2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第三章进阶篇导数中的零点问题进阶1零点个数问题（Word版附答案）

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分值：28分
1.(13分)(2024·淄博模拟)已知函数f(x)=ex-sin x-1.
(1)讨论函数f(x)在区间(0，+∞)上的单调性；(4分)
(2)证明函数f(x)在区间(-π，0]内有且仅有两个零点.(9分)
2.(15分)(2024·绍兴模拟)已知函数f(x)=ax+(a-2)x-12ln x，a∈R.
(1)求函数f(x)图象上一点P(1，4)处的切线方程；(4分)
(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2(x10时，f'(x)=ex-cs x>1-cs x≥0，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增.
(2)证明 由(1)知，f'(x)=ex-cs x，
当x∈-π，-π2时，f'(x)>0，
函数f(x)单调递增，
f(-π)=e-π-10，
因此函数f(x)在-π，-π2内有唯一零点；
当x∈-π2，0时，
令g(x)=ex-cs x，
得g'(x)=ex+sin x，
g'(x)在-π2，0上单调递增，
g'-π2=e-π2-10，得x>1a2，f(x)在1a2，+∞上单调递增.
当x→0时，f(x)→+∞，
当x→+∞时，f(x)→+∞，
则f 1a2=1a+a-2a-12ln1a2=1a+1-2a+ln a=1-1a+ln a0，
则g'(a)=1a2+1a>0，
∴g(a)在(0，+∞)上单调递增.
又∵g(1)=0，∴当a∈(0，1)时，g(a)0，
∴0