第五章 第二节 平面向量基本定理及坐标表示-备战2022年新高考数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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第二节 平面向量基本定理及坐标表示
知识回顾
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标表示
(1)向量及向量的模的坐标表示
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
(2)平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
课前检测
1．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
答案　(1,5)
解析　设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即解得
2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.
答案　－
解析　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，
得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，
得＝，所以＝－.
3．(多选)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是(　　)

A.＝3 B.＝－2
C.＋＝0 D.＝
答案　ABC
4．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.
答案　0
5．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________.
答案　(－7，－4)
解析　根据题意得＝(3,1)，
∴＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
6．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)，若b∥c，则x的值为(　　)
A．4 B．－4 C．2 D．－2
答案　B
解析　b＝2a＋b－2a＝(2,1)，
∵b∥c，∴x＋4＝0，∴x＝－4.故选B.
课中讲解
考点一．平面向量基本定理及其应用
例1.给定两个长度为 1 的平面向量 OA→ 和 OB→，它们的夹角为 2π3 如图所示，点 C 在以 O 为圆心的弧 AB 上运动．若 OC→=xOA→+yOB→，其中 x，y∈R，求 x+y 的最大值．
​​
​
【答案】2
【解析】以 O 为坐标原点，OA→ 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
​​
​则 A(1,0)，B(-12,32)
设 ∠AOC=α∈[0,2π3]，则 C(cos⁡α,sin⁡α)
由 OC→=xOA→+yOB→
得 {cos⁡α=x-12ysin⁡α=32y
所以 {x=cos⁡α+33sin⁡αy=233sin⁡α
所以x+y=cos⁡α+33sin⁡α+233sin⁡α=3sin⁡α+cos⁡α=2sin⁡(α+π6)
又 ∠AOC=α∈[0,2π3]
所以当 α=π3 时，x+y 取得最大值 2．

变式1.如图，在 △ABC 中，AN→=13NC→，点 P 是 BN 上的一点，若 AP→=mAB→+211AC→，则实数 m 的值为(　　)

A．911 B．511
C．311 D．211
【答案】C
【解析】【分析】：平面内三点 A，B，C 共线的充要条件为：存在实数 λ，μ，N，使 OC→=λOA→+μOB→，且 λ+μ=1．求得 AP→=mAB→+811AN→，从而可得结果．
∵B，P，N 三点共线，
∵AP→=mAB→+211AC→=mAB→+211×4AN→=mAB→+811AN→，
∴m+811=1，
∴m=311．
故选 C
【备注】对于共起点二表一的向量等式，要注意三个末端点的是否共线和系数和是否为 1，如果两个特征符合其一，则注意应用三点共线定理．
例2. 如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　)
A.－　　　　 B.－
C．－＋ D．－＋
变式2.在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________．
[解析]　(1)如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，∴＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋，故选C.
(2)因为＝＋，所以3＝2＋，即2－2＝－，所以2＝.
即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，
又因为A，M，Q三点共线，设＝λ.
所以＝－＝λ－＝λ－＝＋，又＝t＝t(－)＝t＝－t.
故解得故t的值是.
[答案]　(1)C　(2)
例3.如图所示，在 △ABC 中，AQ→=QC→，AR→=14AB→，BQ 与 CR 相交于点 I，AI 的延长线与边 BC 交于点 P．

(1) 用 AB→ 和 AC→ 分别表示 BQ→ 和 CR→；
【答案】BQ→=12AC→-AB→；CR→=14AB→-AC→
【解析】BQ→=AQ→-AB→=12AC→-AB→，CR→=AR→-AC→=14AB→-AC→．

