数学选修1-23.2复数代数形式的四则运算备课课件ppt

这是一份数学选修1-23.2复数代数形式的四则运算备课课件ppt，共51页。PPT课件主要包含了z2·z1，z1z2+z1z3，ac且b-d，ac且b-d≠0，失误案例，解析选A等内容，欢迎下载使用。

【自主预习】1.复数代数形式的乘法法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2=(a+bi)(c +di)= _________________.
(ac-bd)+(ad+bc)i
2.复数乘法的运算律对任意复数z1,z2,z3∈C,有
3.共轭复数已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则(1)z1,z2互为共轭复数的充要条件是__________.(2)z1,z2互为共轭虚数的充要条件是_____________.
4.复数代数形式的除法法则(a+bi)÷(c+di)= ________________(a,b,c,d∈R,c+di≠0).
【即时小测】1.在复平面内,复数 对应的点的坐标为　(　　)A.(1,3) B.(3,1)C.(-1,3) D.(3,-1)【解析】选A. 所以其对应点的坐标为(1,3).
2.设i是虚数单位,若复数a- (a∈R)是纯虚数,则a的值为　(　　)A.-3B.-1C.1D.3【解析】选D.因为 =(a-3)-i,由纯虚数的定义,知a-3=0,所以a=3.
3.设z= +i,则|z|=　(　　) 【解析】选B.因为 所以
4.若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x=________, y=________.【解析】由题意得: 答案:-1　1
【知识探究】探究点1　复数代数形式的乘除运算1.a∈R,z∈C,a2=|a2|与z2=|z|2都成立吗?提示:a2=|a2|成立;z2=|z|2不一定成立.例如z=i,z2=-1,|z|2=1,z2≠|z|2.
2.z2=|z2|成立的条件是什么?提示:当且仅当z∈R时,z2=|z|2成立.
【归纳总结】1.复数的乘法的三点说明(1)类比多项式运算:复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似,可仿多项式乘法进行,但结果要将实部、虚部分开(i2换成-1).
(2)运算律:多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立,乘法公式也适用.(3)常用结论:①(a±bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R);②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);③(1±i)2=±2i.
2.对复数除法的两点说明(1)实数化:分子、分母同乘以分母的共轭复数c-di,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似.
(2)代数式:注意最后结果要将实部、虚部分开.特别提醒:复数的除法类似于根式的分母有理化.
探究点2　共轭复数1.若z≠0且z+ =0,则z是否为纯虚数?提示:是纯虚数,因为z≠0,又实数的共轭是它本身,则由z≠0且z+ =0知z不是实数,设z=a+bi, =a-bi(a,b ∈R, b≠0)和z+ =2a=0,所以a=0,故z为纯虚数.利用这个性质,可证明一个复数为纯虚数.
2.复数共轭的共轭是否为复数本身?提示:根据复数的概念,复数共轭的共轭是复数本身.
【归纳总结】1.共轭复数的注意点(1)结构特点:实部相等,虚部互为相反数.(2)几何意义:在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴对称.
2.共轭复数的性质(1)实数的共轭复数是它本身,即z∈R⇔ (2)相关结论: ③ 易错警示:注意共轭复数在复平面内对应点的对称关系.
类型一　复数代数形式的乘法运算【典例】1.(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=　(　　)A.-1B.0C.1D.2
2.已知复数z1= (1+i)(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.
【解题探究】1.本例1中解题的关键点是什么?提示:根据复数相等求解·z2是实数的含义是什么?提示:虚部为零.
【解析】1.选B.由题意得4a+(a2-4)i=-4i,所以4a=0,a2-4=-4,解得a=0,故选 (1+i)=2-i,设z2=a+2i,a∈R,则z1·z2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i,因为z1·z2∈R,所以a=4,所以z2=4+2i.
【延伸探究】将本例2中z1·z2是实数改为“z1·z2是纯虚数”,其他条件不变,求z2.【解析】由例题知 解得a=-1所以z2=-1+2i.
【方法技巧】复数的乘法运算法则的应用(1)复数的乘法运算可以把i看作字母,类比多项式的乘法进行,注意要把i2化为-1,进行最后结果的化简.(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法,用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.
【变式训练】(2015·重庆高考)设复数a+bi(a,b∈R)的模为 ,则(a+bi)(a-bi)=__________.【解题指南】本题直接利用复数的模的概念及乘法运算求解即可.
【解析】因为复数a+bi(a,b∈R)的模为 所以(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2=3.答案:3
类型二　共轭复数【典例】(2016·兰州高二检测)把复数z的共轭复数记作 ,已知(1+2i) =4+3i,求z.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi,由已知得:(1+2i)(a-bi)=(a+2b)+(2a-b)i=4+3i,由复数相等的定义知, 得a=2,b=1,所以z=2+i.
【延伸探究】1.若把本例条件改为 (z+2)=4+3i,求z.【解析】设z=x+yi(x,y∈R).则 =x-yi,由题意知,(x-yi)(x+yi+2)=4+3i.
2.若把本例条件改为(1+2i)z=4+3i,求z.【解析】设z=x+yi,则(1+2i)(x+yi)=4+3i,得 所以z=2-i.
【方法技巧】处理与共轭复数有关问题的思路当已知条件为含有一个或多个复数z(或其共轭复数)的等式时,常设出复数的代数形式,利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解.
【补偿训练】(2015·广东高考)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则 =　(　　)A.3-2i　　B.3+2i　　C.2+3i　　D.2-3i【解题指南】可先求出z,再利用共轭复数的概念实部相同,虚部互为相反数求出结果.【解析】选D.因为z=i(3-2i)=2+3i,所以 =2-3i.
类型三　复数代数形式的除法运算【典例】1.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是 则复数 对应的点位于　(　　)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
2.计算:(1) (2)
【解题探究】1.典例1中复数z1,z2的代数形式为什么?提示:由复数的几何意义知,z1=-2-i,z2=i.2.观察典例2式子的特征,应如何计算?提示:先化简,再运算.
【解析】1.选B.由复数的几何意义知,z1=-2-i,z2=i,所以 对应的点在第二象限.2.(1)方法一:
方法二： (2)原式= =(2i)3·i+(-2i)3·(-i)- =8+8-16-16i=-16i.
【方法技巧】复数除法运算法则的应用(1)复数的除法先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则只需同时乘以i).
(2)对于复数的运算,除了应用四则运算法则之外,对于一些简单的算式要知道其结果,这样起点就高,计算过程就可以简化,达到快速、简捷、出错少的效果.比如下列结果,要记住: ④a+bi=i(b-ai).
易错警示:除数是虚数的复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数,再按复数的乘法进行运算,最后化简.
【变式训练】 【解析】
【补偿训练】(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足 =i,则|z|=　(　　)
【解题指南】将 =i化为z=a+bi(a,b∈R)的形式,利用|z|= 求解.【解析】选A.因为 =i,所以 故|z|=1.
自我纠错　复数代数形式的除法【典例】(2016·西安高二检测)复数 等于 ( )
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错解中有两处错的地方:因为i3=-i,所以 -i3= +i,(1- i)(1+ i)=1-( i)2=1-2·i2=1+2=3.正确解答过程如下: