2019年全国各地中考数学真题分类汇编 专题35 尺规作图(含解析)

专题训练35 尺规作图

一.选择题

1. （2019•广西北部湾•3分）如图, 在△ABC中，AC=BC, ∠A=400 ，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（　　）

A． 400        B． 450             C．500                D．600

【答案】C

【解析】

解：由作法得CG⊥AB，

∵AB=AC，

∴CG平分∠ACB，∠A=∠B，

∵∠ACB=180°-40°-40°=100°，

∴∠BCG=∠ACB=50°．

故选：C．

利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A=∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数．

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质．

2. （2019·贵州贵阳·3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（　　）

A．2 B．3 C． D．

【分析】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC＝3，然后利用勾股定理计算CE的长．

【解答】解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，

AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，

在Rt△ACE中，CE＝＝．

故选：D．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．

3. （2019•河北省•3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）

A．B． C．D．

C．【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．

4．（2019•山东潍坊•3分）如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：

①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．

②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．

③连接OE交CD于点M．

下列结论中错误的是（　　）

A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MD 

C．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED＝CD•OE

【分析】利用基本作图得出角平分线的作图，进而解答即可．

【解答】解：由作图步骤可得：OE是∠AOB的角平分线，

∴∠CEO＝∠DEO，CM＝MD，S四边形OCED＝CD•OE，

但不能得出∠OCD＝∠ECD，

故选：C．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．

5．(2019•湖北宜昌•3分)通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是(     )

A．               B．               C．                 D．

【考点】尺规作图．

【分析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．

【解答】解：作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．由此可知，选项A符合条件，故选A．

【点评】本题考查尺规作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．

6．(2019•湖南益阳•4分)已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(　　)

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

【考点】尺规作图．

【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．

【解答】解：如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选B．

【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．

二.填空题

三.解答题

1.（2019•湖北省仙桃市•6分）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．

（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；

（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．

【分析】（1）连接AC，AC所在直线即为对称轴m．

（2）延长BA，CD交于一点，连接AC，BC交于一点，连接两点获得垂直平分线n．

【解答】解：（1）如图①，直线m即为所求

（2）如图②，直线n即为所求

【点评】本题考查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即可画出直线．

2.（2019•四川省达州市•7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．

（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．

①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；

②过点D作BC的垂线，垂足为点E．

（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．

【分析】（1）利用基本作图，先画出CD平分∠ACB，然后作DE⊥BC于E；

（2）利用CD平分∠ACB得到∠BCD＝45°，再判断△CDE为等腰直角三角形，所以DE＝CE，然后证明△BDE∽△BAC，从而利用相似比计算出DE．

【解答】解：（1）如图，DE为所作；

（2）∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD＝∠ACB＝45°，

∵DE⊥BC，

∴△CDE为等腰直角三角形，

∴DE＝CE，

∵DE∥AC，

∴△BDE∽△BAC，

∴＝，即＝，

∴DE＝．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

3. （2019•黑龙江省绥化市•6分）按要求解答下列各题：

（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在△ABC的边AC上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上，且在港口C的北偏西45°方向上．测得AB＝40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）

考点：角平分线的作法，三角函数。

解析：

4. （2019•甘肃庆阳•8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．

（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝　25π　．

【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．

（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．

【解答】解：（1）如图⊙O即为所求．

（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．

由题意OE＝4，BE＝EC＝3，

在Rt△OBE中，OB＝＝5，

∴S圆O＝π•52＝25π．

故答案为25π．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

5. （2019•广东广州•12分）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．

（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．

【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．

（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题．

【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．

（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x．

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴BC＝＝＝6，

∵BC＝CD，

∴＝，

∴OC⊥BD于E．

∴BE＝DE，

∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2，

∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，

解得x＝，

∵BE＝DE，BO＝OA，

∴AD＝2OE＝，

∴四边形ABCD的周长＝6+6+10+＝．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．

6．（2019•山东青岛•4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：∠α，直线l及l上两点A，B．

求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．

【分析】先作∠DAB＝α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点．

【解答】解：如图，△ABC为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

7．(2019•浙江丽水•8分)如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF(E，F均为格点)，各画出一条即可．

【考点】网格作图．

【分析】从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F；EC＝，EF＝，FC＝，借助勾股定理确定F点．

【解答】解：如图：

从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F，则EG平分BC；

EC＝，EF＝，FC＝，借助勾股定理确定F点，则EF⊥AC；

借助圆规作AB的垂直平分线即可．

【点评】本题考查三角形作图；在格点中利用勾股定理，三角形的性质作平行、垂直、中点是解题的关键．