(2) 如果 AI→=AB→+λBQ→=AC→+μCR→，求实数 λ 和 μ 的值；
【答案】{λ=67μ=47
【解析】由 (1) 知：AI→=AB→+λ(12AC→-AB→)=(1-λ)AB→+λ2AC→，
AI→=AC→+μ(14AB→-AC→)=μ4AB→+(1-μ)AC→，
∴(1-λ)AB→+λ2AC→=μ4AB→+(1-μ)AC→，
∴{1-λ=μ4λ2=1-μ，解得：{λ=67μ=47
考点二．平面向量的坐标运算
例1.已知 a→=(1,2)，b→=(1,0)，c→=(3,4)．若 λ 为实数，(a→+λb→)//c→，则 λ=(　　)
A．2 B．1
C．12 D．14
【答案】C
【解析】a→+λb→=(1+λ,2) 和 (3,4) 平行，故 (1+λ)⋅4-2×3=0，解得 λ=12．
变式1.若向量a→=(m,3)，b→=(1,4)，c→=(2,1)，且2a→-3b→与c→的夹角为钝角，则m的取值范围是(　　)
A．(-∞,-92)
B．(-∞,3)
C．(-92,3)
D．(-∞,-92)∪(-92,3)
【答案】D
【解析】2a→-3b→=(2m,6)-(3,12)=(2m-3,-6) ∵2a→-3b→与c→的夹角为钝角∴(2a→-3b→)⋅c→<0且不反向
即4m-12<0,m<3
当两向量反向时，存在λ<0使2a→-3b→=λc→
即(2m-3,-6)=λ(2,1)，解得λ=-6，m≠-92，选D
例2.若e1→,e2→是一组基底，向量m→=xe1→+ye2→，则称(x,y)为向量m→在基底e1→,e2→下的坐标，现已知向量a→在基底p→=(1,-1),q→=(2,1)下的坐标为(-2,1)，则向量a→在另一组基底m→=(-2,1),n→=(-4,-1)下的坐标 (　　)
A．(2,-1) B．(1,-2)
C．(1,-2) D．(-2,1)
【答案】A
【解析】向量a→在基底p→=(1,-1),q→=(2,1)下的坐标为(-2,1)，可得a→=-2p→+q→=(-2,2)+(2,1)=(0,3)，设a→=xm→+yn→=(-2x,x)+(-4y,-y)=(-2x-4y,x-y)=(0,3)，可得-2x-4y=0且x-y=3，解得x=2和y=-1，所以向量a→在另一组基底m→=(-2,1),n→=(-4,-1)下的坐标为(2,-1)．
故选A．
变式2.已知＝(1，－1)，C(0,1)，若＝2，则点D的坐标为(　　)
A．(－2,3) B．(2，－3)
C．(－2,1) D．(2，－1)
答案　D
解析　设D(x，y)，则＝(x，y－1)，2＝(2，－2)，
根据＝2，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即解得故选D.
考点三．利用两向量共线求参数
例1.设两个非零向量 a→ 与 b→ 不共线．
(1) 若 AB→=a→+b→，BC→=2a→+8b→，CD→=3(a→-b→)，求证：A，B，D 三点共线；
【答案】见解析
【解析】∵BD→=BC→+CD→=2a→+8b→+3(a→-b→)=5a→+5b→=5AB→
∴BD→ 与 AB→ 共线，两个向量有公共点 B．
∴A，B，D 三点共线．

(2) 试确定实数 k，使 ka→+b→ 和 a→+kb→ 共线．
【答案】k=±1
【解析】∵ka→+b→ 和 a→+kb→ 共线，则存在实数 λ，使得 ka→+b→=λ(a→+kb→)．
即 (k-λ)a→+(1-λk)b→=0→．
∵ 非零向量 a→ 与 b→ 不共线，
∴k-λ=0 且 1-λk=0，
∴k=±1．
变式1.已知a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________.
答案　－6
解析　由题意得a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，
由(a＋2b)∥(3a－b)，得－3(9－k)＝5(3＋2k)，
解得k＝－6.
例2.已知是e1→,e2→平面内两个不共线向量，AC→=e1→-ke2→,CB→=2e1→-e2→,CD→=3e1→-2e2→，若A，B，D三点共线，则k的值为(　　)
A．2 B．-3 C．-2 D．3
【答案】A
【解析】【解答】∵CB→=2e1-e2，CD→=3e1-2e2，
∴BD→=CD→-CB→=(3e1-2e2)-(2e1-e2)=e1-e2．
∵A、B、D三点共线，∴AB→与BD→共线，
∴存在唯一的实数λ，使得3e1-(k+1)e2=λ(e1-e2)．
即解得k=2．
故选A．
【分析】由A，B，D三点共线，可构造两个向量共线，再利用两个向量共线的定理求解即可．
【备注】【点评】本题考查三点共线和向量共线的转化和向量共线的条件，属基本题型的考查．
考点四．三点共线问题
例1.如图在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 AB，AD 上的点，且 AM→=45AB→，AN→=23AD→，连接 AC，MN 交于 P 点，若 AP→=λAC→，则 λ 的值为(　　)


A．35 B．37
C．411 D．413
【答案】C
【解析】∵AM→=45AB→，AN→=23AD→
∴AP→=λAC→=λ(AB→+AD→)=λ(54AM→+32AN→)=54λAM→+32λAN→
∵ M，N，P 三点共线
∴54λ+32λ=1
∴λ=411
【备注】当 A，B，P 三点共线时，OP→=BP份数AB总份数OA→+AP份数AB总份数OB→（注意系数的符号），在复杂图形中识别该模型时简化该类题目的关键
变式1.已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A　由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6.当m＝－6时，a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充分必要条件．
例2．已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，若＝λ＋(1－λ) ，则λ＝(　　)
A．－3 B.3
C．1 D．－1
解析：选D　设＝(x，y)，则由∥a知x＋y＝0，于是＝(x，－x)．若＝λ＋(1－λ) ，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.
变式 2．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
因为A，B，C三点共线，
所以∥.所以8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，所以m＝.
课后习题
一． 单选题
1．在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是(　　)

