程与不等式的实际应用题，题目数量关系清晰，难度不大．

2．（2019•山东青岛•10分）问题提出：

如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．

探究一：

把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．

探究二：

把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的 2 2×方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．

探究三：

把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到　（a﹣1）　个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　（4a﹣4）　种不同的放置方法．

探究四：

把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到　（2a﹣2）　个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　（8a﹣8）　种不同的放置方法．

……

问题解决：

把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）

问题拓展：

如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到　8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）　个图⑦这样的几何体．

【分析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．

【解答】解：探究三：

根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的 2×2方格，

根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）×4＝（4a﹣4）种不同的放置方法；

故答案为a﹣1，4a﹣4；

探究四：

与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a﹣1）条边长为2的线段，

同理，边长为3，则有3﹣1＝2条边长为2的线段，

所以在a×3的方格中，可以找到2（a﹣1）＝（2a﹣2）个位置不同的2×2方格，

根据探究一，在在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a﹣2）×4＝（8a﹣8）种不同的放置方法．

故答案为2a﹣2，8a﹣8；

问题解决：

在a×b的方格纸中，共可以找到（a﹣1）（b﹣1）个位置不同的2×2方格，

依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a﹣1）（b﹣1）种不同的放置方法；

问题拓展：

发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，

这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a﹣1）、（b﹣1）、（c﹣1）条边长为2的线段，

所以在a×b×c的长方体共可以找到（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）位置不同的2×2×2的正方体，

再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，

所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）个图⑦这样的几何体；

故答案为8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）．

【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．3.