北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试精品当堂检测题

这是一份北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试精品当堂检测题，共20页。

一．选择题


1．如图，过四边形ABCD的各顶点作对角线BD和AC的平行线围成四边形EFGH，若四边形EFGH是菱形，则原四边形ABCD一定是（ ）





A．矩形B．平行四边形


C．菱形D．对角线相等的四边形


2．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为（ ）





A．2B．4C．D．


3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）





A．4B．4.5C．8D．9


4．如图，周长为28的菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，H为AD边中点，OH的长等于（ ）





A．3.5B．4C．7D．14


5．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）


A．对角相等B．四条边都相等


C．邻角互补D．对角线互相平分


6．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是（8，2），D点坐标是（0，2），点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（ ）





A．2B．8C．8D．12


7．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（ ）





A．13B．10C．12D．5


8．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论，其中正确结论的个数是（ ）


①FB⊥OC，OM＝CM；


②△EOB≌△CMB；


③四边形EBFD是菱形；


④S△AOE：S△BCF＝2：3．





A．1个B．2个C．3个D．4个


9．如图，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的，则四边形EFGH的形状是（ ）





A．矩形（正方形除外）


B．菱形（正方形除外）


C．平行四边形（矩形、菱形、正方形除外）


D．正方形


10．如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，DF⊥AE于F，若EF＝CE＝1，AB＝3，则线段AF的长为（ ）





A．2B．4C．D．3


二．填空题


11．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB＝8，且EF平分∠BED，则AD的长为 ．





12．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件判定▱ABCD是菱形，所添条件为 （写出一个即可）





13．如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为10，一条对角线为12时，则阴影部分的面积为 ．





14．已知，如图，矩形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝5，则AC＝ ．





15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为 ．





16．若菱形两条对角线长分别为10和24，那么此菱形的高为 ．


三．解答题


17．已知：矩形ABCD中，点P、Q分别在AD、BC上，且AP＝CQ，分别连结CP、DQ、和AQ、BP，交点分别为M、N，


（1）求证：P在任何位置时，四边形PMQN是平行四边形；


（2）如果AB＝2，BC＝5，问：P、Q分别在什么位置时，四边形PMQN是矩形；


（3）在（2）的条件下，四边形PMQN有否可能为菱形？正方形？


（4）若AB＝2，BC＝x，P、Q分别在某一位置时恰好能使四边形PMQN为正方形，求此时P、Q的位置及x的值．





18．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．


（1）求证：▱ABCD是矩形；


（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形并说明理由．





19．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．


（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；


（2）①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形；


②若AM＝6，求证：四边形AMDN是菱形．





20．如图，在▱ABCD中，AC＝8，BD＝12，点E、F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．


（1）求证：四边形AECF为平行四边形．


（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．





21．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线于F，连接CF．


（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；


（2）当△ABC分别满足什么条件时，四边形ADCF是菱形；四边形ADCF是矩形，并说明理由．





22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10cm，AD＝8cm，E点F点分别为AB，AC的中点．


