新高考数学一轮复习考点学案第六章§6.5数列求和(一)（含答案解析）

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数列求和的几种常用方法
(1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
①等差数列的前n项和公式：
Sn＝ ＝ .
②等比数列的前n项和公式：
Sn＝na1,q＝1, ＝ ,q≠1.
(2)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
(3)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果数列{an}为等比数列，且公比q不等于1，则其前n项和Sn＝a1−an+11−q.( )
(2)求数列{2n+2n}的前n项和可用分组求和法.( )
(3)1002－992+982－972+…+22－12＝(100+99)+(98+97)+…+(2+1).( )
(4)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°＝45.( )
2.已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(n+1)，则a1+a2+a3+…+a10等于( )
A.－55B.－5C.5D.55
3.数列112，314，518，7116，…，(2n－1)+12n，…的前n项和Sn等于( )
A.n2+1－12nB.2n2－n+1－12n
C.n2+1－12n−2D.n2－n+1－12n
4.(2025·重庆模拟)若数列{an}的前n项和为Sn，且an+1+an＝2n，则S10＝ .
题型一 分组求和
例1 (2024·杭州统考)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足8Sn＝an2+4an+4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2n−1,n为奇数,12an−1,n为偶数,数列{bn}的前n项和为Tn，求T2n.
思维升华 分组求和法常见题型
(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝an,n为奇数,bn,n为偶数,其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
跟踪训练1 (2024·唐山模拟)已知数列{an}是正项等比数列，其前n项和为Sn，且a2a4＝16，S5＝S3+24.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{an+lg2an}的前n项和为Tn，求满足Tn0，所以q>0，
依题意可得a3＝4,a4+a5＝24,
即a1q2＝4,a1q3+a1q4＝24,
整理得q2+q－6＝0，
解得q＝2或q＝－3(舍去)，
所以an＝a3qn－3＝2n－1.
(2)由(1)可知an+lg2an
＝2n－1+n－1，
故Tn＝(20+21+22+…+2n－1)+(0+1+2+…+n－1)
＝2n－1+n(n−1)2.
显然Tn随着n的增大而增大，
T10＝210－1+45＝1 0682 024，
所以满足Tn