2027年高考数学一轮复习第九章　§9.2　用样本估计总体学案含解析

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1.百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
2.平均数、中位数和众数
(1)平均数：x=1n(x1+x2+…+xn).
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时).
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据).
3.方差和标准差
(1)方差：s2=1nnΣi=1(xi-x)2或1nnΣi=1xi2-x2.
(2)标准差：s=1nnΣi=1(xi−x)2.
4.总体方差和总体标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为Y，则总体方差S2=1NNΣi=1(Yi-Y)2.
(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i=1，2，…，k)，则总体方差为S2=1NkΣi=1fi(Yi-Y)2.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.( × )
(2)方差与标准差具有相同的单位.( × )
(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.( √ )
(4)在频率分布直方图中，可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值.( √ )
2.在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是( )
A.平均数B.众数
C.百分位数D.标准差
答案 D
解析 标准差反映了数据离散程度的大小，所以说标准差是用来描述一组数据离散程度的统计量，故D正确.
3.(2025·全国Ⅱ卷)样本数据2，8，14，16，20的平均数为( )
A.8B.9C.12D.18
答案 C
解析 样本数据2，8，14，16，20的平均数为2+8+14+16+205=12.
4.(2025·周口模拟)已知一组从小到大排列的数据为a，2，2，4，4，5，6，b，8，8，若其第70百分位数等于其极差，则2a+b= .
答案 10
解析 因为10×0.7=7，所以a，2，2，4，4，5，6，b，8，8的第70百分位数为6+b2，其极差为8-a，所以6+b2=8-a，解得2a+b=10.
1.若x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，那么mx1+a，mx2+a，…，mxn+a的平均数为mx+a，方差为m2s2.
2.数据x1，x2，…，xn与数据x1'=x1+a，x2'=x2+a，…，xn'=xn+a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变.
题型一 样本数字特征的估计
例1 (1)(多选)已知某市连续七天的日平均气温(单位：℃)分别为28，25，27，26，25，23，28，则这组数据的( )
A.平均数为26B.方差为3
C.中位数为26D.第80百分位数为25
答案 AC
解析 这组数据的平均数为17×(28+25+27+26+25+23+28)=26，A正确；
这组数据的方差为17×[(28-26)2+(25-26)2+(27-26)2+(26-26)2+(25-26)2+(23-26)2+(28-26)2]=207，B错误；
将这组数据从小到大排序为23，25，25，26，27，28，28，其中位数为26，C正确；
因为7×0.8=5.6，则第80百分位数为从小到大排序的第6个数据，为28，D错误.
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：
根据表中数据，下列结论中正确的是( )
A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
答案 C
解析 对于A，根据频数分布表可知，
6+12+18=36