中考数学二轮复习训练专题10 几何模型：三角形相似60种题型全归纳 （专项训练）（2份，原卷版+解析版）

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A．B．C．D．
题型二直角三角形旋转相似+反比例函数综合模型
2．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板AOB按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数y=kxx>0的图像上，∠B=30°．若点B坐标为1,−3，则k的值是（ ）
A．−2B．12C．1D．2
题型三赵爽弦图模型+相似三角形+三角函数计算
3．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连接BD交CH于点P．若BP=BC，则tan∠CBG的值是（ ）
A．2−1B．2−2C．22D．223
题型四直角三角形+斜边中线+面积最值+比例线段+平行相似
4．（2025·四川巴中·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=42，D为AB中点，点E在线段CD上，满足CE=2DE，连接AE并延长交BC于点F，当△ABC面积最大时，线段CF等于（ ）
A．2B．2C．22D．4
题型五反比例函数+直角三角形+中点+平行相似+面积计算+k值求解
5．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数y=kxk>0,x>0的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE．若△BDE的面积为54，则k的值为（ ）
A．54B．52C．5D．10
题型六尺规作图（角平分线+垂直平分线）+角平分线性质+相似三角形+线段长度计算
6．（2025·山东济南·中考真题）如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M和N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点D，②分别以点C和D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点F．根据以上作图，若AD=4，DB=2，BC=32，则线段AE的长为（ ）
A．1123B．112C．5D．42
题型七矩形折叠+动点轨迹+面积最值模型
7．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB=4，AD=DC=2，E是线段AD的中点，F是线段AB上的一个动点．现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF（如图的所有点在同一平面内），连接A'B，A'C，则△A'BC面积的最小值为（ ）
A．2−2B．3−2C．10−2D．4−2
题型八矩形+三等分点+平行相似（A字相似）+三角函数计算
8．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG．若AB=8，BC=12，则tan∠GCF的值是（ ）
A．1010B．13C．31010D．23
题型九正方形+等腰直角三角形+平行相似+三角函数+等腰三角形判定+线段乘积式证明
9．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE=BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①MN=AF；②∠EAH=∠EHA；③EN⋅BF=EC⋅HN；④若BF:FC=3:4，则tan∠FAC=25；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤B．①②④⑤C．①②③④D．①③④⑤
题型十正方形+中点+一线三垂直相似+直角三角形面积计算
10．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（ ）
A．10B．8C．5D．4
题型十一直角三角形+平行线+一线三垂直相似+线段最值
11．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=5，过点A作直线l∥BC，点E是直线l上一动点，连结EC，过点E作EF⊥CE，连结CF使tan∠ECF=12．当BF最短时，则AE的长度为（ ）

A．5B．4C．25D．213
题型十二等边三角形+中点三角形+相似三角形+面积递推规律
12．（2025·江西·中考真题）如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△A1B1C1；再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2；…依此类推，则△AnBnCn的面积为（ ）
A．12n+1B．13nC．14nD．14n−1
题型十三等腰直角三角形+角平分线+相似三角形+函数最值模型
13．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是角平分线．点E从点A出发，沿AB方向向点B运动，连接CE，点F在BC上，且∠CEF=45°．设AE=x，FD=y，若y关于x的函数图象过点0,2−2，则该图象上最低点的坐标为（ ）
A．12,32−2B．22,32−2C．12,3−22D．22,3−22
题型十四正方形+定角对定弦（隐圆）+线段比例+最短路径模型
14．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED、∠E=90°，点F在DE上．连接BF．若2BE=3DF．则BF的最小值为（ ）
A．6B．62−5C．35D．45−22
题型十五直角三角形+坐标平移+三角函数+坐标计算
