北师大版（2024）五年级上册（2024）最大公因数和最小公倍数教案设计

这是一份北师大版（2024）五年级上册（2024）最大公因数和最小公倍数教案设计，共6页。教案主要包含了学情分析，教材分析，核心素养教学目标，教学重难点，教学过程，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
五年级学生已经掌握倍数、因数的意义，能够熟练找出一个数的因数与倍数，对2、3、5的倍数特征较为熟悉。学生思维正从具象向抽象过渡，能够完成简单列举，但对“公”字内涵理解浅薄，容易混淆公因数与公倍数、最大公因数与最小公倍数概念。部分学生只会机械套用短除法，不理解算理，不清楚两种知识的现实应用场景。学生个体差异明显，基础薄弱学生列举容易遗漏，能力较强学生可以快速完成找数，但缺少归纳总结能力，需要借助实例、图表搭建认知阶梯，循序渐进建立概念。
二、教材分析
本课为北师大版2026秋季新教材五年级上册第七单元《倍数与因数》内容，安排在因数、倍数、质数合数之后，是分数约分、通分的前置基础，属于数论初步知识。教材以现实情境引入概念，先借助列举法认识公因数、最大公因数，再迁移学习公倍数、最小公倍数，介绍列举法、集合图、短除法多种求解方法。教材重视算理理解，不只是教授计算技巧，借助集合图直观呈现公共因数、公共倍数，区分因数有限、倍数无限的本质区别。本课学习质量直接影响后续分数四则运算，是整数知识向分数知识过渡的关键节点。
三、核心素养教学目标
1.数感：结合具体实例理解公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数含义，能准确找出两个数的最大公因数与最小公倍数，感知因数有限、倍数无限的数的特点。
2.运算能力：掌握列举法、集合图法、短除法求最大公因数和最小公倍数，理解短除法每一步算理，能够根据数字特点灵活选择合适计算方法。
3.推理意识：通过观察、对比两组数因数、倍数，归纳互质数、倍数关系两组数的最大公因数、最小公倍数规律，能简单说理。
4.应用意识：依托教材例题情境，读懂生活问题，把现实问题转化为求最大公因数、最小公倍数数学模型，运用知识解决简单实际问题。
四、教学重难点
教学重点：理解公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数概念；会用多种方法求两个数最大公因数、最小公倍数。
教学难点：辨析最大公因数与最小公倍数的区别；理解短除法算理；识别生活情境，判断何时求最大公因数，何时求最小公倍数。
五、教学过程
第一课时：认识公因数与最大公因数
情境导入，对接教材例题
师：同学们，翻开课本，看一看教材铺地砖情境。有一块长方形地面，长12分米，宽8分米。要用大小相同正方形地砖铺地，地砖边长为整分米，不能切割地砖。想一想，正方形地砖边长可以是几分米？
生：地砖边长既要把长12分米铺满，又要把宽8分米铺满，边长要同时整除12和8。
师：说得很好，地砖边长的数，既是12的因数，又要是8的因数。那我们先来分别写出12和8全部因数。谁来说一说12的因数？
生：12的因数：1、2、3、4、6、12。
师：8的因数呢？
生：8的因数：1、2、4、8。
师：大家观察两组因数，哪些数字同时出现在两个列表当中？
生：1、2、4。
师：像1、2、4，既是12的因数，又是8的因数，在数学上叫做12和8的公因数。在这几个公因数里面，最大数字是4，4就是12和8的最大公因数。
设计意图：依托教材铺地砖真实情境，从旧知因数出发，自然生成公因数、最大公因数概念，让学生明白概念不是凭空产生，来自现实问题。
集合图建模，读懂教材集合图示
师：教材中用两个相交圆圈集合图表示两个数因数，左边圆圈写12全部因数，右边圆圈写8全部因数，中间重叠部分填写什么？
生：中间重叠部分填写12和8的公因数。