（1）求证：四边形AEDF是菱形；


（2）求菱形AEDF的面积；


（3）若H从F点出发，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？








参考答案


一．选择题


1．解：∵EH∥AC，GF∥AC，


∴EH∥GF，


∵EF∥BD，GH∥BD，


∴EF∥GH，


∴四边形EFGH是平行四边形，


∵四边形EFGH是菱形，


∴EH＝GH，


∵GH∥BD，DH∥BG，


∴四边形DBGH是平行四边形，


∴GH＝BD，


同理EH＝AC，


∴AC＝BD，


∴四边形ABCD是对角线相等的四边形．


故选：D．





2．解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，





∵四边形ABCD是正方形，


∴AB∥CD，BC⊥CD，


∴MN⊥AB，


∵四边形DEFG是正方形，


∴FG⊥CD，


∴FG∥HM∥BC，


∵H是BF的中点，


∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝＝1，


∴HN是△BFP的中位线，


∴HN＝FP＝1，


∴MH＝5﹣1＝4，


Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝＝，


故选：D．


3．解：∵四边形ABCD是菱形，


∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，


∴BD＝2OB＝12，


∵S菱形ABCD═AC×BD＝54，


∴AC＝9，


∵AE⊥BC，


∴∠AEC＝90°，


∴OE＝AC＝4.5，


故选：B．


4．解：∵菱形ABCD的周长为28，


∴AB＝28÷4＝7，OB＝OD，


∵H为AD边中点，


∴OH是△ABD的中位线，


∴OH＝AB＝3.5．


故选：A．


5．解：菱形的性质有：四条边都相等，对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相垂直平分；


矩形的性质有：对边平行且相等；四个角都是直角；对角线互相平分；


根据菱形和矩形的性质得出：菱形具有而矩形不一定具有的性质是四条边都相等；


故选：B．


6．解：连接AC、BD交于点E，如图所示：


∵四边形ABCD是菱形，


∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，


∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），


∴OD＝2，BD＝8，


∴AE＝OD＝2，DE＝4，


∴AD＝＝2，


∴菱形的周长＝4AD＝8；


故选：C．





7．解：连接BD，交AC于点O，如图：


∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，


∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，


∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，


∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，


又∵AB∥CD，EF∥BD，


∴DE∥BG，BD∥EG，


∴四边形BDEG是平行四边形，


∴BD＝EG，


在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，


∴OB＝OD＝＝5，


∴BD＝2OD＝10，


∴EG＝BD＝10；


故选：B．





8．解：连接BD，


∵四边形ABCD是矩形，


∴AC＝BD，AC、BD互相平分，


∵O为AC中点，


∴BD也过O点，


∴OB＝OC，


∵∠COB＝60°，OB＝OC，


∴△OBC是等边三角形，


∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，


在△OBF与△CBF中


，


∴△OBF≌△CBF（SSS），


∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，


∴FB⊥OC，OM＝CM；


∴①正确，


∵∠OBC＝60°，


∴∠ABO＝30°，


∵△OBF≌△CBF，


∴∠OBM＝∠CBM＝30°，


∴∠ABO＝∠OBF，


∵AB∥CD，


∴∠OCF＝∠OAE，


∵OA＝OC，


易证△AOE≌△COF，


∴OE＝OF，


∴OB⊥EF，


∴四边形EBFD是菱形，


∴③正确，


∵△EOB≌△FOB≌△FCB，


∴△EOB≌△CMB错误．


∴②错误，


易知△AOE≌△COF，


∴S△AOE＝S△COF，


∵S△COF＝2S△CMF，


∴S△AOE：S△BCM＝2S△CMF：S△BCM＝，


∵∠FCO＝30°，


∴FM＝，BM＝CM，


∴，


∴S△AOE：S△BCM＝1：2，


故④错误；


故选：B．





9．证明：∵矩形的ABCD的外角都是直角，HE，EF都是外角平分线，


∴∠BAE＝∠ABE＝45°．


∴∠E＝90°．


同理，∠F＝∠G＝90°．


∴四边形EFGH为矩形．


∵AD＝BC，∠HAD＝∠HDA＝∠FBC＝∠FCB＝45°，


∴△ADH≌△BCF（AAS）．


∴AH＝BF．


又∵∠EAB＝∠EBA，


∴AE＝BE．


∴AE+AH＝EB+BF，即EH＝EF．


∴矩形EFGH是正方形．


故选：D．


10．解：连接DE，


∵四边形ABCD是矩形，


∴AD∥BC，∠BCD＝90°，


∴∠ADE＝∠DEC，


∵DF⊥AE，


∴∠DFE＝90°，


∵FE＝CE，


∵DE＝DE，


∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），


∴DF＝DC，∠FED＝∠DEC，


∴∠FED＝∠ADE，


∴AE＝AD，


∴BE＝BC﹣EC＝AE﹣EC，


在Rt△ABE中，设AE为x，由勾股定理可得：AB2+BE2＝AE2，


即32+（x﹣1）2＝x2，


解得：x＝5，


所以AE＝5，


∴AF＝AE﹣EF＝5﹣1＝4，


故选：B．


二．填空题


11．解：延长EF交BC的延长线于G．





∵矩形ABCD中，


∴AD∥BC，


∴∠AEB＝∠EBC，


∵∠ABC的平分线交AD边于点E，


∴∠ABE＝∠EBC，


∴∠ABE＝∠AEB，


∴AB＝AE＝8，


∵∠DEG＝∠BEG＝∠G，


∴BE＝BG＝8，


∵DF＝FC，∠EDF＝∠FCG，∠EFD＝∠CFG，


∴△EFD≌△GFC，


∴DE＝CG，


设AD＝BC＝x，


则有x﹣8＝8﹣x，


∴x＝4+4


故答案为：4+4．


12．解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AB＝AD（AD＝CD，BC＝CD，AB＝BC）


