2019年全国各地中考数学真题分类汇编 专题32 正多边形与圆(含解析)

专题训练32 正多边形与圆

一.选择题

1.（2019•湖北省荆门市•3分）如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（　　）

A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定

【分析】连接BI，如图，根据三角形内心的性质得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根据圆周角定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明∠4＝∠DBI，从而可判断DI＝DB．

【解答】解：连接BI，如图，

∵△ABC内心为I，

∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，

∵∠3＝∠1，

∴∠3＝∠2，

∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，

即∠4＝∠DBI，

∴DI＝DB．

故选：A．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．

2. （2019·贵州贵阳·3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【分析】根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，

∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，

故选：A．

【点评】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．

3. （2019•河北省•3分）下列图形为正多边形的是（　　）

A． B． C． D．

D．【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，

4. ．（2019•黑龙江省绥化市•3分）下列命题是假命题的是（　　）

A．三角形两边的和大于第三边 

B．正六边形的每个中心角都等于60° 

C．半径为R的圆内接正方形的边长等于R 

D．只有正方形的外角和等于360°

答案：D

考点：命题真假判断，三角形，正多边形的性质。

解析：三角形两边的和大于第三边，A正确；

正六边形6条边对应6个中心角，每个中心角都等于＝60°，B正确；

半径为R的圆内接正方形中，对角线长为圆的直径，即为2R，设边长等于x，

则：，解得边长为：x＝R，C正确；

任何凸n（n≥3）边形的外角和都为360°，所以，D为假命题。

5．（2019黑龙江省绥化3分）下列命题是假命题的是（　　）

A．三角形两边的和大于第三边 

B．正六边形的每个中心角都等于60° 

C．半径为R的圆内接正方形的边长等于R 

D．只有正方形的外角和等于360°

答案：D

考点：命题真假判断，三角形，正多边形的性质。

解析：三角形两边的和大于第三边，A正确；

正六边形6条边对应6个中心角，每个中心角都等于＝60°，B正确；

半径为R的圆内接正方形中，对角线长为圆的直径，即为2R，设边长等于x，

则：，解得边长为：x＝R，C正确；

任何凸n（n≥3）边形的外角和都为360°，所以，D为假命题。

6. (2019湖北咸宁市3分)若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（　　）

A．45° B．60° C．72° D．90°

【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的一个外角．

【解答】解：∵正多边形的内角和是540°，

∴多边形的边数为540°÷180°+2＝5，

∵多边形的外角和都是360°，

∴多边形的每个外角＝360÷5＝72°．

故选：C．

【点评】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．

二.填空题

1.（2019•四川省广安市•3分）如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则∠AFE＝　72　度．

【分析】根据五边形的内角和公式求出∠EAB，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．

【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠EAB＝∠ABC＝，

∵BA＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA＝36°，

同理∠ABE＝36°，

∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝36°+36°＝72°．

故答案为：72

【点评】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键．

2. （2019•海南省•4分）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为　144　度．

【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．

【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠E＝∠A＝＝108°．

∵AB、DE与⊙O相切，

∴∠OBA＝∠ODE＝90°，

∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，

故答案为：144．

【点评】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．

3．（2019•山东青岛•3分）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是　54　°．

【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF＝90°，根据五边形的内角和得到∠ABC＝∠C＝108°，求得∠ABD＝72°，由圆周角定理得到∠F＝∠ABD＝72°，求得∠FAD＝18°，于是得到结论．

【解答】解：连接AD，

∵AF是⊙O的直径，

∴∠ADF＝90°，

∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，

∴∠ABC＝∠C＝108°，

∴∠ABD＝72°，

∴∠F＝∠ABD＝72°，

∴∠FAD＝18°，

∴∠CDF＝∠DAF＝18°，

∴∠BDF＝36°+18°＝54°，

故答案为：54．

【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解

三.解答题

1. （2019•贵州省铜仁市•12分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．

（1）求证：FG是⊙O的切线；

（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OF，AO，

∵AB＝AF＝EF，

∴＝＝，

∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，

∵OB＝OF，

∴∠OBF＝∠BFO＝30°，

∴∠ABF＝∠OFB，

∴AB∥OF，

∵FG⊥BA，

∴OF⊥FG，

∴FG是⊙O的切线；

（2）解：∵＝＝，

∴∠AOF＝60°，

∵OA＝OF，

∴△AOF是等边三角形，

∴∠AFO＝60°，

∴∠AFG＝30°，

∵FG＝2，

∴AF＝4，

∴AO＝4，

∵AF∥BE，

∴S△ABF＝S△AOF，

∴图中阴影部分的面积＝＝．

2．(2019•浙江丽水•10分)如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．

(1)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；

(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；

(3)平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．

【考点】正多边形与反比例函数．

【分析】(1)过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝2，G是CD的中点，所以P(2，)；

(2)易求D(3，0)，E(4，)，待定系数法求出DE的解析式为y=x－3，联立反比例函数与一次函数即可求点Q；

(3)E(4，)，F(3，2)，将正六边形向左平移两个单位后，E(2，)，F(1，2)，则点E与F都在反比例函数图象上；

【解答】解：(1)过点P作x轴垂线PG，连接BP，

∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，

∴BP＝2，G是CD的中点，∴PG＝，∴P(2，)，

∵P在反比例函数y＝上，∴k＝2，∴y＝，

由正六边形的性质，A(1，2)，∴点A在反比例函数图象上；

(2)D(3，0)，E(4，)，

设DE的解析式为y＝mx+b，

∴，∴，∴y＝x－3，

联立方程解得x＝，

∴Q点横坐标为；

(3)E(4，)，F(3，2)，

将正六边形向左平移两个单位后，E(2，)，F(1，2)，

则点E与F都在反比例函数图象上．

【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标将结合是解题的关系．