15．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E,F在坐标轴上．若∠A=90°,tanB=12,A−4,3，则点G坐标为（ ）
A．11,−4B．10,−3C．12,−3D．9,−4
题型十六直角三角形+射影定理+面积比计算
16．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高，ADCD=12，则S△ACDS△ABC的值是 ．
题型十七等腰直角三角形+中点+旋转全等+动态面积最值
17．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，D是AB的中点，M是边AC上的动点，作DN⊥DM，交BC于点N，延长MD到点P，使得DP=12MD．当△PNB面积最大时，AM的长等于 ．
题型十八四边形+中点+线段比例+三角函数+勾股定理计算
18．（2025·四川广元·中考真题）四边形ABCD中，AC与BD交于点O，O是AC的中点，BO=2DO，已知AB=4，AD=2，tan∠ACD=35，则AC的长为 ．
题型十九黄金矩形+正方形+扇形弧长+黄金螺线计算
19．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形ABCD中ABAD=5−12，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到四边形CDEF是黄金矩形，依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作AF，FH，HK，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD=2，则“黄金螺线”AFHK的长为 ．（结果用π表示）
题型二十矩形+旋转+圆+中点+勾股定理计算
20．（2025·广东深圳·中考真题）如图，以矩形ABCD的B点为圆心，BC的长为半径作⊙B，交AB于点F，点E为AD上一点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转至EG，点G落在⊙B上，且点F为EG中点．若AF=1，AE=3，则CD的长为 ．
题型二十一菱形+对角线+中点+坐标法+勾股定理计算
21．（2025·内蒙古·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=45，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF=3，则EF的长为 ．
题型二十二直角三角形+阿氏圆模型+线段和最值计算
22．（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=9，点M是△ABC内部一点，连接AM、BM、CM，若CM=3，则AM+13BM的最小值为 ．
题型二十三等腰三角形+折叠变换+三角函数+面积计算
23．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，连接BE，若AE=5，tan∠AED=34，则△BEC的面积为 ．
题型二十四圆内接矩形+相交弦定理+相似三角形+勾股定理计算直径
24．（2025·浙江·中考真题）如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是AD上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF=1，EG=FG=3，则⊙O的直径为 ．
题型二十五直角梯形+角平分线+等腰三角形+勾股定理计算线段长度
25．（2025·山西·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，BC=4，点E在边AB上，AE=3，连接CE，且∠DCE=∠BCE．点F在BC的延长线上，连接DF若DF=DC，则线段CF的长为 ．
题型二十六等腰三角形+新定义“反直角三角形”+分类讨论+勾股定理
26．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 ．
题型二十七直角三角形+旋转+面积固定+隐圆模型+线段最值
27．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，BC=6．将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，使得△ACD面积为24，连结BD，则BD的最大值是 ．
题型二十八矩形+折叠+隐圆模型+轨迹长度计算
28．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=43，点E是BC边上的动点，将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，过点P作PF⊥AD，垂足为F，点Q是线段AP上一点，且AQ=12PF．当点E从点B运动到点C时，点Q运动的路径长是 ．
题型二十九三角形面积与比例线段（中点/等分点）综合计算
29．（2025·四川广安·中考真题）已知△ABC的面积是1．
（1）如图1，若D，E分别是边BC和AC的中点，AD与BE相交于点F，则四边形CDFE的面积为 ．
（2）如图2，若M，N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，AM与BN相交于点G，则四边形CMGN的面积为 ．
题型三十菱形+动态相似+隐圆模型+轨迹弧长计算
30．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，对角线AC=6cm．点M从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以3cm/s的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN，DM交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为 m．