也可添加∠1＝∠2，根据平行四边形的性质，可求AD＝CD．


根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AC⊥BD．


故答案为：AB＝AD（答案不唯一）


13．解：连接AC、BD，如图所示：


∵四边形ABCD是菱形，


∴AB＝10，OB＝OD＝BD＝6，OA＝OC，AC⊥BD，


∴OA＝＝＝8，


∴AC＝2OA＝16，


∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×16×12＝96，


∵O是菱形两条对角线的交点，


∴阴影部分的面积＝×96＝48；


故答案为：48．





14．解：如图所示：连接BD．





∵E，F分别是AB，AD的中点，EF＝5，


∴BD＝2EF＝10．


∵ABCD为矩形，


∴AC＝BD＝10．


故答案为：10．


15．解：∵四边形ABCD为正方形，


∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，


∴AC2＝12+12，AC＝；


同理可求：AE＝（）2，HE＝（）3…，


∴第n个正方形的边长an＝（）n﹣1．


故答案为：（）n﹣1．


16．解：作DE⊥AB于E，如图所示：


∵菱形ABCD的两条对角线长分别为10和24，


∴菱形ABCD的面积＝×10×24＝120；


∵四边形ABCD是菱形，


∴OA＝AC＝12，OB＝BD＝5，AC⊥BD，


∴AB＝＝13，


∵菱形的面积＝AB•DE＝120，


∴DE＝．


故答案为．





三．解答题


17．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，


∴AD∥BC，AD＝BC，


∵AP＝CQ，


∴PD＝BQ，


∴四边形AQCP和四边形BQDP是平行四边形，


∴AQ∥PC，BP∥DQ，


∴四边形PMQN是平行四边形，


即P在任何位置时，四边形PMQN是平行四边形；


（2）解：∵四边形ABCD是矩形，


∴∠BAP＝∠CDP＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2，


若四边形PMQN是矩形，则∠BPC＝90°，


设AP＝x，则CQ＝x，BQ＝DP＝5﹣x，


由勾股定理得：BP2＝AB2+AP2，CP2＝CD2+DP2，BP2+CP2＝BC2，


∴22+x2+22+（5﹣x）2＝52，


解得：x＝1，或x＝4，


即AP＝1时，BQ＝4；AP＝4时，BQ＝1；


∴AP＝1，BQ＝4或AP＝4，BQ＝1时，四边形PMQN是矩形；


（3）解：在（2）的条件下，当P为AD的中点时，四边形PMQN为菱形，此时AP＝BQ＝CQ＝DP＝AD＝；


由（2）得：AP＝1，BQ＝4或AP＝4，BQ＝1时，四边形PMQN是矩形，


∵既是矩形又是菱形的四边形是正方形，


∴四边形PMQN不可能为正方形


（4）若AB＝2，BC＝x，P、Q分别在某一位置时恰好能使四边形PMQN为正方形，


则P、Q分别为AD、BC的中点，△ABP、△ABQ、△BPC均为等腰直角三角形，


∴AP＝AQ＝AB＝2，BC＝x＝4；


即AB＝2，BC＝x，P、Q分别在某一位置时恰好能使四边形PMQN为正方形，此时AP＝2，AQ＝2，x的值为4．


18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，


∴OA＝OC，OB＝OD，


∵∠OBC＝∠OCB，


∴OB＝OC，


∴AC＝BD，


∴平行四边形ABCD是矩形；





（2）解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．


理由：∵四边形ABCD是矩形，


又∵AB＝AD，


∴四边形ABCD是正方形．


或∵四边形ABCD是矩形，


又∵AC⊥BD，