师：请大家一起说一说，左边不重叠区域代表什么？右边不重叠区域代表什么？
生：左边不重叠部分是属于12的因数，但不是8的因数；右边不重叠部分是属于8的因数，但不是12的因数。
师：老师黑板绘制集合图，请两位同学上台，把数字填进对应区域。（学生上台填写）
师：大家一起核对，12因数{1，2，3，4，6，12}；8因数{1，2，4，8}；交集公因数{1，2，4}，最大公因数4。大家思考一下，两个数公因数数量是有限还是无限？理由是什么？
生：有限，因为一个数因数总个数是有限的，所以公共因数数量一定有限。
师：总结，任意两个自然数，公因数个数有限，一定存在唯一最大公因数，最小公因数永远是1。
列举法巩固，教材例题实操
师：我们看教材试一试，找18和24的公因数以及最大公因数。请同学们拿出练习本，用列举法完成。第一步干什么？
生：分别写出18、24所有因数。
师：对，第一步分别枚举全部因数，第二步找出两者重合数字，就是公因数，第三步从中挑最大数，得到最大公因数。
生汇报：
18的因数：1、2、3、6、9、18
24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
公因数：1、2、3、6；最大公因数：6。
师：大家观察，如果数字很大，全部列举因数比较麻烦，我们还可以使用短除法，教材向我们介绍短除法。我们一起来学习短除法求18和24最大公因数。
师：短除法，写好18、24，画短除符号。思考，找能够同时整除18和24质数，第一个共同质因数是几？
生：2。
师：18÷2=9，24÷2=12。现在得到9和12，还能继续找共同质因数吗？
生：可以，3。
师：9÷3=3，12÷3=4。现在商3和4，3和4除了1之外没有别的公因数，叫做互质，短除到此停止。大家看教材说明，求最大公因数，我们把左边所有除数相乘。2×3=6，结果和列举法完全一致。
师：老师强调，短除法求最大公因数，只乘左边公共除数，不要乘底部互质的商。谁复述一遍短除法步骤？
生：写数字，找共同质因数做除数，持续除到商互质为止，左侧除数相乘得到最大公因数。
设计意图：先夯实列举法理解概念，再学习短除法掌握简便算法，对接教材两种方法，明确短除法运算规则，规避常见计算错误。
对比观察，发现特殊数字规律
师：我们做两组练习，第一组：4和8；第二组：5和7。先求4和8的最大公因数。
生：4因数1、2、4；8因数1、2、4、8；最大公因数4。
师：4和8是什么关系？
生：倍数关系，8是4倍数。
师：当两个数是倍数关系，最大公因数是其中较小数。再看5和7。
生：5因数1、5；7因数1、7；公因数只有1，最大公因数1。
师：两个数公因数只有1，我们称这两个数互质。互质两个数，最大公因数就是1。大家记一记教材当中这两条规律，可以快速判断结果。
课堂基础练习，落实教材习题
师：完成教材本课配套基础习题，找下面各组数最大公因数：①10和15；②14和21；③6和12。学生独立完成，指名口述答案，简单说明使用方法。
第二课时：认识公倍数与最小公倍数
复习旧知，迁移新知
师：上一节课我们学习公因数、最大公因数。谁回忆，什么叫两个数公因数？最大公因数怎么求？
生：同时是两个数的因数叫做公因数，其中最大一个就是最大公因数，可以用列举法、短除法。
师：因数有公有，那么倍数会不会也有公有？翻开教材，看教材赛跑情境。甲每4分钟绕一圈，乙每6分钟绕一圈，两人同时起点出发，多少分钟之后两人再次在起点相遇？
生：再次回到起点，时间必须既是4的倍数，又要是6的倍数。
师：很好，我们先分别写出4的倍数、6的倍数。4的倍数有哪些？
生：4，8，12，16，20，24，28，32，36……
师：6的倍数？
生：6，12，18，24，30，36……
师：观察两组倍数，哪些数字同时出现在两个序列？
生：12，24，36……
师：12、24、36，既是4倍数，又是6倍数，叫做4和6的公倍数。公倍数里面最小数字12，叫作4和6的最小公倍数。