题型三十一三角形相似+公共角+分类讨论+比例计算
31．（2025·山东东营·中考真题）如图，在△ABC中，AB=6，CA=4，点D为AC中点，点E在AB上，当AE为 时，△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
题型三十二直角梯形+相似三角形+动态函数解析式与取值范围
32．（2025·福建·中考真题）如图①，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=3，AD=6，BC=7，点P是边AD上的动点，连接BP，作∠BPF=∠ADC，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F．
(1)如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长；
(2)若点F在DC的延长线上，不与点C重合，设AP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．
题型三十三二次函数综合（解析式+角度存在性+旋转平移+直角存在性）
33．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线y=ax2+bx+52与x轴相交于A−1,0，B5,0两点，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)问在抛物线上是否存在点P，使得∠ABC=12∠PAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)将射线CB绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D，再将抛物线沿直线CD平移，得到一条新的抛物线（其顶点为M）．设这两条抛物线的交点为Q．
①求旋转角度的正切值；
②当∠CQM=90°时，求原抛物线平移的距离．
题型三十四中心对称图形+重叠面积+平行六边形+面积最值
34．（2025·江苏无锡·中考真题）【数学发现】
某校数学兴趣小组进行了如下探究：以△ABC内部任意一点O为中心，画出与△ABC成中心对称的△A'B'C'．当点O处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图1所示的平行四边形，如图2所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化．
【问题解决】
组员小明选择面积为1的△ABC，以其内部任意一点O为中心，画出与之成中心对称的△A'B'C'，探究了下列问题，请你帮他解答．
(1)如图3，BC=2，当点A关于点O的对称点A'落在边BC上时，两个三角形重叠部分为▱AQA'P．
①若AA'⊥BC，求AO的长；（请直接写出答案）
②若▱AQA'P的面积为14，求A'C的长．
(2)如图4，点D为BC的中点，点O在AD上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形”EFGHMN，求“平行六边形”EFGHMN面积的最大值，并指出此时点O的位置．
题型三十五二次函数平移+区间最值+角度正切值+坐标计算
35．（2025·山东济南·中考真题）二次函数y=x2+bx+c的图象经过A3,1，B0,−2两点，顶点为G．
(1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标．
(2)如图1，将二次函数y=x2+bx+c的图象沿x轴方向平移nn>0个单位长度得到一个新函数的图象，当0≤x≤3时，新函数的最大值是8，求n的值．
(3)如图2，将二次函数y=x2+bx+c的图象沿直线AB平移，点A，G的对应点分别为A'，G'，连接AG'，A'G，线段AG'与A'G交于点M．若tan∠BMG=13，请直接写出点G'的坐标．
题型三十六等腰三角形性质+圆的性质+三角函数+线段比例综合
36．（2025·江苏淮安·中考真题）探究与应用
【问题初探】（1）在等腰三角形ABC的底边BC上任取一点P（不与端点重合），连接AP，线段AB、AP、BP、CP有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空：
根据小刚的方法，可以得到线段AB、AP、BP、CP的数量关系是 ．
【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，AD=AC=2，以CD为边构造正方形CDEF，利用（1）中的结论求正方形CDEF的面积．
【灵活应用】（3）如图（3），⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交AC于点D，连接OB、OD，若OB=9，OD=5，CDBC=12，求BD的长．
【深度思考】（4）如图（4），在△ABC中，∠C=120°，点D、E分别在边AC、BC上，且满足AD=DE=BE，AE、BD交于点P，若tan∠CAE=15，则PB−PDPA−PE的值为 ．
题型三十七反比例函数+相似三角形+平行四边形+坐标计算
37．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数y=−2x和y=kxk>0的图像上，点A的横坐标为−1，点B的横坐标为nn>3，点C的坐标为3,0，AC⊥BC，AC=2BC．

(1)求点A、B的坐标和反比例函数y=kxk>0的表达式；
(2)点D、E分别在反比例函数y=kxk>0和y=−2x的图像上，与点A、B构成以AB为边的平行四边形，则点D、E的坐标分别为_____、_____．
题型三十八等腰直角三角形+中点模型+全等与相似三角形+线段比例
38．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，点P是边AB中点，∠MPN=90°，∠APN=θ．
(1)点N在线段AC上，点M在线段CB上．
①当θ=45°时，CM的值是______；
②当0°