A．(2,2) B．(－2，－2)
C．(1,1) D．(－1，－1)
答案　D
解析　因为A(2,2)，B(1,1)，所以＝(－1，－1)．故选D.
2．(2020·苏州模拟)向量＝(2,3)，＝(4,7)，则等于(　　)
A．(－2，－4) B．(2,4)
C．(6,10) D．(－6，－10)
答案　B
解析　＝－＝(2,4)．故选B.
3．已知平面向量a＝(k,2)，b＝(1,1)，k∈R，则k＝2是a与b同向的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案　C
解析　若a与b同向，则a＝mb(m>0)，
即(k,2)＝m(1,1)，
则得m＝2，k＝2，
即k＝2是a与b同向的充要条件，故选C.
4．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．R D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
答案　D
解析　由题意知向量a，b不共线，
故2m≠3m－2，即m≠2.
5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为第一象限内一点，∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A．2 B. C．2 D．4
答案　A
解析　因为|OC|＝2，∠AOC＝，
所以C(，)，
又＝λ＋μ，
所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，
所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
6．已知向量m＝与向量n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵m∥n，
∴sin A(sin A＋cos A)－＝0，
∴2sin2A＋2sin Acos A＝3，
∴1－cos 2A＋sin 2A＝3，
∴sin＝1，
∵A∈(0，π)，
∴2A－∈.
因此2A－＝，解得A＝，故选C.
7.(2020·山东省实验中学等四校联考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，设＝a，＝b，则向量等于(　　)

A．a＋b B.a＋b
C．a＋b D．a＋b
答案　C
解析　设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，所以∠BAC＝，∠ACB＝，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，
所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝，
则根据圆的性质得BD＝CD＝AB，
又因为在Rt△ABC中，AB＝AC＝r＝OD，
所以四边形ABDO为菱形，
所以＝＋＝a＋b.
故选C.
8.如图，原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上， ∠AOB＝150°， ∠BOC＝90°，||＝2, ||＝1, ||＝3，若＝λ＋μ，则等于(　　)

A．－ B. C．－ D.
答案　D
解析　由题意知A(2,0)，B，C，

因为＝λ＋μ，由向量相等的坐标表示可得，
得即＝，故选D.
9．已知关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c都是非零向量，且a，b不共线，则该方程的解的情况是(　　)
A．至少有一个解 B．至多有一个解
C．至多有两个解 D．可能有无数个解
答案　B
解析　由平面向量基本定理可得，c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则方程ax2＋bx＋c＝0可变为ax2＋bx＋λa＋μb＝0，
即(λ＋x2)a＋(μ＋x)b＝0，
∵a，b不共线，∴
可知方程组可能无解，也可能有一个解．
∴方程ax2＋bx＋c＝0至多有一个解，故选B.
10．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B.内心
C．重心 D．垂心
解析：选B　由＝＋λ，知－＝λ，即＝λ，所以点P在∠BAC的平分线上，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
二．多选题
11．(多选)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是(　　 )
A．给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c
B．给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc
C．给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc
D．给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc
答案　AB
解析　∵向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，
∴b≠0，c≠0，
给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，
即为所求的向量c，
故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；
当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，
由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；
取a＝(4,4)，μ＝2，b＝(1,0)，
无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，
要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，
故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；
因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，
这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，
故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误．
故选AB.
12．(多选)已知向量e1，e2是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝xe1＋ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的是(　　 )
A．线段AB的中点的广义坐标为
B．A，B两点间的距离为
C．向量∥的充要条件是x1y2＝x2y1
D．向量⊥的充要条件是x1x2＋y1y2＝0
答案　AC
解析　由中点的意义知A正确；
只有在e1，e2互相垂直时，两点间的距离公式B才正确，B错误；
由向量平行的充要条件得C正确；
只有e1，e2互相垂直时，与垂直的充要条件为x1x2＋y1y2＝0，D不正确；
故选AC.

三．填空题
13.如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为________．
解析：以A为坐标原点，以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为2，
则B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(x,2)，x∈[0,2]．
∴＝(2,2)，＝(2，－2)，＝(x,2)．
∵＝λ＋μ，∴∴
∴λ＋μ＝.令f(x)＝(0≤x≤2)，
∵f(x)在[0,2]上单调递减，
∴f(x)max＝f(0)＝3.
答案：3
14．如图，向量与的夹角为120°，||＝2，||＝1，P是以O为圆心，||为半径的上的动点，若＝λ＋μ，则λμ的最大值是________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设P(cos θ，sin θ)，
则＝(cos θ，sin θ)，＝(2,0)，＝.
∵＝λ＋μ，∴cos θ＝2λ－μ，sin θ＝μ.
∴
∴λμ＝sin 2θ－cos 2θ＋＝sin＋≤.
当且仅当2θ－＝，即θ＝时，取等号．
答案：
15．设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为________．
答案　(6，－8)
解析　不妨设向量b的坐标为b＝(－3m,4m)(m<0)，
则|b|＝＝10，
解得m＝－2(m＝2舍去)，
故b＝(6，－8)．
四． 解答题
16．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
解：(1)由＝＋，可知M，B，C三点共线．
如图，设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，所以λ＝，
所以＝，即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.
(2)由＝x＋y，得＝x＋，
＝＋y，