师：大家看一看，倍数能不能全部写完？省略号代表什么？
生：写不完，一个数倍数无限，所以两个数公倍数个数无限。
师：总结：两个数公倍数无限多，不存在最大公倍数，只有唯一最小公倍数。
设计意图：复习公因数知识，利用知识迁移，借助教材情境引出公倍数概念，对比因数有限、倍数无限，厘清两者本质差别。
集合图表示公倍数，研读教材图示
师：教材同样使用相交集合图表示公倍数。左边圆圈写4全部倍数，右边写6全部倍数。中间重叠部分填写？
生：填写4和6公倍数。
师：注意，倍数写不完，每一组倍数末尾带上省略号。请同学说一说集合图各部分含义。
生：重叠区域为公倍数，左右两侧分别是各自独有的倍数。
师：黑板板书集合图，4倍数{4，8，12，16，20，24……}；6倍数{6，12，18，24，30……}；交集公倍数{12，24，36……}，最小公倍数12。
列举法、短除法求最小公倍数
师：教材试一试，求6和8的最小公倍数。先用列举法，请同学们动手写。
生汇报：
的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48……
的倍数：8，16，24，32，40，48……
公倍数：24，48……，最小公倍数24。
师：列举法数字大的时候繁琐，继续学习短除法求最小公倍数。同样拿6和8演示短除法。写出6、8，短除号。共同质因数2，6÷2=3，8÷2=4；商3和4互质，停止计算。
师：重点来了，对比上节课求最大公因数，求最小公倍数计算规则不一样，请大家看教材标注。短除法求最小公倍数，要把左侧除数和底部互质商全部相乘。也就是2×3×4=24。
师：板书对比：短除法求最大公因数：只乘左边除数；短除法求最小公倍数：左边除数 × 底部所有互质商。这个地方极易混淆，大家做好笔记。
师：再找一组数字练习，12和18，请一位同学上台板演短除法求最小公倍数。
生板演：除数2，得到6、9；继续除数3，得到2、3；2和3互质。最小公倍数：2×3×2×3=36。
师：全班核对，列举法验证：12倍数：12，24，36……；18倍数：18，36……最小公倍数36，结果正确。
设计意图：着重对比短除法两种计算的不同点，破解本课易错点，结合教材示范，区分最大公因数、最小公倍数短除法运算逻辑。
寻找特殊数的最小公倍数规律
师：我们继续观察两组数。第一组：3和9；第二组：4和5。先算3和9最小公倍数。
生：3倍数：3，6，9，12……；9倍数：9，18……最小公倍数9。
师：3和9是倍数关系。当两个数倍数关系时，最小公倍数是谁？
生：较大数。
师：第二组4和5，互质关系。算一算最小公倍数。
生：4倍数4，8，12，16，20……5倍数5，10，15，20……最小公倍数20。
师：互质两个数，最小公倍数等于两个数乘积。这两条规律教材给出总结，记住可以快速做题。倍数关系：最大公因数取小数，最小公倍数取大数；互质关系：最大公因数是1，最小公倍数两数相乘。
课堂巩固，教材习题训练
师：完成教材对应习题，求各组数最小公倍数：①9和15；②7和8；③5和20。学生独立完成，指名回答，说一说自己选用什么方法。
第三课时：最大公因数、最小公倍数综合练习与实际应用
概念梳理对比，构建知识框架
师：前面两课时，我们分别学习最大公因数、最小公倍数。现在把两组知识放在一起对比。同学们思考，公因数来自因数，因数个数有限；公倍数来自倍数，倍数无限。请填写表格。
师：对照表格，结合课本概念，同桌之间互相说一说最大公因数、最小公倍数含义以及求法。
师：老师提问：1.两个数公因数一定比这两个数小吗？2.两个数公倍数一定比这两个数大吗？
生1：不一定，如果两个数倍数关系，最大公因数等于较小数。
生2：不一定，如果倍数关系，最小公倍数等于较大数。
设计意图：借助表格梳理对比，整合两课时知识点，厘清易混淆概念，形成完整知识体系。