∴四边形ABCD是正方形．





19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，


∴AB∥CD，


∴∠DNE＝∠AME，


∵点E是AD边的中点，


∴AE＝DE，


在△NDE和△MAE中，，


∴△NDE≌△MAE（AAS），


∴NE＝ME，


∴四边形AMDN是平行四边形；


（2）①解：当AM的值为3时，四边形AMDN是矩形．理由如下：


∵四边形ABCD为菱形，


∴AB＝AD＝6，


∵点E是AD边的中点，


∴AE＝AD＝3，


∴AM＝AE＝3，


∵∠DAB＝60°，


∴△AEM是等边三角形，


∴EM＝AE，


∵NE＝EM＝MN，


∴MN＝AD，


∵四边形AMDN是平行四边形，


∴四边形AMDN是矩形．


故答案为：3；


②证明：∵AB＝AD＝6，AM＝6，


∴AD＝AM，


∵∠DAB＝60°，


∴△AMD是等边三角形，


∴ME⊥AD，


∵四边形AMDN是平行四边形，


∴四边形AMDN是菱形．


20．证明：在▱ABCD中，


∵AD∥BC，AD＝BC，


∴∠EBC＝∠ADF，


由题意知，BE＝DF，


在△BEC与△DFA中，


，


∴△BEC≌△DFA（SAS），


∴CE＝AF，


同理可得：AE＝CF，


∴四边形AECF为平行四边形；


（2）当t＝2或t＝10时以点A，C，E，F为顶点的四边形为矩形；


理由：由矩形的性质知 OE＝OF、OA＝OC，要使∠EAF是直角，只需OE＝OF＝OA＝AC＝4cm．


则∠1＝∠2，∠3＝∠4，


∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，


∴2∠2+2∠3＝180°，


∴∠2+∠3＝90°


即∠EAF＝90°．


此时BE＝DF＝（BD﹣EF）＝（12﹣8）＝2cm或BE＝DF＝12﹣2＝10cm





21．解：（1）证明：∵AD是BC边上的中线，


∴BD＝CD，


∵点E是AD的中点，


∴AE＝ED，


∵AF∥BC，


∴∠AFE＝∠EBD，


在△AEF和△DEB中，


∵，


∴△AEF≌△DEB（AAS），


∴AF＝BD，


∴AF＝DC，


又∵AF∥BC，


∴四边形ADCF为平行四边形；


（2）①当∠BAC＝90°，四边形ADCF是菱形．理由如下：


∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，


∴AD＝BD＝CD，


∵四边形ADCF为平行四边形，


∴四边形ADCF是菱形；


②当AB＝AC时，四边形ADCF是矩形．理由如下：


∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，


∴AD⊥BC，


∴∠ADC＝90°，


∵四边形ADCF为平行四边形，


∴四边形ADCF是矩形．


22．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，


∴D为BC的中点．


∵E、F分别为AB、AC的中点，


∴DE和DF是△ABC的中位线，


∴DE∥AC，DF∥AB，


∴四边形AEDF是平行四边形．


∵E，F分别为AB，AC的中点，AB＝AC，


∴AE＝AF，


∴四边形AEDF是菱形，


（2）解：∵EF为△ABC的中位线，


∴EF＝BC＝5．


∵AD＝8，AD⊥EF，


∴S菱形AEDF＝AD•EF＝×8×5＝20．


（3）解：∵EF∥BC，


∴EH∥BP．


若四边形BPHE为平行四边形，则须EH＝BP，


∴5﹣2t＝3t，


解得：t＝1，


∴当t＝1秒时，四边形BPHE为平行四边形．


∵EF∥BC，


∴FH∥PC．


若四边形PCFH为平行四边形，则须FH＝PC，


∴2t＝10﹣3t，


解得：t＝2，


∴当t＝2秒时，四边形PCFH为平行四边形．