教材例题讲解，辨别两类实际问题
师：课本有两类典型应用题，一类求最大公因数，一类求最小公倍数。我们先看第一类，裁剪问题。教材例题：把长24厘米，宽18厘米长方形纸片，裁成大小相等正方形纸片，没有剩余。正方形边长最大多少厘米？
师：大家读题，“裁成相等正方形、没有剩余、边长最大”。想一想，边长数字要满足什么条件？
生：边长既要整除24，又要整除18，要找最大数字，就是求24和18最大公因数。
师：很好，我们短除法计算24与18。除数2，商12、9；除数3，商4、3；4、3互质。最大公因数2×3=6。所以正方形最大边长6厘米。
师：小结：当题目描述：分东西、裁剪、分割、同样大小、没有剩余、要最大，一般求最大公因数。
师：我们看教材第二道应用例题。公交车站，1路车每6分钟发车一趟，2路车每8分钟发车一趟。早上同时发车，至少再过多少分钟两车又同时发车？
师：读题，“同时发车，至少再过多久再次同时发车”，时间要同时是6、8倍数，要最少时间，求什么？
生：求6和8最小公倍数。
师：短除法计算6、8，除数2，商3、4互质。最小公倍数2×3×4=24。最少24分钟之后再次同时发车。
师：小结：题目出现再次相遇、再次同时发生、隔多久重复、至少多少，一般求最小公倍数。
师：师追问：怎么区分什么时候求最大公因数，什么时候求最小公倍数？
生：分割物品，往小分，求最大公因数；事件重复发生，往后等时间，求最小公倍数。
设计意图：深度解析教材应用例题，建立现实情境转化数学模型思维，教会学生判断题型，突破应用难点。
综合计算训练，辨析易错题型
师：下面完成教材综合练习题。
1.求16和20最大公因数与最小公倍数。学生独立计算，请同学上台板演短除法。
师：讲评：短除除数2，商8、10；除数2，商4、5互质。最大公因数2×2=4；最小公倍数2×2×4×5=80。着重强调，不要混淆相乘部分。
师：出示易错题：判断：两个数最小公倍数一定大于这两个数。
生：错误，例如5和10最小公倍数是10，等于较大数。
师：判断：两个数公因数一定小于两个数。
生：错误，4和12最大公因数4，等于较小数。
师：教材习题：有两根彩带，一根30分米，一根45分米。截成长度相等小段，没有剩余，每段最长多少分米？一共截几段？
生：求30和45最大公因数，短除法，除数3、5，最大公因数15。每段最长15分米；30÷15=2段，45÷15=3段，合计5段。
师：教材习题：一种墙砖长5分米，宽3分米。用这种墙砖铺正方形（不切割），正方形边长最小多少分米？
生：正方形边长同时是5、3倍数，求最小公倍数，5和3互质，最小公倍数15，边长最小15分米。
自主归纳解题步骤
师：同学们，我们一起归纳做题步骤。
求最大公因数步骤：①列举两个数因数，或短除法分解；②找出公共因数；③确定最大公因数；应用题读懂分割、无剩余、最大关键词。
求最小公倍数步骤：①列举两个数倍数，或短除法；②找出公共倍数；③确定最小公倍数；应用题读懂重复、再次同时、至少关键词。
六、课堂小结
本课时三节课，我们学习公因数、最大公因数，公倍数、最小公倍数。第一课时，借助铺地砖情境理解公因数、最大公因数，学会列举法、集合图、短除法求解，掌握倍数关系、互质关系下最大公因数特殊规律。第二课时迁移学习公倍数与最小公倍数，明确公倍数个数无限，对比短除法求最大公因数、最小公倍数不同计算方式，掌握特殊数字最小公倍数规律。第三课时综合对比两类概念，学习识别生活实际问题，能够把生活场景转化数学问题，正确选择求最大公因数或者最小公倍数解决问题。最大公因数、最小公倍数是后续分数约分、通分的基础，大家课后牢牢记住概念、算法以及两类应用题的判断方法。
项目
最大公因数
最小公倍数
对象
两个数公共因数
两个数公共倍数
数量
有限，有最大
无限，无最大
短除法计算
只乘左侧除数
左侧除数乘底部互质商
倍数关系
等于较小数
等于较大数
互质关系
等于1
两数相乘